专题05 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾-2025年中考数学二轮专题（江西专用）(原卷版+解析版)

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc9064" PAGEREF _Tc9064 \h 1
\l "_Tc834" 模型1.“A”字模型 PAGEREF _Tc834 \h 1
\l "_Tc21431" 模型2.“8”字模型 PAGEREF _Tc21431 \h 3
\l "_Tc24829" 模型3.燕尾模型 PAGEREF _Tc24829 \h 5
\l "_Tc4396" PAGEREF _Tc4396 \h 9
模型1.“A”字模型
如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。

条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角；
结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E
证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。
②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。
例1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，若剪去得到四边形，则 ．
【答案】235°/235度
【分析】此题考查了多边形的内角和，先利用三角形内角和为计算，然后根据邻补角的定义计算即可．
【详解】解：∵，∴，
∴，故答案为：．
例2．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.

(1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由；
(3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系.
【答案】(1)①；②(2)，理由见解析(3).
【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键．（1）①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；②根据①的结论即可解答；（2）由（1）的结论以及三角形内角和定理即可解答；
（3）由（2）的结论可得，再根据三角形内角和定理进行解答即可．
【详解】（1）解：①如图1，
∵，∴，
∵，∴；
②由①方法可得：．
（2）解：，理由如下：由（1）可得．
∵，分别平分和，∴，
∴，
∴．
（3）解：，理由如下：由图2可得，，
∵，分别平分和，∴，
∴，
∴．
模型2.“8”字模型

图1 图2
1）8字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。
证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；
在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；
∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D；
在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO；
∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。
2）8字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD
∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ②
①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D
例1．（2023·重庆·八年级期中）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
【答案】D
【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．
【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故选项A，B，C正确，故选D．
【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．
例2．（2023春·广东深圳·七年级部校考期中）探究题
(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______；
(2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______；
(3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；
(4)如图4，如果，，当时，则的度数为______．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；（2）如图2，设，，根据外角的性质得：，，所以，最后由三角形内角和定理可得结论；(3)如图3，延长、交于点，根据（2）的结论，并将，代入可得
结论；（4）如图4，同理计算可得结论．
【详解】（1）在中，，在中，，
∵，∴故答案为：
（2）设，，
∵，分别平分，，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，故答案为：
（3）由（2）可知：，
∵，∴，∴，∴，

（4）如图4，延长、交于点，设，，
∴，，∴，∴，
∴，∴，
∴，，，
∴故答案为：
【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题．
模型3.燕尾模型

图1 图2
基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。
证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D；
又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。
延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。
即：，故。
拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。
证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC；
根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A；
∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。
例1．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数．
【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图，
∵ ∴
同理得∵
∴

∵ ∴
∴
∴,故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：．
例2．如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．

探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究与、、之间的关系，并说明理由；
应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则 ；②如图3，、的2等分线（即角平分线）、相交于点，若，，求的度数；
拓展：（3）如图4，，分别是、的2020等分线（），它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 度．
【答案】（1），理由见详解； （2）①30；②95°；（3）
【分析】（1）连接AD并延长至点E，利用三角形外角的性质得出左右两边相加即可得出结论；（2）①直接利用（1）中的结论有，再把已知的角度代入即可求出答案；②先根据求出，然后结合角平分线的定义再利用即可求解；
（3）先根据求出，再求出的度数，最后利用求解即可．
【详解】（1）如图，连接AD并延长至点E，∵

