山东省日照市东港实验中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份山东省日照市东港实验中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共 10小题，每小题3分，满分 30 分）
1. 在下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列四个算式正确的是（ ）
A. B.
C. ＝×D.
3. 如图，把一块含角三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（ ）
A. B. C. D.
4. 若三边长分别是a，b，c，则下列条件：①；②；③；④中不能判定是直角三角形的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5. 若实数在数轴上的位置如图所示，则代数式的化简结果为（ ）

A. B. C. D.
6. 已知实数满足条件，那么值为 （ ）
A. B. C. D.
7. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，则的长是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
9. 四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，， 则的长为（ ）
A. 1.8B. 2C. 2.3D.
10. 我国宋代数学家秦九韶的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊数学家海伦的成果并称“海伦-秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，，若一个三角形的三边长分别为a，b，c，，，且，则b值为（ ）
A. B. C. D. 10
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 已知的结果为正整数，则正整数的最小值为___．
12. 已知，则的值为___________．
13. 观察下列各式：、、……，请你找出其中规律，并将第个等式写出来________．
14. 在平行四边形中，平分线把边分成长度分别是3和4的两部分，则平行四边形的周长是________．
15. 定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
（1）若与是关于4的共轭二次根式，则__________
（2）若与是关于12的共轭二次根式，求的值．
16. 在中，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是______．

三、解答题（本大题共7小题，满分72分）
17. 计算
（1）；
（2）
18 先化简， 再求值∶， 其中 ．
19. 周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
测得水平距离的长为米；
根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；
牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？
20. 如图，台风中心位于点处，并沿东北方向（北偏东），以千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心千米的区域内会受到台风的影响，在点的北偏东方向，距离千米的地方有一城市，问：市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．
21. 小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的：
，，，．
．
请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）已知，求的值．
22. 著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为)，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．
【结论探究】
(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
【结论应用】
(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点，，在同一条直线上，并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
【问题拓展】
(3)中，，，，，垂足为，请直接写出的值．
23. 如图，在中，于点，，．

