贵州省黔西南州2024-2025学年高一上学期期末学业质量监测数学试题（解析版）

这是一份贵州省黔西南州2024-2025学年高一上学期期末学业质量监测数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数中，，∴，
因为函数，∴，∴.
故选：D.
2. 已知命题，则p的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据特称命题的否定为全称命题，则p的否定为.
故选：A.
3. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对A：取，，，，此时，故A错误；
对B：由，则，又，故，故B正确；
对C：取，，，，此时，故C错误；
对D：取，，，，此时，故D错误.
故选：B.
4. 已知函数则（ ）
A. B. 4C. D. e
【答案】B
【解析】因为所以，
所以.
故选：B.
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，
所以，解得，
所以.
故选：A.
6. 已知函数，，零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为在上均单调递增，
则在上单调递增，且，，
则，则，
又因为，则，，则，
则.
故选：C.
7. 已知函数，B，C是函数的图像与x轴相邻的两个交点，D是图像在B，C之间的最高点或最低点，若为正三角形，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
所以函数的最小正周期，
B，C是函数的图像与x轴相邻的两个交点，则，
D是图像在B，C之间的最高点或最低点，为正三角形，
则有最高点的纵坐标为，∴.
故选：B.
8. 已知定义在上的函数满足：，且，则（ ）
A. 9B. 25C. 15D. 24
【答案】D
【解析】由可得：
，
，
，
，
，
，
累加可得：，
又，
得：，
相加可得：，所以.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. “函数为奇函数”是“”的充分不必要条件
B. 若函数为偶函数且函数的定义域为，则
C. 若，则
D. 若命题“”为真命题，则实数a的最大值为4
【答案】BCD
【解析】对A，举例奇函数，则无意义，则充分性不成立，故A错误；
对B，因为函数的定义域为，令，
则，则的定义域为，
又因为函数为偶函数，则，解得，故B正确；
对C，，
因为，则，则成立，故C正确；
对D，若命题“”，则，则，
因为，根据对勾函数性质知其在上单调递减，
则，则，则实数a的最大值为4，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A. 若的图象关于直线对称，则可以为
B. 若的图象关于点对称，则可以为4
C. 若在区间上恰有3个零点，则的取值范围是
D. 若在区间上单调递减，则的取值范围是
【答案】AC
【解析】对于A：若图象关于直线对称，
所以，当时，，故A正确；
对于B：若的图象关于点对称，
则，
当，故B错误；
对于C：若在区间上恰有3个零点，，
则，故C正确；
对于D：若在区间上单调递减，，
所以，故D错误.
故选：AC.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 当时，
C. 函数的图象关于点对称D. 当时，
【答案】ABD
【解析】由，则定义域为，
由，则函数为偶函数，
当时，，
由在上单调递增，在上单调递减，则函数在上单调递增，
由，则，由，则，故A正确；
当时，易知，由函数在上单调递增，则，故B正确；
由函数为偶函数，则图象关于轴对称，故C错误；
当时，，由函数在上单调递增，
则，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边过点，则___________．
【答案】
【解析】因为角的始边与x轴非负半轴重合，终边过点，
即；
所以，所以.
13. 近年来，黔西南州基础教育质量大幅提升，2024年高考成绩再上新台阶，一方面，得益于各级政府及教育部门的殷切关怀与高度重视：另一方面，与莘莘学子的“聪慧值”密切相关．定义：“聪慧值”=“天赋值”ד年提升值”（“天赋值”具有先天性），树人中学高一（1）班学生小李和小王开学时的“天赋值”分别为150分和100分，“年提升值”相同，自开学那天起，小王努力学习，刻苦钻研，“年提升值”都在前一年的基础上进步，而小李疏于学习，“年提升值”都在前一年的基础上退步．问：大约经过______年，小王的“聪慧值”是小李的2倍．（精确到整数，参考数据：）
【答案】16
【解析】设两人的“年提升值”为，经过年小王的“聪慧值”是小李的2倍．
则经过年小王的“聪慧值”为，小李的“聪慧值”为，
由题意，即；
取对数可得，
，
所以大约经过16年小王的“聪慧值”是小李的2倍．
14. 若函数满足：
①；
②，都有成立；
③在区间上的最大值小于2．
则的解析式可以为___________.（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】①，函数时奇函数；
②，都有成立，函数在区间上单调递增；
③在区间上的最大值小于2，设函数在区间上单调递增，则．
∴（答案不唯一）.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 解下列关于x的不等式．
（1）；
（2）．
解：（1），
等价于，
等价于，
等价于且，
由可得：，即，即，
由可得：，即，或，
所以，
所以的解集为：.