又∵∴
（2）①由（1）可知
∵，∴
②由（1）可知
∵，∴
平分 ，CF平分
（3）由（1）可知
∵， ∴
∵，分别是、的2020等分线（）
∴
∴
【点睛】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质和角平分线的定义是解题的关键．
一、单选题
1．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，点E，D分别在，上，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解决问题的关键．
先根据三角形内角和定理求出，然后在中利用三角形的内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：在中，，，
，
在中，．
故选：B．
2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，与的角平分线交于点P，，，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
延长，交于点．先利用三角形的外角性质可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的内角和定理可得，据此即可得．
【详解】解：如图，延长，交于点．
∵是的外角，，
∴．
∵是的外角，，
，
，
，
∵的角平分线交于点，
，
，，
，
故选：B．
3．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，与交于点，角，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形角平分线的定义
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义和应用，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键．
连接，根据题意得到，，进而得出，得到，根据三角形内角和定理计算即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
是的角平分线，是的角平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C ．
二、填空题
4．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，点在的延长线上，于点，若，，则的度数是 ．
【答案】 /度
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，根据垂直定义得出，根据三角形内角和定理得出，，再根据三角形的外角性质得出即可．
【详解】解：，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
故答案为：．
5．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则 ．
【答案】
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、对顶角相等、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，对顶角的性质，三角形的外角性质等；，设，则，由三角形的内角和定理得，，再由角平分线及三角形的内角和定理得，由三角形的外角性质得，即可求解；能熟练利用三角形的内角和定理进行求解是解题的关键．
【详解】解：如图，
，，
又，
，
设，则，
，
，
，分别平分和，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
6．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系 ．
（2）在图2中和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ．
【答案】 /度
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键．
（1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解；
（2）根据（1）的关系式求出，，然后利用“8字形”的关系式结合角平分线列式整理即可得解；
【详解】解：（1），，
又∵，
；
（2），，
，
，
、分别是和的角平分线，
，，
又，
；
故答案为：（1），（2）
三、解答题
7．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图所示，点D在的延长线上，，，，，，求度数．
【答案】
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查三角形外角的性质，平角的定义，熟练掌握三角形外角的性质是解决问题的关键．根据三角形的外角性质可求出，，再由平角的定义求解即可．
【详解】解：∵是的外角，
，
∵是的外角，
，
∵，
，
∴，
，
8．（24-25八年级上·河南商丘·期中）已知在和中，，，将如图摆放，使得的两条边分别经过点B和点C．
(1)当将如图1摆放时，求的度数；
(2)当将如图2摆放时，求的度数；
(3)能否将摆放到某个位置时，使得、同时平分和？直接写出结论_______（填“能”或“不能”）
【答案】(1)
(2)
(3)不能
【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的计算，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系．
（1）先根据三角形内角和为和已知条件，求出和的度数，再次利用三角形内角和定理求出，最后根据，代入进行计算即可；
（2）先根据三角形内角和为和已知条件，求出和的度数，再次利用三角形内角和定理求出，最后根据，代入进行计算即可；
（3）先根据已知条件，求出，假设、同时平分和，求出，根据三角形内角和定理平行解答判断即可．
【详解】（1）解：，，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：不能，理由如下：
，
，
，
若、同时平分和，
则，
，
，与三角形内角和定理相矛盾，
不能将摆放到某个位置时，使得、同时平分和，
故答案为：不能．
9．（24-25七年级下·全国·单元测试）【探究】如图①，试说明；
【应用】
（1）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数；
（2）如图③，，，求的度数．
【答案】探究：见解析；应用：（1）；（2）
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题侧重考查三角形的外角性质及三角形内角和定理．
探究：连结，并延长，如图所示，先由外角的性质得①，②，再由①②即可得出结论；
应用：（1）先由三角形的内角和求出，得到，再由探究的结论得到，代入求值即可；
（2）连结，由探究可知，，即可得到，
【详解】探究：
证明：连结，并延长，如图所示，
是的外角，
①，
是的外角，
②，
①②，得
，
即；
应用：
解：（1），，
，
，
由探究可知；
（2）连结，如图所示．
由探究可知③，
④，
③④，得
，
．
10．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，与分别为的两个外角，则．
【推理证明】∵与分别为的两个外角，
∴______，______，
∴______．
∵，
∴．
【初步应用】
（1）如图②，在纸片中剪去，得到四边形，若，则的大小为______度．
（2）如图③，在中，、分别为外角、的平分线，则与的数量关系，并说明理由．
【拓展提升】
（3）如图④，在四边形中，、分别为外角、的平分线，若，求的度数．
【答案】【推理证明】见解析；【初步应用】（1）；（2）；【拓展提升】．
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角性质，三角形内角和定理，理解相关知识是解答关键．
【推理证明】由三角形外角性质得，，再求与的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证；
【初步应用】（1）由进行变形为即可求解；
（）由角平分线的定义得，，再由三角形内角和定理得出，然后把代入即可求解；
【拓展提升】（3）延长、交于点，先求，再把代入即可求解．