（1）求的长；
（2）若点是射线上的一个动点，过点作于点．
①当点在线段上时，若，求的长；
②设直线交射线于点，连接，若，求的长．
2024-2025学年度下学期单元测试
八年级数学试题
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共 10小题，每小题3分，满分 30 分）
1. 在下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽的因数或因式，且开方数不含分母，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此可得答案．
【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次函数，符合题意；
C、被开方数含有开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
D、被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
2. 下列四个算式正确的是（ ）
A B.
C. ＝×D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次根式的各种运算的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A. ，故选项错误，不符合题意；
B.，故选项正确，符合题意；
C. ，故选项错误，不符合题意；
D.，故选项错误，不符合题意；．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了数轴上的点与实数一一对应和勾股定理，正确理解题意是解题的关键；
本题需要通过勾股定理求得，进而得到，然后即可求解；
【详解】解：如图：
，
由题意可知，，，，
∴，
∴，
∴数轴上点A所表示的数为，
故选：C；
4. 若的三边长分别是a，b，c，则下列条件：①；②；③；④中不能判定是直角三角形的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的分类，三角形内角和定理，及勾股定理逆定理．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．根据三角形的分类，三角形内角和定理，及勾股定理逆定理解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴为直角三角形，
故①不符合题意；
∵，
设，则，
∴，
∴为直角三角形，
故②不符合题意；
∵，
设，则、，
∴，
∴，
∴，，，
∴不是直角三角形，
故③符合题意；
∵，
∴，
∴为直角三角形，
故④不符合题意，
故选A．
5. 若实数在数轴上的位置如图所示，则代数式的化简结果为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴可知，，，，再根据二次根式的性质及绝对值的性质即可解答．
【详解】解：由数轴可知，，，，
∴
，
故选．
【点睛】本题考查了数轴上点的位置关系，二次根式的性质，绝对值的性质，掌握二次根式的性质及绝对值的性质是解题的关键．
6. 已知实数满足条件，那么值为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件可得，再化简绝对值、算术平方根的性质即可得．
【详解】解：由题意得：，即，
，
即，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、化简绝对值、算术平方根的性质，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．
7. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，先由的对角线与相交于点O，得根据条件，，得出的值，再结合勾股定理列式，即可作答．
【详解】解：∵的对角线与相交于点O，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故选：D．
8. 如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出是直角三角形是解此题的关键．根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，根据三角形的面积公式分别求出和的面积，即可得出答案．
【详解】解：，，，
，
，，
，
，
四边形的面积
．
故选：A．
9. 四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，， 则的长为（ ）
A. 1.8B. 2C. 2.3D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接、，如图所示，由折叠性质得到，根据题意，设，则，在和中，由勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】解：连接、，如图所示：
，
四边形是边长为9的正方形纸片，
，，
设，则，
在中，，即；
，
，
在中，，即；
，即，解得，
故选：B．
【点睛】本题考查正方形中求线段长，涉及折叠性质、正方形的性质、勾股定理和解方程等知识，熟练掌握折叠性质，由勾股定理列方程求解是解决问题的关键．
10. 我国宋代数学家秦九韶的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊数学家海伦的成果并称“海伦-秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，，若一个三角形的三边长分别为a，b，c，，，且，则b值为（ ）
A. B. C. D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的应用，解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，熟悉掌握解一元二次方程．
依据题意，由海伦-秦九韶公式转化得到关于b的一元二次方程即可求解．
【详解】解：，
，
即
即
把，，代入得：
整理得，
即
且
即，
故选：A
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 已知的结果为正整数，则正整数的最小值为___．
【答案】2
【解析】
【分析】由题意可知8n是一个完全平方数，从而可求得答案．
【详解】解：，
∵n是正整数，也是一个正整数，
∴n的最小值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，根据题意先化简再分析，从最小的平方数开始考虑．
12. 已知，则的值为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义条件，分式的求值，根据二次根式有意义的条件，得到，进而求出分式的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
13. 观察下列各式：、、……，请你找出其中规律，并将第个等式写出来________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，化简二次根式，观察可知，二次根式里面的整数为序号，分数的分子为1，分母为序号加2，开方的结果外面的整数为序号加1，二次根式里面的分数的分子为1，分母为序号加2，据此规律求解即可．
【详解】解：、
、
……，
以此类推可知，，
故答案为：．
14. 在平行四边形中，的平分线把边分成长度分别是3和4的两部分，则平行四边形的周长是________．
【答案】20或22
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得，，再证，然后分和两种情况分别求出平行四边形的周长即可．
本题主要考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的性质、证明是解题的关键．
【详解】解：如图：∵平行四边形，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴①当时，平行四边形的周长为；
②当时，平行四边形ABCD的周长为．
故答案为：20或22．
15. 定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
（1）若与是关于4的共轭二次根式，则__________
（2）若与是关于12的共轭二次根式，求的值．
【答案】（1）
（2）－2
【解析】
【分析】（1）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可；
（2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可．
【小问1详解】
解：∵与是关于4的共轭二次根式，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵与是关于12的共轭二次根式，
∴
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算．
16. 在中，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查角平分线性质，垂线段最短，勾股定理等知识点，熟练掌握基本知识是解题关键．
如图，作于交于点，作于，此时最短．通过勾股定理算出的长度，再通过等面积法算出的长度即可解题．
【详解】解：如图，作于交于点，作于，此时最短．

