重庆市两江新区校联考2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份重庆市两江新区校联考2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版），共48页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，六名学生的成绩，等内容，欢迎下载使用。
1. 下列四个数中，最小的数是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列五线谱符号中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则实数的范围是（ ）
A. B.
C D.
6. 下列四个命题中，假命题是（ ）
A. 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形
B. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
C. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
7. 如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，第1个图有6颗棋子，第2个图有9颗棋子…那么，第9个图中的棋子数是（ ）
A. 27B. 30C. 35D. 38
8. 如图，与菱形的边相切于点，点在上．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，点为边的中点，于点，，交的延长线于点，则的值为（ ）
A 2B. C. D.
10. 对于两个代数式，记，，以下说法正确的个数是（ ）
①若，则；
②若关于方程的解为和，则的值为，
③若关于的方程有两个不相等的实数根，则．
A. 0B. 1C. 2D. 3
11. 已知整式，其中，，，…，为自然数，且．下列说法：
①当，时，则；
②若，不存在任何一个，使得满足条件的整式有且仅有3个；
③当时，满足条件的所有整式有且仅有28个．
其中正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题
12 ______．
13. 甲、乙、丙三位同学把自己的数学课本放在一起，每人从中随机抽取一本（不放回），三位同学抽到的课本都不是自己课本的概率是___________．
14. 一个多边形的内角和为540°，并且每一个内角都相等，则这个多边形的每一个内角是____°.
15. 如果关于的不等式组有解且至多有4个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为________．
16. 如图，已知是的直径，弦于点，过点作的切线交的延长线于点，为的中点，连接．若，则的半径是__________，__________．
17. 一个四位自然数，如果的千位数字和十位数字组成的两位数与的百位数字和个位数字组成的两位数的和等于72，那么就称这个数为“72变数”．把“72变数”的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设．例如：一个四位数2493，，是“72变数”，且．则最小的“72变数”是__________，若是“72变数”，且，则满足条件的所有的和为__________．
三、解答题
18. （1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中a满足．
19. 计算：
（1）
（2）
20. “发展科学技术，迎接美好未来”，重庆实验外国语学校在校开展了科技文化知识竞赛，现从七年级和八年级参加竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，成绩均不低于70分，90分及90分以上为优秀），并将学生竞赛成绩分为A、B、C三个等级：A：，B：，C：．
下面给出了部分信息：
抽取的七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，84，84，84，86，86，94，95，96；
抽取的八年级10名学生的竞赛成绩在B等级的为：81，83，84，88，88．
两个年级抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示：
抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图如图所示．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_____，_____，_____度；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）
（3）若八年级共有500名学生参赛，请你估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数．
21. 如图，在四边中，，对角线．
（1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹）
（2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空）
证明：∵垂直平分
∴①______，
∵
∴②______
∵在和中
∴，∵
∴四边形BFDE为平行四边形
∵④______
∴四边形BFDE为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形）
在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤______．
22. 甲、乙两人计划周末到诗橙奉节徒步三峡之巅，甲选择乘坐高铁，已知主城到奉节的高铁线路长，乙选择乘坐顺风车，主城到奉节的驾车线路长，已知高铁的平均速度为顺风车的1.5倍，甲乘坐高铁到奉节的时间比乙乘坐顺风车到奉节的时间少3小时．