（2），
等价于，
当时，即，不等式的解集为，
当时，即，不等式的解集为，
当时，即，不等式的解集为，
综上：时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为.
16. 已知定义在上的偶函数满足：当时，．
（1）求的解析式并用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增；
（2）若，求实数a的取值范围．
解：（1）令，则，因当时，，
所以，因为是定义在上的偶函数，
所以，
综上，；
证明：令，
，
因为，所以，即；
因为，所以，即；
所以，
所以，即，
所以函数在区间上单调递增.
（2）由（1）知，函数在区间上单调递增，为偶函数，
所以在区间上单调递减，
若恒成立，则，即恒成立，
等价于，因为，
所以，
所以.
17. 已知函数的最小值为，图象过点，且满足___________请从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题：
（1）求函数的对称轴、对称中心、单调递减区间；
（2）将的图象向右平移个单位长度，可得到的图象，求在区间上的值域及取得最值时x的值．
条件：①相邻两对称轴之间的距离为；②相邻两对称中心之间的距离为；③相邻两最低点之间的距离为．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：（1）若选①：相邻两对称轴之间的距离为，则，所以，又，解得；
若选②：相邻两对称中心之间的距离为，则，所以，
又，解得；
若选③：相邻两最低点之间的距离为，则，又，解得；
又函数的最小值为，所以，解得，
所以，又函数图象过点，
所以，
即，又，所以，
所以，
令，解得，所以对称轴为；
令，解得，所以对称中心为；
令，解得，
所以函数的单调递减区间为.
（2）将的图象向右平移个单位长度，
可得到，
当，则，
所以当，即时取得最小值，即；
当，即时取得最大值，
即，
其中，
所以在上的值域为，
时取得最小值，时取得最大值.
18. 对于函数，若存在，使得，则称为“不动点”函数，称为的一个不动点．
（1）若函数，试判断函数是否为“不动点”函数，并说明理由；
（2）若函数在区间上有且仅有两个不动点，求实数a的取值范围．
解：（1）函数是“不动点”函数，理由如下：
设，若是“不动点”函数，则存在零点，
易知为减函数，，
所以存在，使得，即是“不动点”函数.
（2）由题意在区间上有两个解，
即有两解，
在区间上直线与有两个公共点；
令，则，，
，
所以当时，函数在区间上有且仅有两个不动点，所以实数a的取值范围是.
19. 笛卡尔积是法国数学家笛卡尔命名的，允许将不同集合的元素组合成有序对，具有广泛的应用领域，包括数学、计算机科学、统计学和物理学．对于非空数集，定义，将称为“A与B的笛卡尔积”．
（1）若，求和；
（2）若是非空数集，证明：“”的充要条件是“”；
（3）若集合H是有限集，将集合H中的元素个数记为．若，，且满足，当取得最大值时，求的最小值．
解：（1）由题意知，，
.
（2）①证明“”是“”的充分条件.
证明：若，
任取，则对于任意，有，
因为，则，所以，
故；
任取，则对于任意，有，
因为，则，所以，
故；
综上可知，，得证.
②证明“”是“”的必要条件.
证明：若，设，
则，且，
，且，
故，得证；
综上所述：“”的充要条件是“”，得证.
（3）由题意，，
则，且.
所以有，即，
则，
当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值.
当取得最大值时，有，则，
则，令，且，则，
则，
当且仅当，即，时，等号成立.
故当取得最大值时，的最小值为.