山东省枣庄市峄城区2024—2025学年 九年级下学期期中质量检测数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山东省枣庄市峄城区2024—2025学年 九年级下学期期中质量检测数学试题（原卷版+解析版），共14页。
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（ ）
A. B. 1C. D. 3
2. “巳巳如意”图案是2025年乙巳蛇年春晚的主题图案，将两个“巳”字对称摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，饱含喜庆美满的家国祝福．下列“巳”字图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 2025年的春节档影片《哪吒2》，以“我命由我不由天”的精神内核和全新的中国风审美，结合现代科技手段，诠释了中华文化的创新活力与独特魅力．截止到2025年4月5日，该片票房已超过元．其中用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 某校举办运动会，运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，下面四幅图中，不可能是该几何体的三视图的是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（ ）
A. 2B. C. D.
8. 如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（ ）
A. B. C. D.
9. 在“双减”政策推动下，学校开展了丰富多彩的社团活动．书法社和绘画社开始招募新成员．起初，书法社的报名数比绘画社报名数的还多人；后来，绘画社有人改报了书法社，此时，书法社的报名数是绘画社报名数的倍．设起初报名书法社的为人，报名绘画社的为人，则下面所列方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 定义：若x，y满足，（m为常数），则称为“和谐点”．下列说法正确的是（ ）
①是“和谐点”；②直线上有且只有一个“和谐点”；③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；④若二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或．
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．只填写最后结果．
11. 在实数范围内有意义，则实数的值可以是______．（任写一个符合条件的实数即可）
12. 学校通过开展丰富多彩的中医药文化活动，推动了中医药文化传承发展．如图是四味中药材图片，分别为紫苏、天麻、马齿苋和灵芝，除正面内容外，其余完全相同，现从这四张图片中随机抽取两张进行研究，则抽到灵芝和天麻的概率是______．
13. 已知、是的两个根，则的值为________
14. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．若，．小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为______．
15. 如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D落在上，延长，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为__________．

三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16 解下列各题：
（1）求不等式的正整数解．
（2）先化简，再求代数式的值，其中．
17. 仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法．
（1）如图1，在正方形网格中，A，B是格点，请找一个格点C，连结，使得．
（2）如图2，在正方形网格中，A，B是格点，请找到线段的中点，并用字母D表示（保留作图痕迹）．
（3）如图3，在中，E是边上一点，请在边上找一点F，连结，使得四边形是平行四边形（保留作图痕迹）．
18. 为了提高汽车通过效率，停车场入口一般都采用了智能停车系统．如图，某停车场入口处摄像头点到地面的距离为（即），是水平地面．轿车车牌上边缘到地面的距离为（即），摄像头最大扫描角度，摄像头张角，点，，，，，在同一竖直平面内，求摄像头识别车牌的有效范围的长．（结果精确到参考数据，，，）
19. 启迪未来之星，推进科技教育．某中学举行了一次“人工智能”知识竞赛活动（竞赛成绩为十分制）．各班以小组为单位组织竞赛．
【数据整理】小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图：
【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析：
【数据应用】
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：_____，_____．
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7.8分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_____（填“甲”或“乙”）组的学生，请说明理由．
（3）小西认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好．小东认为小西的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由．（写出一条即可）
20. 如图，矩形顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知点．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）将矩形平移得到矩形，平移后点O的对应点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为2，求点B的对应点的坐标．
21. 如图，是的直径，，点E在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）当半径为2，时，求的值．
22. 在平面直角坐标系中，二次函数（a、b、c为常数，且，）的图像顶点C的坐标是．
（1）若，求二次函数表达式；
（2）点，是该函数图像上的两个不同的点，若，请判断，的大小关系，并说明理由；
（3）等腰直角的直角顶点B在该二次函数的图像上，点D在该二次函数图像的对称轴上，若，直接写出a的值．