∵，，平分，
∴，
∴
∴此时最短（垂线段最短）．
在中，
∵，，，
∴，
∵，
∴．
∴的最小值为．
故答案为．
三、解答题（本大题共7小题，满分72分）
17. 计算
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算：
（1）先化简，再合并同类二次根式即可；
（2）利用平方差公式，二次根式的性质，分母有理化进行化简，再合并同类二次根式即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
原式．
18. 先化简， 再求值∶， 其中 ．
【答案】，
【解析】
【分析】先对分式分子分母因式分解，利用二次根式性质化简，再约分、去绝对值得到化简结果，代值求解即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式化简求值，涉及因式分解、二次根式性质、去绝对值运算、分式加减运算、约分及代数式求值等知识，熟练掌握分式混合运算及二次根式性质是解决问题的关键．
19. 周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
测得水平距离的长为米；
根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；
牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）米；
（2）米．
【解析】
【分析】（）勾股定理求出的长，再加上小明的身高即可；
（）勾股定理求出的长，此时缩短长度为，即可得出结果；
本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出直角三角形是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意可知：米，，米，
在中，由勾股定理得，，
∴米，
∴（米），
答：风筝的垂直高度为米；
【小问2详解】
解：∵风筝沿方向下降米，保持不变，如图，
∴此时的（米），
即此时在中，米，有（米），
相比下降之前，缩短长度（米），
答：他应该往回收线米．
20. 如图，台风中心位于点处，并沿东北方向（北偏东），以千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心千米的区域内会受到台风的影响，在点的北偏东方向，距离千米的地方有一城市，问：市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．
【答案】会受到影响，受到影响时间约为小时
【解析】
【分析】过点作于点，可求得长，由离台风中心千米的区域内会受到台风的影响，即可知会受到影响，然后由勾股定理求得受影响的范围长，即可求得影响的时间．
【详解】解：会受到影响，影响时间约为小时．
理由如下：
由题意得，，，
∴，
如图，过点作于点，
∴，
∵，
∴会受到影响，
如图，，由题意知，台风从点开始影响城市到点影响结束，
∵，
∴，
∴，
∵风速为，
∴（小时），
∴影响时间约为小时．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用—方向角问题以及勾股定理的应用．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．
21. 小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的：
，，，．
．
请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值，利用整体代入的方法可简化计算．也考查了平方差公式和分母有理化．
（1）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可；
（2）先分母有理化得到，再变形为，则两边平方可得，接着用表示出，则利用降次的方法得到原式，然后把的值代入计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：，
，
，
即，
，
，
原式．
22. 著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为)，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．
【结论探究】
(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
【结论应用】
(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点，，在同一条直线上，并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
【问题拓展】
(3)中，，，，，垂足为，请直接写出的值．
【答案】[结论探究]（1）见解析；[结论应用]（2）千米；[问题拓展]（3）
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识．
[结论探究]（1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明；
[结论应用]（2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案；
[问题拓展]（3）作，垂足为，在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出．
【详解】[结论探究] （1）解：梯形的面积为，
也可以表示为，
，即；
[结论应用]（2）设千米，
千米，
在中，根据勾股定理得：，
，
解得，即千米，
(千米)，
答：新路比原路少千米；
[问题拓展]（3）作，垂足为，
设，
，
，，，，
根据勾股定理：
在中，，
在中，，
，
即，
解得：，
，
．
23. 如图，在中，于点，，．

（1）求的长；
（2）若点是射线上的一个动点，过点作于点．
①当点在线段上时，若，求的长；
②设直线交射线于点，连接，若，求的长．
【答案】（1）
（2）①；②或
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质和平行线的性质，解题的关键是分类讨论和熟练全等三角形的相关知识．
（1）结合已知条件，利用勾股定理即可求得；
（2）①由勾股定理得，并利用证得，有，即可求得；
②分两种情况：当点在线段上时，由面积比得，求得，并得到和，可得，利用等角对等边即可求得；当在线段的延长线上时．由面积比得，可求得，同理，即可求得．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：；
【小问2详解】
解：①在中，由勾股定理得：．
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
②分两种情况：
如图，当点在线段上时．

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当在线段的延长线上时．
∵，
∴，
∵，
∴，
同理可得：

∴，
∴，
综上所述，的长为或．