四川省雅安中学2024-2025学年高一下期3月考试数学试题（Word版附解析）

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本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡相应位置上.
2.第Ⅰ卷的答案用 2B 铅笔填涂到答题卡上，第Ⅱ卷必须将答案填写在答题卡规定位置.回答非
选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3.考试结束，将答题卡交回.
第Ⅰ卷（选择题 共 58 分）
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题意的）
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 下列函数中是奇函数，且最小正周期为 的函数是（ ）
A. B. C. D.
3. 把函数 图象上的所有点（ ）可得到函数 的图象.
A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位
C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位
4. 设 、 是不共线的两个向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
A. 和 B. 与
C. 与 D. 与
5. 设 、 是任意两个向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
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6. 若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知 ，函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 在 中， ，则 （）
A B. C. D.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6 分，部分选对得 3 分，有选错的 0 分）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 零向量是唯一没有方向的向量
B. 零向量的长度等于 0
C. 若 都为非零向量，则使 成立的条件是 与 反向共线
D. 若 ， ，则
10. 已知函数 的部分图象如图所示（分隔直线 右侧函数的零
点为 ），则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的最小正周期为 B.
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C. D. 函数 在 上单调递增
11 已知函数 ，则（ ）
A. 是 的一个周期
B. 是非奇非偶函数
C. 的最小值为
D. 关于 x 方程 有无数个实数解
第Ⅱ卷（非选择题 共 92 分）
三、填空题（共 3 个小题.请将正确答案填写在答题卡相应位置）
12. 若 ，则 __________．
13. 设 ， 为单位向量， 在 方向上的投影向量为 ，则 ____．
14. 如图，在 中，已知 是线段 与 的交点，若
，则 的值为__________.
四、解答题（共 5 个小题.请将正确答案填写在答题卡相应位置）
15. 设 ， 是两个不共线的向量，如果 ， ， .
（1）求证：A，B，D 三点共线；
（2）试确定 值，使 和 共线；
16. 已知函数 （其中 ， ， ）的部分图像如图所示，
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（1）求
（2） 的值
（3）求函数 的单调递增区间.
17. 如图，在菱形 中， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 .
18. 如图，某公园有一块扇形人工湖 OMN，其中圆心角 ，半径为 1 千米，为了增加观赏性，
公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形 (四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一
个观景台，形状为 ，记
（1）当角 取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积.
（2）若在 OA 的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米 8 万元 不计桥的宽度 ；且建造观
景台的费用为每平方千米 16 万元，求建造总费用的范围.
19. 三角代换是解决代数问题时 常用的重要手段之一．简单的三角代换通常是通过将问题中给出的未知数
设成某个角的正弦、余弦、正切、余切等形式，从而利用常用的三角公式将题目中的条件进行化简如：可
将 中的 x 与 y 分别设为 与 ．请使用适当的三角代换，完成如下两个问题：
（1）已知非负实数 x，y，满足 ．证明： ．
（2）设 a，b，c 为正实数，且 ．求 的最大值．
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