云南省保山市昌宁县第二中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份云南省保山市昌宁县第二中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知椭圆中，长轴长为10，离心率为，则焦距为（ ）
A．5B．10C．5D．5
2．已知直线和平面，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．2
4．已知，，，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
5．如图是函数的导函数的函数图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数的减区间为，增区间为
B．函数在点和点处的切线斜率相等
C．
D．函数只有一个极小值点，没有极大值点
6．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二节气的日影长成等差数列，若前九个节气日影长之和为85.5尺，则雨水日影长为（ ）
A．10.5尺B．9.5尺C．8.5尺D．7.5尺
7．某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（ ）种.
A．18B．24C．27D．64
8．展开式中的系数等于（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．设方程在复数范围内的两根分别为，则下列关于的说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
10．在某次学科期末检测后，从全部考生中选取100名考生的成绩（百分制，均为整数）分成五组后，得到频率分布直方图（如右图），则下列说法正确的是（ ）
A．图中的值为0.005B．低于70分的考生人数约为40人
C．考生成绩的平均分约为73分D．估计考生成绩第80百分位数为82.5分
11．若，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．若直线：与直线：垂直，则实数的值等于 .
13．已知，则 ．
14．已知定义在R上的函数f（x）满足：，且，则的解集为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知单调递增的等差数列满足，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和，求证：.
16．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是的中点，且平面，.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
17．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①；② ；③ ，在中，内角，，的对边分别是，，，若 .
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围.
18．已知双曲线的一条渐近线为，其实轴长为为双曲线上任意一点.
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；
(3)若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值.
19．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若在区间上存在极值，且此极值小于，求实数的取值范围．
参考答案
1．【答案】A
【详解】，所以；又因为，
得，所以.
故选A.
2．【答案】C
【详解】对于A，若，则或或或斜交，故A错误；
对于B，若，则或，故B错误；
对于C，由线面垂直的性质可知：若，则，故C正确；
对于D，若，则或相交或异面，故D错误.
故选C.
3．【答案】C
【分析】利用几何特征，得到当时弦取得最小值求解即可.
【详解】将圆化为，圆心，半径，
因为，所以点在圆内，
记圆心到直线的距离为，则，
由图可知，当，即时，取得最小值，
因为，
所以的最小值为.
故选C.
.
4．【答案】C
【详解】向量，，，
由，得，即，
因此，所以.
故选C.
5．【答案】B
【详解】结合函数图象可知或时，，所以单调递增；时，，所以单调递减；故A错误；因为图象经过点和，所以，，所以函数在点和点处的切线斜率相等，故B正确；由图象知，故C错误；函数在处取得极大值，在处取得极小值，故D错误，
故选B.
6．【答案】B
【详解】这十二个节气的日影长成等差数列，前九个节气日影长之和为85.5尺，
则，，即雨水日影长为9.5尺.
故选B．
7．【答案】A
【详解】若甲被选出，从其它3位同学选2位有种，
将甲安排为记分员或秩序员有种，另2人作全排有种，
所以共有种；
若甲不被选出，只需将选出的3人作全排列有种，
综上，共有种.
故选A.
8．【答案】A
【详解】展开式中含的项为： ，其系数为，
故选A.
9．【答案】ABD
【分析】求解可得，再逐个选项判断即可.
【详解】对A，由实系数一元二次方程求根公式知，
则（与顺序无关），故A正确；
对B，因为，所以，故B正确；
对C，由A，，故C错误；
对D，由韦达定理可得，故D正确．
故选ABD.
10．【答案】ACD
【详解】由，解得，故A对；
低于70分的考生人数约为，故B错；
考生成绩的平均分约为，故C对；
成绩落在内频率为，
落在内频率为，
故考生成绩第80百分位数落在，设为m，
由，解得，
故考生成绩第80百分位数为82.5分，故D对；
故选ACD.
11．【答案】BC
【详解】设，二项式展开式的通项公式为，
对于A，，故A错误；
对于B，令，得，故B正确；
对于C，，
所以，故C正确；
对于D，令，得；令，得；
令，得；令，得；
令，得，所以，
故D错误，
故选BC．
12．【答案】
【详解】由题意知两直线斜率存在，
，，
，
解得.
13．【答案】/
【详解】．
14．【答案】
【详解】由题意得，构造，
则，则在R上为单调递增函数，
因为，所以，
所以可变形为，
因为在R上为单调递增函数，
所以，则的解集为.
15．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设数列的公差为，则，①
成等比数列，，
，②
由①②可得或者（舍），
.
（2）由（1）可知，则:
，
所以
.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在菱形中，连接，
由已知底面是菱形，，
为等边三角形，
因为是的中点，所以，
因为平面，平面，所以.
因为平面，平面，
且，所以平面.
（2）因为平面，平面，则有，
由（1）知，，故，，两两垂直，
如图建立空间直角坐标系，
因为是的中点，，，所以，
因为底面是菱形，，
所以，
所以为等边三角形，由（1）也为等边三角形，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则
令，则，，
所以为平面的一个法向量，
又因为平面，
所以平面的一个法向量为，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选择①，，由正弦定理，，即，
由余弦定理，，因，故；
选择②，，因，
则得，，整理得，，
因， ，故得，因，故；
选择③，由可得，，
由正弦定理，，
因, ，故得，，因，故.
（2）由正弦定理，，
可得，，
于是的周长为：
，因，，则，
故，即 周长的取值范围为.
18．【答案】(1)；
(2)证明见解析，；
(3).
【分析】（1）由双曲线渐近线方程、实轴长可得答案；
（2）设，求出渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得答案；
（3）设，利用坐标表示，根据的范围可得答案.
【详解】（1）由题意可得，
解得，
因此，双曲线的方程为；
（2）设，则，渐近线为，
到两条渐近线的距离之积
；
（3）由已知，得，如图，

设或，
又在双曲线上，所以，
因此
或，
其对称轴为，
由于或，
所以当时，取得最小值为.
【关键点拨】在第三问中，先用坐标表示出，再通过点横坐标的范围求出最小值.
19．【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）当时，，.
又，所以.
所以切点坐标为，切线斜率为1，
所以切线方程为即.
（2）因为，
当时，恒成立，函数在区间单调递增．
当时，令，解得，
在区间，，函数单调递减，
在区间，，函数单调递增.
综上可知：当时，函数在区间单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）知，当时，函数无极值，
当时，函数在取得极小值，
所以，解得，所以．
所以实数的取值范围为：