内蒙古自治区通辽市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 含解析

这是一份内蒙古自治区通辽市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120 分钟 分值：150 分 出题人：冯艳
一、单选题（每小题 5 分，共 40 分）
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】先解一元二次不等式，求解集合 ，再求交集即可.
【详解】因为 ，又
所以 .
故选：A.
2. 设甲： ，乙： ，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可
【详解】由题 ，可得 ；但由 ，可得 或 ，
故甲是乙的充分条件但不是必要条件，
故选：A．
3. 若命题“ ， ”为假命题，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
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【解析】
【分析】根据命题的否定为真命题，利用判别式即可求解.
【详解】由于“ ， ”为假命题，
故其否定为“ ， ”为真命题，则 ，得 ，
故选：D
4. 若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数特征得到不等式，求出 且 ，得到定义域.
【详解】由题意得 且 ，解得 且 ，
故 的定义域为 .
故选：B
5. 设函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出 ，再结合函数解析式分两段得到不等式组，解得即可.
【详解】因为 ，所以 ，
不等式 等价于 或 ，
解得 或 或 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：B
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6. 随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，
且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的 3 倍，和谐号列车的正点率为 0.98，复兴号列车的正点率为 0.99
，则一列车能正点到达该车站的概率为（ ）
A. 0.9825 B. 0.9833 C. 0.9867 D. 0.9875
【答案】A
【解析】
【分析】利用全概率公式可得答案.
【详解】依题意，设到达该车站列车为和谐号列车的概率为 ，为复兴号列车的概率为 ，
则一列车能正点到达该车站的概率为 .
故选：A.
7. 设 函 数 的 定 义 域 为 R， 为 奇 函 数 ， 为 偶 函 数 ， 当 时 ，
若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得出 ， ，分别令 、 ，结合已知
条件可得出关于 、 的方程组，解出 、 的值，即可得出函数 在 上的解析式，再利用函数
的对称性求得结果．
【详解】由 奇函数，得 ，
由 是偶函数，得 ，
令 ，由 得 ，由 得： ，
令 ，由 得： ，
由 ， ，得 ，则 ， ，
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时， ．
则
．
故选： ．
8. 已知定义在 上函数 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① ；②
，当 时，都有 ；③ .则下列选项不成立的是（ ）
A.
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. ，使得
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性，由题意可知函数 是偶函数且在 上单调递增，利用函数
的奇偶性和单调性解不等式即可判断 BC，结合函数恒成立即可判断 D.
【详解】A：由条件①得 是偶函数，条件②得 在 上单调递增，
所以 ，故 A 正确；
B：若 ，则 ，得 ，故 B 错误；
C：若 ，则 或 ，
因为 ，所以 或 ，故 正确；
D：因为定义在 上函数 的图象是连续不断的，且在 上单调递增，
所以 ，所以对 ，只需 即可，故 D 正确.
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故选：B
二、多选题（每小题 6 分，共 18 分）
9. 已知 均为非零实数，则下列一定正确的有（ ）
A. B.
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由不等式性质判断 A 和 D，由取特值判断 B，由函数单调性判断 C.
【详解】对于 A，因为 ，所以 ，故 A
正确；
对于 B， 时， 显然不成立，故 B 错误；
对于 C，因为 ，且函数 在 上单调递减，所以 ，故 C 正确；
对于 D，因为 ，所以 ，根据不等式的性质可知， ，
故 D 正确.
故选：ACD.
10. 现有 4 个编号为 1，2，3，4 的盒子和 4 个编号为 1，2，3，4 的小球，要求把 4 个小球全部放进盒子中，
则下列结论正确的有（ ）
A. 没有空盒子的方法共有 24 种
B. 可以有空盒子的方法共有 256 种
C. 恰有 1 个盒子不放球的方法共有 288 种
D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有 16 种
【答案】AB
【解析】
【分析】对于 A,没有空盒即 4 个球 4 个盒子全排列即得； 对于 B，可以有空盒子，有 4 个球，每个球有 4
种放法，依次放球即得； 对于 C，恰有一个空盒，即另外三个盒子都有球，而球共四个，必然有一个盒子
中放了两个球，求解即得； 对于 D，只需从四盒四球中选定标号相同的球和盒，另外的球与盒不能对应，
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求解即得．
【详解】对于 A，把 4 个小球全部放进盒子中，没有空盒子，相当于 4 个小球在 4 个盒子上进行全排列，
故共有 种方法，故 A 正确；
对于 B，可以有空盒子，因为有 4 个球，每个球各有 4 种放法，故共有 种方法，故 B 正确；
对于 C，恰有 1 个盒子不放球，说明另外三个盒子都有球，而球共 4 个，则必有一个盒子放了 2 个球，
先将四盒中选一个作为空盒,再将 4 球中选出 2 球绑在一起,
再对三个盒子全排共有 种方法，故 C 错误；
对于 D，恰有一个小球放入自己编号的盒中，则从四盒四球中选定标号相同的球和盒有 种，
另外三球三盒不能对应共 2 种，则共有 种方法，故 D 错误.
