专题10 相似三角形模型之（双）A字型、（双）8字型、母子型-2025年中考数学二轮专题（江西专用）(原卷版+解析版)

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18532" PAGEREF _Tc18532 \h 1
\l "_Tc13837" 模型1.相似模型之“A”字模型 PAGEREF _Tc13837 \h 1
\l "_Tc18681" 模型2.相似模型之“X”字模型（“8”字模型） PAGEREF _Tc18681 \h 8
\l "_Tc32686" 模型3.相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型） PAGEREF _Tc32686 \h 13
\l "_Tc17294" 模型4.相似模型之“母子型”模型（共边共角模型） PAGEREF _Tc17294 \h 18
\l "_Tc23713" PAGEREF _Tc23713 \h 24
模型1.相似模型之“A”字模型
“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。
①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型

图1 图2 图3 图4
①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC)。
证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC)。
②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB)＝eq \f(DE,BC)。
证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB)＝eq \f(DE,BC)。
③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC；
结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。
证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC，
同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC)。
④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。
证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC，
同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。
例1．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．

(1)若，求线段的长．
(2)若的面积为3，求平行四边形的面积．
【答案】(1)
(2)24
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．
（1）根据平行四边形的性质得出，证明，得出，根据，求出；
（2）根据平行四边形的性质得出，，说明，，得出，求出，得出，根据，求出，得出结果即可．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵的面积为3，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积．
例2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M．
(1)若，求的值；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查三角形相似的额判定与性质．
（1）根据，证明，得到，由，得到，进而得到，求出，即可求解；
（2）由（1）知，得到，推出，根据，证明，得到，推出，即可证明结论．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，即，
的值为；
（2）证明：，
，即，
，
，
，
，
点D是中点，
，
，
，即，
．
例3.（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，．
(1)求的值；
(2)求与的周长之比；
(3)若的面积为4，求的面积．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握是是解决问题的关键．
（1）由可证得，再根据相似三角形的性质即可求得结果；
（2）由，相似三角形的周长比等于相似比，即可证得；
（3）由，．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．
【详解】（1）∵，
∴，
又∵分别是和的高，
∴；
（2）∵，
∴；
故与的周长之比为
（3）∵，
∴，
∵，
∴．
故的面积为．
例4.（2023·吉林长春·模拟预测）【知识点】三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心．
【解决问题】如图①，在中，分别是边的中点，求证：；
【归纳】用文字语言叙述【解决问题】反映的关于三角形重心的性质；
【应用】如图②，在中，D是边的中点，过点G的直线分别交边于点E、F，若，则 ．
【答案】解决问题：详见解析；
归纳：三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一．
应用：
【分析】本题考查了相似型的综合应用，主要考查了三角形的重心，相似三角形的性质与判定，解题的关键是掌握三角形的重心．
[解决问题]连接，根据题意得到且，证明，得到，即可得证．
[归纳]三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一．
[应用]如图（2）中，过点作交于．交于．利用相似三角形的性质求解．
【详解】[解决问题]证明：连接，如图，
∵、分别是边、的中点，
∴且，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
[归纳]解：三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一．
[应用]解：如图，过点作交于H．交于N．
，
，
，
∴，，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
故答案为：．
模型2.相似模型之“X”字模型（“8”字模型）
“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．
①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型

图1 图2 图3 图4
①“8”字模型
条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OC)＝eq \f(OB,OD)。
证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OC)＝eq \f(OB,OD)。
②反“8”字模型
条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OD)＝eq \f(OB,OC)。
证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OD)＝eq \f(OB,OC)。
③平行双“8”字模型
条件：如图3，AB∥CD；结论：。
证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO，
同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。
④斜双“8”字模型
条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。
证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO；
∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。
例1．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，正方形，边长为4，点在边上，射线与射线交于点．
(1)若，求的长；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质．
（1）通过证明，由相似三角形的性质可求解；
（2）通过证明，可得，可得结论．
【详解】（1）解：四边形是边长为4的正方形，
，
，
，
，即
；
（2）证明：，
，
∵在正方形中，，
，
，
．
例2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交对角线于点 、的延长线与点．
(1)求证：是、的比例中项；
(2)若，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键．
（1）根据菱形的性质可得，则、可得，进而得到，从而证明结论；
（2）根据菱形的性质可得，进而得到，再证明可得，再证明可得,即：；然后代入即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∴是、的比例中项．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,即：，
∵，
∴，即，
∴．
例3．（2024·浙江·一模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连结，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且．

(1)若，求线段，的长．
(2)若四边形的面积为48，求的面积．
【答案】(1)，
(2)125
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．
（1）根据平行四边形的性质得出，即可得，，再根据相似三角形的性质及比例的性质即可；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的性质即可．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形
；
（2），
四边形的面积为48
∵
∴
∴，即
解得．
模型3.相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型）
①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型