23. 某校数学兴趣学习小组的同学学习了图形的相似后，对三角形相似进行了深入研究．
【合作探究】
如图1，在中，点为上一点，．求证：；
【内化迁移】
如图2，在中，点为边上一点，点为延长线上一点．．若．求长；
【学以致用】
如图3，在菱形中，．点是延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作交延长线于点．若，请直接写出的长．
2024～2025学年度第二学期期中质量监测九年级数学试题
本试卷共8页，满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（ ）
A. B. 1C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，正确理解有理数所表示的点左右移动后得到的点所表示的数是解题的关键．将在数轴上对应的点向右平移2个单位，在数轴上找到这个点，即得这个点所表示的数．
【详解】根据题意：数轴上所对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是1．
故选B．
2. “巳巳如意”图案是2025年乙巳蛇年春晚的主题图案，将两个“巳”字对称摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，饱含喜庆美满的家国祝福．下列“巳”字图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项符合题意．
故选：D．
3. 2025年的春节档影片《哪吒2》，以“我命由我不由天”的精神内核和全新的中国风审美，结合现代科技手段，诠释了中华文化的创新活力与独特魅力．截止到2025年4月5日，该片票房已超过元．其中用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可．
【详解】解：，
故选：D．
4. 某校举办运动会，运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，下面四幅图中，不可能是该几何体的三视图的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图，从左面观察物体所得到的视图是左视图，从上面观察物体所得到的视图是俯视图”，熟练掌握三视图的定义是解题关键．根据三视图的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、不可能是该几何体的三视图，则此项符合题意；
B、是该几何体的主视图，则此项不符合题意；
C、是该几何体的俯视图，则此项不符合题意；
D、是该几何体的左视图，则此项不符合题意；
故选：A．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了单项式的乘除法，多项式除以单项式，负整数指数幂，根据运算法则进行逐项计算，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的；
故选：D．
6. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解．
【详解】∵，
∴，
∵，则，
∴，
故选：A．
7. 如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由正方形的性质得到，再证明得到，进一步证明得到，设，则，
在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故选：D．
8. 如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，点的对称，属于简单题，求交点坐标是解题关键．
先求出点的坐标，再根据对称性求出对称点的坐标即可．
【详解】解：令，则，
解得：，
即点为，
则点A关于y轴的对称点是．
故选：A．
9. 在“双减”政策推动下，学校开展了丰富多彩的社团活动．书法社和绘画社开始招募新成员．起初，书法社的报名数比绘画社报名数的还多人；后来，绘画社有人改报了书法社，此时，书法社的报名数是绘画社报名数的倍．设起初报名书法社的为人，报名绘画社的为人，则下面所列方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设起初报名书法社的为人，报名绘画社的为人，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设起初报名书法社的为人，报名绘画社的为人，
由题意得，，
故选：．
10. 定义：若x，y满足，（m为常数），则称为“和谐点”．下列说法正确的是（ ）
①是“和谐点”；②直线上有且只有一个“和谐点”；③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；④若二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或．
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，反比例函数的性质，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分别把代入和，都求出，即可判断①；先整理得，得或当，再结合，得出，则，求出，此时反比例函数的图象上有两个“和谐点”；同理结合，得，得可以为正数，零，负数，即可判断③；把或当与构建方程组，再结合判别式进行分析，即可作答．
【详解】解：依题意，把代入，
∴，
∴；
把代入把，
∴，
∴；
∴是“和谐点”；
故①说法是正确的；
依题意，把代入，得，
再把代入，
得，
解得或；
∴直线上有两个“和谐点”；
故②说法是错误的；
∵，，
∴，，
则，
∴，
∴，
∴或当，
∵反比例函数的图象上
∴依题意，则，
∴，
则，
∵，
∴，
此时反比例函数的图象上有两个“和谐点”；
或，
∴，
，
∵，
∴可以为正数，零，负数，
综上当时，反比例函数的图象上最多只有四个“和谐点”；
故③说法是错误的；
∵二次函数，
依题意，则，
∴，
，
解得，
∴与有一个“和谐点”；
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
则与有两个“和谐点”；
故二次函数的图象上有3个“和谐点”，则；
当，
解得，
把代入，
∴，
解得，
此时，
∴，
∴，
此时有2个“和谐点”，
则，
∴，
，
此时有2个“和谐点”，
但有一个点是重合的，则二次函数的图象上有3个“和谐点”，
综上：二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或．
故④说法是正确的；
故选：B．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．只填写最后结果．