【详解】证明：【推理证明】∵与分别为的两个外角，
∴，，
∴．
∵，（三角形内角和定理）
∴．
故答案为：；
解：（1）∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵、分别为外角、的平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（3）如图所示，延长、交于点，
∵，，
∴，
∴．
11．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）［问题初探］（1）观察“基础图”图1，试探究与，，之间的关系，并说明理由；请你直接利用以上结论，解决以下问题：
［类比分析］（2）如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点，，若，直接写出的结果．
［拓展探究］（3）如图3，平分，平分，若，，求的度数．
【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查三角形的外角，与角平分线有关的计算：
（1）作射线AF，根据三角形的外角的性质可得结论：；
（2）先根据三角尺可知：，根据（1）的结论可得：，从而得结论；
（3）先根据第1题的结论可得：的度数，由角平分线可得：，从而得结论．
【详解】解：（1），理由是：
过点A、D作射线，
∵，
∴，
即；
（2）∵，
由（1）知：，
∵，
∴；
（3）∵，
∴，
∵平分平分，
∴，
∴，
∴．
12．（24-25七年级上·吉林·期末）【问题背景】
如图1的图形我们把它称为“8字形”，其中与交于O，请说明；
【简单应用】
如图2，与交于O，分别平分，若，则______．
【拓展延伸】
在图3中，与交于O，若，则______．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、几何图形中角度计算问题
【分析】本题考查了三角形的外角性质，角的和差运算，角平分线的意义，正确理解题意，正确运用是解题的关键．
（1）由三角形的外角性质即可证明；
（2）由角平分线可设，由上得，，即可求解；
（3）由题意设，则由上得： ，由上得：，则，联立即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴；
（2）解：∵分别平分，
∴，
设，
由上得：， ，
∵
∴，
由①得：
由②得：，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴设，
由上得：，
∴，
∴，
由上得：，
∴，
∴，
∴,
解得：，
故答案为：．
13．（24-25八年级上·江西上饶·期中）问题情境：
如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”．
【探究发现】
（1）观察“规形图”，试探究规角与之间的数量关系，并说明理由；
【解决问题】
（2）请你利用以上结论，解决下列问题：
（i）如图②，在中，的平分线交于点P，若，则 度，若，则 度（用含的式子表示）；
（ii）如图③，平分平分，若的度数 ．
【延伸探究】
（3）如图④，在中，的平分线与的外角的平分线交于点P，过点C作于点H，若，求的度数；
【拓展应用】
（4）如图⑤，在中，，点I为三条内角平分线交点，连接．延长，与的外角的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数为 ．
【答案】（1），理由见解析
（2）（i），；（ii）
（3）
（4）或
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算
【分析】本题考查三角形外角的性质、角平分线线的定义及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
（1）连接并延长至点F，根据外角的性质，可得，再求解即可；
（2）（i）在中，，可得，再由角平分线的定义可得，可得出 ，在中，，可得，再求解即可；当时，按照同样的方法求解即可；
（ii）先求出，再由角平分线的定义可得，再求解即可；
（3）先求得， 再由外角的性质可得，即：，得出，即可得到，在中，，再求解即可；
（4）分为，，，，这四种情况求解即可．
【详解】解：（1）如图①，连接并延长至点F，
根据外角的性质，可得，
又∵，，
∴；
（2）（i）在中，，
∴，
∵的角平分线交于点P，
∴，
∴，
在中，，
∴，
，
，
，
在中，，
∴，
∵的角平分线交于点P，
∴，
∴，
在中，，
∴，
，
，
，
故答案为：，；
（ii）由（1），可得，
，
∴，
又∵平分平分，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）如图④，
∵是的外角，，
∴，
即，
∵是的外角，
∴，
即：，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；
（4）如图⑤，由前面结论易得
；
在中有一个角是另一个角的2倍，
∴①，
∴
∴；
②，
∴，
，
∴；
③
∴
∴；
④，不存在
∴在中有一个角是另一个角的2倍时，为或．
故答案为：或．
14．（2025七年级下·全国·专题练习）图①中的图形像我们常见的学习用品一圆规，我们不妨把这样的图形叫作“规形图”，那么在这个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？
(1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由．
(2)请你直接利用上述结论，解决下列问题：
①如图②，把一块直角三角尺放置在上，使直角三角尺的两条直角边，恰好经过点，若，则__________；
②如图③，平分，平分，若，求的度数；
③如图④，的十等分线分别相交于点，若，求的度数．
【答案】(1)，理由见详解
(2)①；②；③
【知识点】几何图形中角度计算问题、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算、角n等分线的有关计算
【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质、角平分线、几何图形中角度计算等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题关键．
（1）连接并延长至点，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可知，，结合，，即可证明结论；
（2）①结合（1）中结论求解即可；②首先结合（1）中结论可知，再由角平分的定义可知，然后计算的值即可；③设，易得，进而可得，结合求得的值，即可获得答案．
【详解】（1）解：，理由如下：
如下图，连接并延长至点，
∵，，
又∵，，
∴；
（2）①根据题意，，，
由（1）可知，，
∴．
故答案为：；
②∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴；
③设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
∴．
15．（24-25七年级下·全国·单元测试）四条线段、、、首尾顺次相接，组成以下图形，填空：
(1)当点、、三点共线时，如图①，__________°；
(2)当点、、三点不共线时，
①如图②（“飞镖”形），与、、之间的数量关系是__________，并说明理由；
②如图③，__________；
(3)当点在线段上时，如图④，与、之间的数量关系是_____；
(4)当线段与相交时，如图⑤（“8字”形），、与、之间的数量关系是__________．
【答案】(1)180
(2)①，理由见解析；②360
(3)
(4)
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用；
（1）由三角形的内角和定理可得答案；
（2）①如图，作射线，利用三角形的内角和与平角的含义可得：，，再利用角的和差运算可得结论；②如图，连接，利用三角形的内角和定理可得答案；
（3）利用三角形的内角和定理与平角的含义可得答案；
（4）利用三角形的内角和定理可得，，再进一步可得结论．
【详解】（1）解：当点、、三点共线时，如图①，；
（2）解：①如图，作射线，
∵，，
∴，，
∴；
②如图，连接，
∵，，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴；
（4）解：如图，记的交点为，
∵，，，
∴