图1 图2 图3
①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC；
结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。
证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC)。
∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。
∴。
②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC；
结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。
证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。
∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。
两式相加得到：，即，故。
③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。
证明:同②中的证法，易证：，，
∴，即AF=AG，故。
例1．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，是的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G．
(1)若，求证：．
(2)若，，求的长．
(3)在（2）的条件下，若，求．
【答案】(1)见解析
(2)3
(3)15
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件．
（1）依据等量代换得到，依据，即可证明；
（2）依据，可得，依据，即可得出，再根据，可得，进而根据解题；
（3）过点作于点H，由（2）知，由，求出，即可求出，再根据，得到，推出，证明，得到，推出，求出，从而求出，再根据平行四边形的性质得到，即可求解．
【详解】（1）证明：∵中，，
，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵平行四边形中，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
，
∵，
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点作于点H，
由（2）知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
例2．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；

小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程．
（2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：．
（3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由，可证，则，同理可得：，则，两边同时除以，可得．
（2）由，，，，可得，，证明，则，同理，，则，两边同时除以得，，进而可得；（3）由（1）可知，，，则，解得，，则，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：，
∴，两边同时除以，得．
（2）证明：∵，，，，∴，，
∵，∴，∴，同理，，
∴，∴，
两边同时除以得，，∴；
（3）解：由（1）可知，，，
∴，解得，，∴，解得，，∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的判定．解题的关键在于明确相似三角形的判定条件．
模型4.相似模型之“母子型”模型（共边共角模型）
“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。

图1 图2 图3 图4
1）“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC.
2）双垂直模型（射影模型）
条件：如图2，∠ACB=90，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
证明：∵∠ACB=90，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，
∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
3）“母子”模型（变形）
条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA；
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA
4）共边模型
条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：；
证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC，
∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴
例1．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．

(1)求证:；
(2)若E是的重心，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质，
（1）证明，可得，可证，可得，即可得证；
（2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵E是的重心，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
例2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，为等腰直角三角形，，点D、E在线段上，．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)16
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质， 等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定以及性质是解题的关键．
（1）由等腰三角形的性质可得出，再证明， 即可得出．
（2）由相似三角形的性质可得出， 再结合已知条件可得出的值．
【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴；
（2）解：∵，
∴
∴，
∵，
∴．
例3．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）【阅读】
定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．
【理解】
（1）①若，，则_______“准直角三角形”；（填“是”或“不是”）
②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为________．
【应用】
（2）如图1，在中，点D在上，连接．若，，，，试说明是“准直角三角形”．
【提升】
（3）如图2，在中，，，，点P在AB的延长线上，连接．若是“准直角三角形”，且，直接写出此时的长．

【答案】（1）①是；②；（2）见解析；（3）或8
【分析】题目主要考查三角形内角和定理，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质及等腰三角形的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键
（1）①根据三角形内角和定理求出，则，再根据“准直角三角形”的定义即可得到答案；②根据“准直角三角形”的定义得到，根据三角形内角和定理得到，据此求解即可；
（2）先求出，则，，利用勾股定理的逆定理证明，即可证明，则是“准直角三角形”；
（3）根据题意分两种情况分析：和，结合图形，利用等角对等边及相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】解：（1）①∵在中，，，
∴，
∴，
∴是“准直角三角形”，
故答案为：是；
②∵是“准直角三角形”，且，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
∴，
∴是“准直角三角形”．
（3）∵，，，
∴，
∵是“准直角三角形”， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵是“准直角三角形”， ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
综上可得：的长为或8．
一、单选题
1．（2025·陕西西安·二模）如图，在 中，点分别在的边上，且，的中线交于点G．若四边形的面积与的面积相等，，则的长为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质；证明，得，然后证明，得根据相似三角形的性质求出，结合进而计算的值即可．
【详解】解：∵与四边形的面积相等，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∵，
，
∴，
∵
∴
∴，
故选：B．
2．（2024·安徽亳州·模拟预测）如图，是的中线，点F在上，延长交于点D，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造相似三角形是解题的关键．
过点E作交于G，先利用三角形的中线的定义得到，再根据相似三角形的性质得到，由得到，最后由相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：如图：过点E作交于G，
∵是的中线，
∴，
如图：过点E作交于G，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
3．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，，，是对角线的中点，是边上一点，连接并延长交于点，延长交的延长线于点．若，则的长为（ ）
A．B．3C．3．5D．4
【答案】B
【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】先证明，，可得，，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可．
【详解】解：在中，，，是对角线的中点，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
故选：B
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟记平行四边形的性质与相似三角形的判定方法是解本题的关键．
4．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，在正方形中，G为边中点，连接并延长交边的延长线于点E，对角线交于点F．已知，则线段的长度为（ ）