故选：AB.
11. 牛顿 在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种数值解法——牛顿法，用“作切
线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为 的点处作 的切线，切线与 x 轴交点的横坐标为 ；用 代
替 重复上面的过程得到 ；一直下去，得到数列 ，叫作牛顿数列.若函数
且 ，数列 的前 n 项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列 是递减数列
C. 数列 是等比数列 D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求得在点 处的切线方程，令 得 ，即可判
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断 A，结合对数运算对 进行变形得 ，根据等比数列的定义及性质即可判断 BC，利
用等比数列求和公式求解判断 D.
【详解】由 得 ，
所以 在点 处的切线方程 ，
令 ，得 ，故 A 正确.
，故 ，即 ，
所以数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，且为递增数列，故 B 错误，C 正确，
所以 ，故 D 错误.
故选：AC
三、填空题（每小题 5 分，共 15 分）
12. 若 ，则 __________.
【答案】40
【解析】
【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式代入计算，即可求解.
【详解】因为二项式 展开式的通项公式为 ，
令 ，则 ，所以 .
故答案为：
13. 面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本.某白酒酿造企业
市场部对该企业 9 月份的产品销量（单位：千箱）与单位成本（单位：元）的资料进行线性回归分析，结
果如下： ， ， ， .则销量每增加 1000 箱，单位成本下降________元（结
果保留 5 位有效数字）.
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附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为： ， .
【答案】
【解析】
【分析】根据所给的数据和公式可以求出回归直线方程，根据回归直线斜率的意义求解即可.
【详解】由题意知 ， ，
所以线性回归方程为： ，
所以销量每增加 1 千箱，单位成本下降 元，
故答案为：
14. 若函数 ，则关于 的不等式 的解集是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，令 ，分析可得 为定义域在 上的奇函数，且在 上单调递减，
根据奇偶性和单调性可将不等式 等价于 ，解不等式即可得到答案.
【详解】令
因为 ，即 ，可知函数 的定义域为 ，
且 ，
所以 为 上的奇函数，
因为 ，
且 ， 在 内单调递增，
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则 在 内单调递增，可知 在 内单调递减，
又因为 在定义域内单调递增，则 在 内单调递减，
由奇函数可知 在 内单调递减，所以 在 上单调递减，
综上所述： 为定义在 上奇函数，且在 上单调递减，
由 ，则 ，
可得 ，
则 ，解得： ，
所以不等式 的解集是
故答案为： .
四、解答题（共 77 分）
15. 已知函数 ．
（1）求函数 在 处的切线方程；
（2）求函数 的单调区间和极值．
【答案】（1）
（2）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， ，极大值为 ，极小值为
【解析】
【分析】（1）求出导函数可得切线的斜率，求出切点，再由直线的点斜式方程可得答案；
（2）利用导数判断出函数的单调性可得答案.
【小问 1 详解】
函数 ，导函数 ，
所以在 处的切线的斜率为 ，
切点的纵坐标为 ，所以切点为 ，
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所以切线方程为 ，即 ；
【小问 2 详解】
函数 ，导函数 ，
由 得 ， 得 或 ，
所以 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
所以 极大值为 ，极小值为 .
16. 在中国的传统医学中，食物和药物一直被认为是相辅相成的.中医食疗是一门利用食物来调理身体和治
疗疾病的科学，它将中草药的药效引入食物中，达到治病的目的.为了研究姜汤对治疗感冒是否更有效，进
行了临床试验，得到如下数据：抽到服用姜汤的患者 40 名，其中 30 名痊愈，10 名未痊愈；抽到服用白开
水的患者 60 名，其中 35 名痊愈，25 名未痊愈.
（1）根据上述信息完成下列 列联表；
疗效
疗法 合计
痊愈 未痊愈
服用白开水
合计
（2）依据小概率值 的独立性检验，能否认为姜汤对治疗感冒更有效果？并解释得到的结论.
附：参考公式： .
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【答案】（1）答案见解析
（2）认为姜汤对治疗感冒更有效果，理由见解析
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【解析】
【分析】（1）数据分析，填写列联表；
（2）计算出卡方，与 2.706 比较后，得到结论.
【小问 1 详解】
根据上述信息完成下列 列联表；
疗效
疗法 合计
痊愈 未痊愈
服用姜汤 30 10 40
服用白开水 35 25 60
合计 65 35 100
【小问 2 详解】零假设为 ：疗法和疗效独立，即两种疗法效果没有差异.
根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率值 的 独立性检验，我们推断 不成立，即认为姜汤对治疗感冒更有效果，此推断犯
错误的概率不大于 0.1.