11. 在实数范围内有意义，则实数的值可以是______．（任写一个符合条件的实数即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可．
【详解】解：由题意可得，
，
（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
12. 学校通过开展丰富多彩的中医药文化活动，推动了中医药文化传承发展．如图是四味中药材图片，分别为紫苏、天麻、马齿苋和灵芝，除正面内容外，其余完全相同，现从这四张图片中随机抽取两张进行研究，则抽到灵芝和天麻的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键．利用画树状图法解答即可．
【详解】解：设A，B，C，D分别代表紫苏、天麻、马齿苋和灵芝，
根据题意，画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中灵芝和天麻的有2种，
∴恰好选中灵芝和天麻的概率是．
故答案为：．
13. 已知、是的两个根，则的值为________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解．正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得、，再把化为，再代入求值即可．
【详解】解：∵m，n是方程的两实数根，
∴、，
∴，
故答案为：．
14. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．若，．小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为______．
【答案】##
【解析】
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
【详解】由题意得：，
∴，
如图，过作于点，交于点，
∴，，
∴，即，
∴，
即小孔到的距离为，
故答案为：．
15. 如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D落在上，延长，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为__________．

【答案】##
【解析】
【分析】连接，得到，求出，证得，得到，求出，再根据公式即可得面积．
【详解】解：连接，

由旋转知，
∴，
∴，
∴，
∴，
即为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆周角定理，扇形面积计算公式，等腰三角形的性质，熟记圆周角定理是解题的关键．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 解下列各题：
（1）求不等式的正整数解．
（2）先化简，再求代数式值，其中．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，分式的化简求值，特殊角三角函数值的混合计算，分母有理化：
（1）先求出不等式的解集，进而可得到不等式的正整数解；
（2）先把原代数式中第一个分式的分子分母同时分解因式后约分化简，再计算分式减法，接着根据特殊角三角函数值求出x的值，最后代值计算即可．
【小问1详解】
解：
，
则不等式的正整数解为：．
【小问2详解】
解：
，
∵
∴原式．
17. 仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法．
（1）如图1，在正方形网格中，A，B是格点，请找一个格点C，连结，使得．
（2）如图2，在正方形网格中，A，B是格点，请找到线段的中点，并用字母D表示（保留作图痕迹）．
（3）如图3，在中，E是边上一点，请在边上找一点F，连结，使得四边形是平行四边形（保留作图痕迹）．
【答案】（1）图见解析（答案不唯一）
（2）图见解析（作法不唯一）
（3）图见解析（作法不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理和网格、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
（1）根据勾股定理和网格可得，再结合网格画出格点即可得；
（2）利用平行四边形的对角线互相平分作图即可得；
（3）先连接，交于点，再连接，并延长交于点，然后连接，由此即可得．
【小问1详解】
解：如图，格点和线段即为所求（答案不唯一）．
．
【小问2详解】
解：如图，点即为所求（作法不唯一）．
．
【小问3详解】
解：如图，点和四边形即为所求（作法不唯一）．
．
18. 为了提高汽车通过效率，停车场入口一般都采用了智能停车系统．如图，某停车场入口处摄像头点到地面的距离为（即），是水平地面．轿车车牌上边缘到地面的距离为（即），摄像头最大扫描角度，摄像头张角，点，，，，，在同一竖直平面内，求摄像头识别车牌的有效范围的长．（结果精确到参考数据，，，）
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，延长交于点，分别求出和的长，根据即可求出答案．
【详解】解：延长交于点，
由题意得：，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴摄像头识别车牌的有效范围的长约为．
19. 启迪未来之星，推进科技教育．某中学举行了一次“人工智能”知识竞赛活动（竞赛成绩为十分制）．各班以小组为单位组织竞赛．
【数据整理】小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图：
【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析：
【数据应用】
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：_____，_____．
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7.8分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_____（填“甲”或“乙”）组的学生，请说明理由．
（3）小西认为甲组成绩平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好．小东认为小西的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由．（写出一条即可）
【答案】（1）8；9；
（2）乙，理由见解析；
（3）见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数等知识点，理解中位数、众数的意义成为解题的关键．
（1）根据中位数、众数的定义即可解答；
（2）根据中位数的定义即可解答；
（3）从两组成绩的众数角度进行分析即可解答．