A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明
【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；本题先判定，再根据“相似三角形的对应边成比例”求得，从而得到，再判定，根据“全等三角形的对应边相等”得到，最后求出结果即可．
【详解】解：四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
为边中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
二、填空题
5．（2025·陕西·一模）如图，在中，，于点D，若，，则的长为 ．
【答案】5
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、直角三角形的两个锐角互余
【分析】根据题意，得，结合，证明，列比例式解答即可．
本题考查了三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：5．
6．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点．若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长
【分析】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质．根据矩形可得，从而有，再根据性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
7．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，点D在边上，，过点A作于点F，交于点E，连接，若，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】根据正方形的性质与判定证明、全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定
【分析】过作交于，交于，过作交于，交于，连接，设，通过等腰三角形的性质推导角度可得，再证明四边形是正方形，得到，再证明得到，最后根据证明求解即可．
【详解】过作交于，交于，过作交于，交于，连接，设，
∵，
∴，垂直平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．
8．（2025·上海普陀·一模）如图，D、E分别是的边、上的点，，，垂足为点F．如果，，的面积为9，那么的面积为 ．
【答案】4
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
过点A作于点H，根据的面积及的长求出的长，证明，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可求出的面积．
【详解】解：过点A作于点H，
∵的面积为9，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
三、解答题
9．（2025·上海金山·一模）已知：如图，点是平行四边形的对角线上的一点，射线与交于点，与的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求证：四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、等边对等角、证明四边形是菱形
【分析】（1）可得，，则，，即可证明；
（2）先证明，再证明，再根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质求证．
【详解】（1）证明：平行四边形
， ，
∴，，
，

；
（2）证明：如图，连接，
，
，又，
，
，
，，
，，
，
平行四边形，
，
，
，
，
，
，又，
，
即，
，
平行四边形，
四边形是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
10．（2025·上海松江·一模）如图，在中，，，，垂足分别为点，点．，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、三线合一
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据题意证明，即可求解；
（2）设与交于点，可证，得到，再证，得到，则有，由，代入计算即可求解．
【详解】（1）证明： 如图所示，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：设与交于点，
，
，，
，
，，
∴，，
，
又，
，
，
，，
，
，
即，
，
．
11．（2025·上海奉贤·一模）已知，如图，在中，点D在边上，点M、N在边上，是线段与的比例中项，分别交于点E、F．
(1)求证：；
(2)若点O为边的中点，连接，且，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、与三角形中位线有关的证明
【分析】（1）根据，证明，得到，，结合可以证明，继而得到，证明，结合证明，等量代换即可证明．
（2）在上截取，连接，证明，再三角形相似，平行线的判定证明，解答即可．
【详解】（1）证明：∵是线段与的比例中项，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：在上截取，连接，
∵点O为边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的判定和性质，比例中项的意义，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
12．（22-23九年级下·湖南常德·期中）在中，，点为的中点，点是线段上一动点，过点作分别交边于点．
(1)如图1，求证；
(2)如图1，若，求证：；
(3)如图2，若点为的中点，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【知识点】全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．
（1）根据题意可得，由直角三角形斜边中线的性质得出，则，推出，即可求证；
（2）由（1）可知，，，根据，得出，结合相似三角形的性质，即可求证；
（3）过点A作于点P，过点B作交延长线于点Q，易证，则，通过证明，得出，根据，即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：由（1）可知，，，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：过点A作于点P，过点B作交延长线于点Q，
∵，，，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴．
13．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点．
(1)求的长；
(2)如图，如果，求的值；
(3)如果是以为腰的等腰三角形，求长．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【知识点】全等三角形综合问题、三角形的外角的定义及性质、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）根据角平分线的定义以及和的关系，可以得出，，据此求出的长即可；
（2）根据和相似，可以求出和的长，过作交于，根据和可求出的值；
（3）分情况讨论：当时；当时，即可解答．
【详解】（1）解：，平分，
，
，
又，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，
，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
过作交于，如图：
，
，
，
又，
，
，
；
（3）解：当时，
，
，
，
，，
，
，
，
，
由（2）知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当时，在上截取点，使，如图所示：
则，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
解得：，
综上，的长为或．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、等角的补角相等、相似三角形的判定和性质、平行线的判定及性质、等腰三角形的判定与性质、外角的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确判断相似条件与全等是解答本题的关键．
14．（22-23九年级上·广东深圳·期中）【基础巩固】（1）如图1，在中，是边上一点，是边上一点，．求证：；
【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点是边的中点，，若，，求线段的长．
【拓展提高】（3）在中，，以为直角顶点作等腰直角三角形（其中），点在上，点在上．若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）5；（3）10
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等边对等角
【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键．
（1）利用一线三等角模型，可说明，得；
（2）如图2中，延长交的延长线于点．证明，推出，求出，，再利用勾股定理求解；
（3）过点作与交于点，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案．
【详解】（1）证明：，，
，
，
∴，
，
，
，
；
（2）解：如图2中，延长交的延长线于点．
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：如图，过点作与交于点，使，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，（舍去）
．