（1）求出甲乘坐高铁和乙乘坐顺风车的平均速度；
（2）甲、乙商议在各自去奉节的途中拍摄精美照片．由于高铁速度快，乙每小时可拍到的精美照片比甲每小时可拍到的2倍还多4张，最后要使甲、乙拍到的精美照片总和不少于115张，请问甲每小时至少要拍多少张精美照片？
23. 如图，在中，，为边上的高，，，动点从点出发，沿运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为，过点作交的边于点，点，的距离为．
（1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出点，的距离为3时的值．
24. 2025年重庆“新年第一跑”活动在渝北区中央公园中央广场举办，活动方开辟出了两条经典路线．如图是两条跑步路线的平面示意图，已知终点C在起点A的东北方向．路线①从起点A出发向北偏东的方向先跑过一段山路到达补给点B，再沿正东方向跑一段步道即可到达终点C；路线②从起点A出发沿北偏东的方向跑过一段山路到达补给点D，再沿正北方向的步道跑1800米即可到达终点C．（参考数据：，，）
（1）求的长度；（结果精确到1米）
（2）某班有两位同学小轩和小鹏参加了跑步活动，小轩选择路线①，他的平均速度为80米/分钟，小鹏选择了路线②，他的平均速度为90米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达终点？（结果精确到0.1）
25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点B，与x轴交于A、C两点（A在C的左侧），连接，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作交y轴于点D，交x轴于点E，点F为y轴上一动点，当取最大值时，求此时点P的坐标及的最大值；
（3）如图，点Q是抛物线的对称轴与的交点，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线刚好经过点Q，K为新抛物线上一动点，当，请写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解其中一个点K坐标的过程．
26. 在中，，，点是边上一点，点是边上一点，连接、，且．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，为延长线上一点，连接，且，求证：；
（3）如图3，连接，将沿翻折至所在平面内得到，连接交于点，连接、，当最小时，请直接写出的值．
2024-2025九年级下第一次月考定时练习
一、单选题
1. 下列四个数中，最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，根据“正数大于负数，两个负数，绝对值大的而反而小”进行比较即可判断求解，掌握实数的大小比较方法是解题的关键．
【详解】解：∵正数大于负数，
∴最小数在和中，
∵，，
又∵两个负数，绝对值大的而反而小，
∴，
∴最小的数是，
故选：．
2. 下列五线谱符号中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，据此判断即可求解，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：．是轴对称图形，该选项符合题意；
．不是轴对称图形，该选项不符合题意；
．不是轴对称图形，该选项不符合题意；
．不是轴对称图形，该选项不符合题意；
故选：．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了合并同类项、幂的乘方、单项式的除法、同底数幂的乘法等知识．根据运算法则计算后即可得到答案．
【详解】A. ，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项正确，符合题意；
C. ，故选项错误，不符合题意；
D. ，故选项错误，不符合题意；
故选：B
4. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，得到根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形，
，．
．
．
与的面积比为，
与的相似比为，即．
．
故选：D
5. 已知，则实数的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的混合运算及无理数的估算是解题的关键．
先根据二次根式的混合运算法则计算得，再根据无理数的估算即可得出结果．
【详解】解：
，
，
∴，
∴，
∴．
故选A．
6. 下列四个命题中，假命题是（ ）
A. 顺次连接四边形各边中点得到四边形是平行四边形
B. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
C. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了中点四边形、特殊四边形的判定等知识．根据相关知识进行逐项判断即可．
【详解】解：A. 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
B. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意；
C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，选项是假命题，符合题意；
D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
故选：C
7. 如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，第1个图有6颗棋子，第2个图有9颗棋子…那么，第9个图中的棋子数是（ ）
