四川省雅安中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份四川省雅安中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设函数满足，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
2. 已知数列中，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
3. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 用数学归纳法证明：“为正整数”，在到时的证明中，（ ）
A. 左边增加的项为B. 左边增加的项为
C. 左边增加的项为D. 左边增加的项为
5. 设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则（ ）
A. B. C. D.
6. 意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列满足：，若，则等于（ ）
A. 14B. 13C. 89D. 144
7. 对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中.若，且，则数列的通项公式为
A B.
C D.
8. 已知数列满足，，若，，且数列是单调递增数列，则实数取值范围是
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列命题正确有（ ）
A. ，则
B. ，则
C.
D. 设函数的导函数为，且，则
10. 下列命题正确的有（ ）
A. 若数列为等比数列，为其前项和，则成等比数列；
B. 若数列等差数列，则为等比数列；
C. 数列满足:，则
D. 已知为数列的前项积，若，则数列的前项和
11. 已知数列满足，，定义其“双阶变换”数列为.以下命题正确的是（ ）
A. 的通项公式为
B. 存在周期性
C. 当为偶数时，
D. 的奇数项之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知正项等比数列满足，且，则公比为______________.
13. 已知正项数列{}是公比不等于1的等比数列，且 若 则 __________.
14. 已知数列满足，，，的通项公式（用表示）为__________；若是递增数列，则的取值范围为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设数列的前项和为，已知，且为等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的前项和.
16. 已知函数的图象经过点，且在点A处的切线与直线l：垂直．
（1）求a，b的值；
（2）求经过点且与曲线相切的切线方程．
17. 已知正项数列的前项和为，且满足.
（1）证明：为等差数列.
（2）求的值和的通项公式.
（3）若数列满足，其前项和为，证明：.
18. 市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式：
①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；
②等额本息：每月的还款额均相同．
银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（如2020年7月7日贷款到账，则2020年8月7日首次还款）．已知该笔贷款年限为20年，月利率为0.4%．
（1）若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算该笔贷款的总利息．
（2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半．已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）．
参考数据：．
（3）对比两种还款方式，从经济利益的角度考虑，小张应选择哪种还款方式．
19. 若数列满足（为正整数，为常数），则称数列为等方差数列，为公方差.
（1）已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由；
（2）若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列.
（3）若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在（1）的条件下，在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和.