【小问1详解】
解：甲组学生成绩从低到高排列，处于第4、5位的分别是8、8，则甲组的中位数；
乙组学生成绩9分学生数最多，故乙组的众数．
故答案为：8，9．
【小问2详解】
解：由甲、乙两组学生竞赛成绩的统计分析表可知，甲组的中位数为8分，乙组的中位数为分，由于小明的描述可知小刚的成绩大于自己所在组的中位数，即小明是乙组的学生．
故答案为：乙．
【小问3详解】
解：虽然甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，但乙组成绩的众数大于甲组的众数，说明乙组优秀学生多于甲组，因此从众数的角度看，乙组成绩比甲组好；所以不能仅甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，即小西的观点比较片面．
20. 如图，矩形的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知点．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）将矩形平移得到矩形，平移后点O的对应点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为2，求点B的对应点的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形性质，求反比例函数解析式，平移的规律等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）由矩形的性质结合已知条件可得，然后代入得即可解答；
（2）先求出可得点向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到点，然后根据平移规律即可解答．
【小问1详解】
解：∵在矩形中，
，
，
，
，
把点代入得，
，
∴反比例函数的解析式为．
【小问2详解】
解：∵点的纵坐标为2，
，
∴．即点向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到点．
由（1）知点的坐标为，
∴点向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到点．
21. 如图，是的直径，，点E在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）当半径为2，时，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，，证明垂直平分，得出，证明，得出，说明，即可证明结论；
（2）根据是的直径，得出，根据勾股定理求出，根据三角函数定义求出，证明，得出即可．
【小问1详解】
证明：连接，，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴点O、B在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵的半径为2，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，求一个角的正切值，圆周角定理，垂直平分线的判定，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
22. 在平面直角坐标系中，二次函数（a、b、c为常数，且，）的图像顶点C的坐标是．
（1）若，求二次函数表达式；
（2）点，是该函数图像上的两个不同的点，若，请判断，的大小关系，并说明理由；
（3）等腰直角的直角顶点B在该二次函数的图像上，点D在该二次函数图像的对称轴上，若，直接写出a的值．
【答案】（1）
（2）当时，；当时，
（3）或或
【解析】
【分析】（1）当时，，设二次函数表达式为，利用待定系数法可得，进而可求解；
（2）由（1）可知，，可得，，则，由，得，分两种情况：当时，当时，判断的正负即可求解；
（3）根据等腰直角三角形的性质可知，，当点在上方时，过点作轴，交轴于，交对称轴于，则，先证明，得，，则，即：，可得点在直线上，结合，求得点的坐标为或，即可求得或，进而求得的值；当点在上方时，过点作轴，交轴于，交对称轴于，同理即可求解．
【小问1详解】
解：当时，，
∵图象顶点C的坐标是，则设二次函数表达式为，
把代入可得：，
∴，
∵，则，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）可知，，
∴，
∵，在二次函数图象上，
∴，，
则
∵，
∴，
当时，，
∵，，，
∴，即：；
当时，，
∵，，，
∴，即：；
综上：当时，；当时，；
【小问3详解】
解：∵为等腰直角三角形，，且
∴，，
∴，，
当点在上方时，过点作轴，交轴于，交对称轴于，则，
∴，
∴，
∴，
∴，，
则，即：
∴点在直线上，
则，
解得：或，即：点的坐标为或，
∵，
∴或，
解得：（负值舍去）或（负值舍去），
当时，；当时，；
当点在上方时，过点作轴，交轴于，交对称轴于，则，
同理，
∴，，
则，即：
∴点在直线上，
则，解得：或
即：点的坐标为或，
∵，
∴或，
解得：（负值舍去）或（负值舍去），
当时，；当时，；
综上，或或．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论，添加辅助线全等三角形，得到点在直线上，是解决问题的关键．
23. 某校数学兴趣学习小组的同学学习了图形的相似后，对三角形相似进行了深入研究．
【合作探究】
如图1，在中，点为上一点，．求证：；
【内化迁移】
如图2，在中，点为边上一点，点为延长线上一点．．若．求的长；
【学以致用】
如图3，在菱形中，．点是延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作交的延长线于点．若，请直接写出的长．
【答案】（1）见解析（2）（3）
【解析】
【分析】（1）证明，列出比例式即可得出结论；
（2）平行四边形的性质，得到，证明，得到，求出的值即可；
（3）连接交于点，延长与的延长线交于点，证明四边形为平行四边形，得到，，旋转，得到，证明，得到，求出，过点作，三角函数求出的长，勾股定理求出的长，再根据，进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）连接交于点，延长与的延长线交于点，
∵菱形，，
∴，，，，
∴，，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵旋转，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点作于H，则：，，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，构造三角形相似是解题的关键．
平均数
中位数
众数
甲组
8
8
乙组
7.5
7.5
平均数
中位数
众数
甲组
8
8
乙组
7.5
7.5