A. 27B. 30C. 35D. 38
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查规律型：图形的变化类，观察题图，发现每个图中棋子的枚数比前一个图中棋子的枚数多，第个图中棋子的枚数为，即可判断第个图中的棋子数．结合图形得出规律是解题的关键．
【详解】解：观察题图，
第个图中的棋子数为：，
第个图中的棋子数为：，
第个图中的棋子数为：，
第个图中的棋子数为：，
……
发现每个图中棋子的枚数比前一个图中棋子的枚数多，
∴第个图中的棋子数为：，
∴第个图中的棋子数是：．
故选：B．
8. 如图，与菱形的边相切于点，点在上．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图连接，，，，．证明，推出，推出点在菱形的对角线上，再根据求解即可．
【详解】解：如图连接，，，，．
四边形是菱形，
，，
在和中，
，
，
，
点在菱形的对角线上，
，
，
，
是切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查切线的性质菱形的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
9. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，点为边的中点，于点，，交的延长线于点，则的值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质和勾股定理，解题关键是添加辅助线改造直角三角形，熟练掌握利用面积法求线段的长．过点作于点，设，利用勾股定理和正方形性质求出，再利用三角形面积和勾股定理求出，，，，，进一步求出，由，即可求出，
【详解】解：如图所示：过点作于点，
设，
∵为边的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∵，
∴的面积，
∴，
∴，
∴，
∵的面积，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
故选：A．
10. 对于两个代数式，记，，以下说法正确的个数是（ ）
①若，则；
②若关于的方程的解为和，则的值为，
③若关于的方程有两个不相等的实数根，则．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，根与系数的关系，二次函数与一元二次方程的解；根据解一元二次方程判断①；根据根与系数的关系判断②，根据，设，根据函数图象可得有两个交点时，，即可求解．
【详解】解：将，代入方程
得，即
解得：，故①不正确；
②将，代入方程
得，
∴，
∵
∴
∴，故②不正确；
③将，代入方程得，
设
如图所示，
当，，
∴当经过和之间时，有两个交点时，
当时，，当时，；
∴，故③错误
故选：A．
11. 已知整式，其中，，，…，为自然数，且．下列说法：
①当，时，则；
②若，不存在任何一个，使得满足条件的整式有且仅有3个；
③当时，满足条件的所有整式有且仅有28个．
其中正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】①当，时，可得 ，，，，，，，即可求解；
②若，分类讨论：时；当时，当时，当时，当时，分别进行求解，即可判断；
③分类讨论：当时，当时，当时， 当时，当时，同理可求．
【详解】解：①当，时，
，，…，为自然数，
且，
，，，，，，，
；
故此项正确；
②若，
当时，
，
有个；
当时，
，
可以取、、、，有个；
当时，
，
为，，，，，，
有个；
当时，
，
为，， ，
有个；
当时，
，
为，
有个；
此时共有：个；
存在一个，使得满足条件整式有且仅有3个；
故此项正确；
③当时，
当时，
整式：，
有1个；
当时，
时，
整式：；
时，
整式：，
此时共有：个；
当时，
时，
整式：，
有个；
时，
整式为，可以取、，有个；
时，
整式为，
为，
有个；
此时共有：个；
当时，
时，
整式：，
有个；
时，
整式为，可以取、、，有个；
时，
整式为，
为，，，
有个；
时，
整式为，
为，
有个；
此时共有：个；
当时，由②得此时共有：个；
综上所述：共有个，
故此项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了整式中的探究规律，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键．
二、填空题
12. ______．
【答案】##
【解析】
【分析】先化简各式，再进行加法运算即可．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
13. 甲、乙、丙三位同学把自己的数学课本放在一起，每人从中随机抽取一本（不放回），三位同学抽到的课本都不是自己课本的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】画出树状图，根据树状图即可得出答案．
【详解】解：设甲的数学课本用A表示，乙的数学课本用B表示，丙的数学课本用C表示，画树状图如下：
由树状图可知，共有六种等可能的结果数，其中三位同学抽到的课本都不是自己的课本有二种结果：，所以三位同学抽到的课本都不是自己课本的概率是．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14. 一个多边形的内角和为540°，并且每一个内角都相等，则这个多边形的每一个内角是____°.
【答案】108
【解析】
【分析】根据多边形的内角和为540°，列出方程解出边数，进一步可求出它每一个内角的度数．
【详解】设这个多边形的边数为n，
则有
解得n=5.
∵这个多边形的每个内角都相等，
∴它每一个内角的度数为
故答案为
【点睛】考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键.