17. “摸奖游戏”是商场促销最为常见的形式之一，某摸奖游戏的规则是：第一次在装有红色、白色球各两个
共 4 个球的 A 袋中随机取出 2 个球；第二次在装有红色、白色、黑色球各一个共 3 个球的 B 袋中随机取出
1 个球，两次取球相互独立，两次取球合在一起称为一次摸奖，取出的 3 个球的颜色与获得的积分对应如下
表：
所取球的情况 三球均为红色 三球均不同色 恰有两球为红色 其他情况
所获得的积分 100 80 60 0
（1）求一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率；
（2）设一次摸奖中所获得的积分为 X，求 X 的数学期望 ；
（3）某人摸奖三次，求至少有两次获得积分为 60 的概率．
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【答案】（1） .
（2） .
（3） .
【解析】
【分析】（1）所取三个球中恰有两个红球，包含两类基本事件：一类是 A 袋中取出 2 个红球，B 袋中取出
一个不是红球；另一类是 A 袋中取出 1 个红球和 1 个白球，B 袋中取出一个是红球；然后利用古典概型概
率计算公式及互斥事件的加法公式可求得结果.
（2）求出 X 的取值及取各个值的概率，列出分布列，再由期望公式求得结果.
（3）由二项分布的定义知，三次摸奖中获得积分为 60 的次数 ，再运用互斥事件的概率公式计
算即可.
【小问 1 详解】
一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率： .
【小问 2 详解】
由题意得，X 的可能取值为 100，80，60，0.
， ，
，
.
所以 X 的分布列为：
X 100 80 60 0
P
则 X 的数学期望为： .
【小问 3 详解】
由二项分布的定义知，三次摸奖中获得积分为 60 的次数 ，则
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，
故所求概率 .
18. 对于数列 ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称 为 P 数列．
（1）若 前 n 项和 ，试判断 是否是 P 数列，并说明理由；
（2）设数列 是首项为-1 公差为 的等差数列，若该数列是 P 数列，求 的取值范围．
【答案】（1）数列 是 P 数列；理由见解析
（2） ．
【解析】
【分析】（1）求出数列 的通项，根据 P 数列的定义判断即可；
（2）由 P 数列定义建立不等式，求解即可.
【小问 1 详解】
因为 ， ，
则 ，
当 时， 不适合上式，故 ，
那么当 时， 符合题意，
故数列 是 P 数列.
【小问 2 详解】
由题意知，该数列的前 n 项和为 ， ，
由数列 是 P 数列，可知 ，故公差 ，
对满足 的任意 n 都成立，
则 时， ，明显成立；
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时，令 ，解得 ，
故 的取值范围为 ．
19. 曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动率，
设曲线 具有连续转动的切线，在点 处的曲率 ，其中 为
的导函数， 为 的导函数，已知 ．
（1） 时，求 在极值点处的曲率；
（2） 时， 是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率；
（3） ， ，当 ， 曲率均为 0 时，自变量最小值分别为 ，
，求证： ．
【答案】（1）2 （2）答案见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求得函数的极值点，进而由曲率公式计算即可；
（2）令 ，可得 ，令 时，可得 ，进而数形
结合可得 时， 有解，且有两解 且 ，进而计算可得极
值点处的曲率；
（3）根据 曲率为 0 可得 ， ，由（2）可得 时， 有两解
，可证明 ，再证明 即可.
【小问 1 详解】
当 时， ，可得 ，
令 ，可得 ，当 时， ，当 时， ，
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所以当 为 在极小值点，又 ，所以 ，
所以 ；
小问 2 详解】
由 ，可得 ，
令 ，则 ，
令 时，可得 ，令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，则 ，
所以 时， 有解，且有两解 且 ，
为 的极小值点， 为 的极大值点，
当 时， 有解，且有唯一解，但此解不是 极值点，
当 时， 无解，所以 无极值点，
所以当 时， 存在极值点，
所以 ；
【小问 3 详解】
由题意可得 ，可得 ，
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要 ， 曲率为 0，则 ，即 ，
可得 ， ，
所以 时， 有两解 ， ，可证 ，
由（2）可得 ， ，
可得 ， ．
要证明 ，即证明 ，也就是 ．
因为 ，所以即证明 ，
即 ，令 ，则 ，于是 ，
令 ，则
故函数 在 上 是增函数，
所以 ，即 成立．所以 成立．
又因为 ，则 ，
由（2）可得 在 上单调递减，
因为 ， ，所以 ，
【点睛】关键点睛：本题利用导数分析函数单调性与最值及零点，进而证明不等式的问题.需要根据题意找
到 间的关系，平时积累常见的函数如 的图象性质与指对数函数的常见化简如
等是关键，同时也要注意根据零点的关系，，构造函数证明不等式的方法.
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