15. 如果关于的不等式组有解且至多有4个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组．先解两个不等式，再根据不等式组有解且至多有4个整数解得到，再解分式方程确定的值即可得到答案．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式，得：，
∴，
∵关于的不等式组至多有4个整数解，
∴，
∴，
由，得，
∵关于的分式方程的解为整数，
∴或或或且，
∴所有满足条件的整数有或，
∴所有满足条件的整数的值之和为，
故答案为：．
16. 如图，已知是的直径，弦于点，过点作的切线交的延长线于点，为的中点，连接．若，则的半径是__________，__________．
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质定理、垂径定理、勾股定理、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键．
连接，，，根据垂径定理可得，根据切线的性质定理可得，即，进而可得，再解得，然后证明，设，易得，，在中，利用勾股定理解得，即可求出半径，再用三角函数求出的长即可求解．
详解】解：如图，连接，，，
是的切线，
，
，
，
，
于点，，
，
设，
为的中点，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，即的半径为4．
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：4，．
17. 一个四位自然数，如果的千位数字和十位数字组成的两位数与的百位数字和个位数字组成的两位数的和等于72，那么就称这个数为“72变数”．把“72变数”的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设．例如：一个四位数2493，，是“72变数”，且．则最小的“72变数”是__________，若是“72变数”，且，则满足条件的所有的和为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了数的规律探索，整式的运算，解方程组等知识点，正确找到规律是解决此题的关键．根据题目的对“72变数”的定义求解第一空．根据题目对“72变数”的定义，求出a，b，c，d之间的关系式，然后根据题目讨论求解即可．
【详解】解：根据“72变数”的定义，四位数，千位数字和十位数字组成的两位数与百位数字和个位数字组成的两位数的和等于72，
，
要使四位数最小，千位数字应尽可能小，
是千位数字，
，此时要使最小，百位数字也应尽可能小，取，
，即，
要使最小，应尽可能小，
是一位数，
，则不符合个位数字是一位数的要求，
当，无法满足条件，
，时，，即，，同样无法满足要求，
，时，，即，，也无法满足要求，
当，时，，即，，也无法满足要求，
当，时，，即，，此时取，不符合要求，取，不符合要求，取，满足要求，
最小的“72变数”为，
，
是“72变数”，
，
，
，
，即，
，
，，，，且，且所有字母都取整数，
当时，
，得，此时当时，，
，此时符合题意，
当时，
，得 ，此时没有值，使，是整数，不符合题意，
按此思路，分别计算得，
当时，
，得，此时，而，是整数，
，此时符合题意，
当时，
，得，此时当，而，是整数，
，此时，符合题意，
当时，
，得，此时没有值，使，是整数，不符合题意，
当时，
，得，此时没有值，使，是整数，不符合题意，
当时，
，
，，，
，而，不符合题意，
当，时，而，，不符合题意，
满足条件的所有的和为，
故答案为：，．
三、解答题
18. （1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中a满足．
【答案】（1）；（2）；
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算和分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）原式分别根据特殊角三角值、负整数指数幂、绝对值的代数意义以及零指数幂运算法则计算，然后进行加减运算即可；
（2）先将原式中的括号内进行通分，再把除法以转换为乘法，约分后得最简结果，再代入计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
∵，
∴，
∴原式．
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，分式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
（1）根据完全平方公式和平方差公式去掉括号，然后合并同类项即可求解；
（2）先根据分式的加减计算括号内的，同时利用除法法则变形，约分，再计算分式加法即可得到结果．
【小问1详解】
解：原式，
，
，
；
【小问2详解】
解：原式，
，
，
，
．
20. “发展科学技术，迎接美好未来”，重庆实验外国语学校在校开展了科技文化知识竞赛，现从七年级和八年级参加竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，成绩均不低于70分，90分及90分以上为优秀），并将学生竞赛成绩分为A、B、C三个等级：A：，B：，C：．
下面给出了部分信息：
抽取的七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，84，84，84，86，86，94，95，96；
抽取的八年级10名学生的竞赛成绩在B等级的为：81，83，84，88，88．
两个年级抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示：
抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图如图所示．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_____，_____，_____度；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）
（3）若八年级共有500名学生参赛，请你估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数．
【答案】（1）；，；
（2）八年级的成绩更好，理由见解析；
（3）150人
【解析】
【分析】本题考查了中位数、众数的定义和意义，扇形统计图，利用样本估计总体．
（1）根据中位数、众数的定义，可求出、的值，用八年级C等级人数所占百分比，可求出；
（2）根据平均数、中位数、众数的意义分析即可；
（3）用八年级参赛学生总人数乘以样本中成绩为优秀的学生所占百分比求解即可．
【小问1详解】
解：由扇形统计图可知，八年级A等级人数为人，
八年级10名学生的竞赛成绩中位数为第五、六名学生的成绩，
；
七年级10名学生的竞赛成绩中分出现了三次，次数最后，
；
八年级C等级人数为，
，
故答案为：；，；
【小问2详解】
解：八年级的成绩更好，
理由：因为七、八年级学生的竞赛成绩的平均数相同，但是八年级学生的中位数和众数均高于七年级，所以八年级的成绩更好；
【小问3详解】
解：人，
答：估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数为人．
21. 如图，在四边中，，是对角线．
（1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹）
（2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空）
证明：∵垂直平分
∴①______，
∵
∴②______
∵在和中
∴，∵
∴四边形BFDE为平行四边形
∵④______
∴四边形BFDE为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形）
在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤______．
【答案】（1）见解析 （2），，，，得到的四边形是菱形
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作垂直平分线，菱形的判定，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等和菱形的判定方法．
（1）根据垂直平分线的基本作图方法进行作图即可；
（2）根据垂直平分线的定义得出，，根据平行线的性质得出，证明，得出，即可证明结论．
【小问1详解】
解：如图，为所求作的线段的垂直平分线；
【小问2详解】
证明：∵垂直平分
∴①，
∵
∴②
∵在和中，
∴，
∵
∴四边形为平行四边形
∵④
∴四边形为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形）
在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤得到的四边形是菱形．
22. 甲、乙两人计划周末到诗橙奉节徒步三峡之巅，甲选择乘坐高铁，已知主城到奉节的高铁线路长，乙选择乘坐顺风车，主城到奉节的驾车线路长，已知高铁的平均速度为顺风车的1.5倍，甲乘坐高铁到奉节的时间比乙乘坐顺风车到奉节的时间少3小时．
（1）求出甲乘坐高铁和乙乘坐顺风车的平均速度；
（2）甲、乙商议在各自去奉节的途中拍摄精美照片．由于高铁速度快，乙每小时可拍到的精美照片比甲每小时可拍到的2倍还多4张，最后要使甲、乙拍到的精美照片总和不少于115张，请问甲每小时至少要拍多少张精美照片？
【答案】（1）甲乘坐高铁的平均速度为千米/时，乙乘坐顺风车的平均速度为千米/时
（2）甲每小时至少要拍7张精美照片
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意找出相等关系和不等关系是解答本题的关键．
（1）设乙乘坐顺风车的平均速度为千米/时，则甲乘坐高铁的平均速度为千米/时，根据甲乘坐高铁到奉节的时间比乙乘坐顺风车到奉节的时间少3小时列分式方程求解即可；
（2）设甲每小时至少要拍张精美照片，根据甲、乙拍到的精美照片总和不少于115张列不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设乙乘坐顺风车的平均速度为千米/时，则甲乘坐高铁的平均速度为千米/时，根据题意得，
，
解得，，
经检验，则原方程的根，
∴（千米/时），
答：甲乘坐高铁的平均速度为千米/时，乙乘坐顺风车的平均速度为千米/时；
【小问2详解】
解：（时），（时），
设甲每小时至少要拍张精美照片，则乙每小时拍张精美照片，根据题意得，
，
解得，，
答：甲每小时至少要拍7张精美照片．
23. 如图，在中，，为边上的高，，，动点从点出发，沿运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为，过点作交的边于点，点，的距离为．
（1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出点，的距离为3时的值．
【答案】（1）
（2）图象见解析；当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小；
（3）或．
【解析】
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识
（1）分两种情况分别列出函数解析式即可；
（2）利用两点法画图作出函数图象，并写出性质即可；
（3）根据图象求出答案即可．
【小问1详解】
解：∵在中，，为边上的高，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
当时，
∵为边上的高，
∴，
∴，
∴
∴
∴，
当时，如图，
∵为边上的高，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
∴
∴，
∴
【小问2详解】
图象如图，
当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小；
【小问3详解】
当点，的距离为3时，即时，或．
24. 2025年重庆“新年第一跑”活动在渝北区中央公园中央广场举办，活动方开辟出了两条经典路线．如图是两条跑步路线的平面示意图，已知终点C在起点A的东北方向．路线①从起点A出发向北偏东的方向先跑过一段山路到达补给点B，再沿正东方向跑一段步道即可到达终点C；路线②从起点A出发沿北偏东的方向跑过一段山路到达补给点D，再沿正北方向的步道跑1800米即可到达终点C．（参考数据：，，）
（1）求的长度；（结果精确到1米）
（2）某班有两位同学小轩和小鹏参加了跑步活动，小轩选择路线①，他的平均速度为80米/分钟，小鹏选择了路线②，他的平均速度为90米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达终点？（结果精确到0.1）
【答案】（1）的长度约为3477米
（2）小鹏会先到达终点
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）如图，过点D作于点E，在中，求出（米），在中，求出（米），进而求解即可；
（2）如图，过点A作交的延长线于点F，首先得到米，在中，求出米，在中，求出米，得到（米），然后分别求出小轩走路线①需要的时间和小鹏走路线②需要的时间，进而比较求解即可．
【小问1详解】
如图，过点D作于点E，
由题意，得，，米
在中，（米）．
在中，（米）
（米）．
答：的长度约为3477米；
【小问2详解】
如图，过点A作交的延长线于点F，
由题意，知，
由（1）知米，
在中，米
在中，米，
米
（米）
在中，（米），
小轩走路线①需要的时间为：（分钟）．
小鹏走路线②需要的时间为：（分钟）．
，小鹏会先到达终点．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点B，与x轴交于A、C两点（A在C的左侧），连接，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作交y轴于点D，交x轴于点E，点F为y轴上一动点，当取最大值时，求此时点P的坐标及的最大值；
（3）如图，点Q是抛物线的对称轴与的交点，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线刚好经过点Q，K为新抛物线上一动点，当，请写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解其中一个点K坐标的过程．
【答案】（1）
（2），的最大值为
（3）或
【解析】
【分析】（1）先求出点B的坐标，再解直角三角形求出的长，进而得到点A的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）求出直线解析式为；设，则直线解析式，求出，，进而求出，，则，据此可得到有最大值时，点P的坐标为；再由，得到当A、P、F三点共线时，有最大值，最大值为的长，据此利用勾股定理即可求出答案；
（3）先求出；可设原抛物线向下平移个单位长度，向左平移个单位长度得到抛物线，则新抛物线解析式为，利用待定系数法可得新抛物线解析式为；如图所示，取，连接，证明，得到；导角可证明，如图所示，过点Q作交新抛物线与，则，即点即为所求；可求出直线的解析式为，联立，可得；如图所示，过点A作，且使得，连接并延长，交新抛物线于，则，可证明，即点即为所求；求出点R的坐标，进而求出直线的解析式，同理可得．
【小问1详解】
解：在中，当时，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
把，代入中得：，
解得，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为；
设，直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
在中，当时，，当时，，
∴，，
∴，，
∴
，
∵，
∴当，即时，有最大值，
∴此时点P的坐标为；
∵，
∴，
∴当A、P、F三点共线时，有最大值，最大值为的长，
∵，
∴；
∴最大值为；
【小问3详解】
解：∵原抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，
∴；
∵将原抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，
∴可设原抛物线向下平移个单位长度，向左平移个单位长度得到抛物线，
∴新抛物线解析式为，
∵平移后的抛物线经过，
∴，
∴或（舍去），
∴新抛物线解析式为；
如图所示，取，连接，
在中，当时，或，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∵，
∴，
如图所示，过点Q作交新抛物线与，则，即点即为所求；
同理可得直线解析式为，
∴直线的解析式为，
联立，解得或，
∴；
如图所示，过点A作，且使得，连接并延长，交新抛物线于，则，
∵，
∴，
∴，即点即为所求；
同理可得直线解析式为，
设，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
同理可得直线解析式为；
联立，解得或，
∴；
综上所述，点K的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解（2）的关键在于设出点P的坐标，进而求出直线解析式，再用点P的横坐标表示出的长，解（3）的关键在于证明．
26. 在中，，，点是边上一点，点是边上一点，连接、，且．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，为延长线上一点，连接，且，求证：；
（3）如图3，连接，将沿翻折至所在平面内得到，连接交于点，连接、，当最小时，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）勾股定理得出，进而可得，证明，根据全等三角形的性质，得出，进而即可求解；
（2）将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，过点作交于点，过点作交于点，则，，证明，即可得证；
（3）先证明得出，在中，，得出，进而得出当最小时，则最小，当时，最小，此时如图所示，连接，证明是直角三角形，得出，进而可得是等腰直角三角形，则得证明得出，即可求解．
【小问1详解】
解：∵在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，过点作交于点，过点作交于点，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，即，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，而是定值，
∴当最小时，则最小，
∴当时，最小，此时如图所示，连接，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，正切的定义，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
学生
平均数
中位数
众数
七年级
86
85
b
八年级
86
a
88
学生
平均数
中位数
众数
七年级
86
85
b
八年级
86
a
88