四川省巴中市高级中学2024−2025学年高二下学期4月期中 数学试题（含解析）

这是一份四川省巴中市高级中学2024−2025学年高二下学期4月期中 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．以为焦点的抛物线标准方程是（ ）
A．B．C．D．
2．已知数列的前项和，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．已知函数，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
4．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（ ）
A．B．4C．D．1
5．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．12B．14C．42D．84
7．已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ）

A．有2个极值点B．在处取得极小值
C．有极大值，没有极小值D．在上单调递减
8．已知椭圆的左，右焦点是，，是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．公比为的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
11．如图，正方体的棱长为是棱上的动点（含端点），则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．
C．二面角的平面角的大小为
D．存在某个点，使直线与平面所成角为
三、填空题（本大题共3小题）
12．若向量，，则 ．
13．在等差数列中，，，则 .
14．已知抛物线C：，点N在C上，点，若点M，N关于直线对称，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
16．已知等比数列各项均为正数，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
17．已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上一点，．
(1)若F是PE中点，证明：平面．
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
18．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性.
19．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点P为C上的动点，的周长为6.
(1)求C的标准方程.
(2)延长线段，分别交C于Q，M两点，连接，并延长线段交C于另一点N，若直线和的斜率均存在，且分别为，，试判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题意，抛物线方程形如，因，解得，
故以为焦点的抛物线标准方程是.
故选D.
2．【答案】B
【详解】解：因为数列的前项和，
所以.
故选B.
3．【答案】C
【详解】因为，
所以，.
故选C．
4．【答案】C
【详解】因为，则可得，
且，，
则可得，解得
故选C.
5．【答案】A
【详解】双曲线的渐近线方程为，所以，解得.
故选A.
6．【答案】C
【详解】因为数列为等差数列，所以，所以，
所以.
故选C.
7．【答案】C
【详解】由导函数的图象可知，
当时，，仅时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数只有一个极值大点，无极小值点，
所以有极大值，没有极小值，
故ABD错误，C正确.
故选C.
8．【答案】C
【详解】根据椭圆定义及求出， 由即可求解.
【详解】由椭圆的定义知：，
因为，即，
又因为，所以，
所以有：，
，
故椭圆的离心率的取值范围是．
故选C
9．【答案】BC
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误.
故选BC.
10．【答案】ABD
【详解】由已知等比数列的公比为，且，，
则，解得，
所以，，
故选ABD.
11．【答案】ABC
【详解】对于选项A：三棱锥转化为三棱锥的底面积为定值，
因为平面平面，所以到平面高不变，体积为定值，故选项A正确；
对于选项B：
如图建系，设，则
因为，，
所以得，故选项B正确；
对于选项D：取平面的法向量为，
因为 ，
则设直线与平面ABCD所成角,则，
当时，，这时直线与平面ABCD所成角最大值为，故选项D不正确；
对于选项C：设平面法向量为，，
所以，所以
所以令，可得，设平面法向量为，
设二面角 为，则
所以二面角的大小为，故选项C正确.
故选ABC.
12．【答案】
【详解】因为向量，所以，
又向量，所以.
13．【答案】11
【详解】根据等差数列的性质，可得，
所以.
14．【答案】3
【详解】设，因为点M，N关于直线对称，
所以中点在直线上，且与直线垂直，
则中点为，
，
且与直线垂直，
，
联立方程可得，
点N在抛物线上，
，解得或（舍去），
.
15．【答案】(1)单调递增区间是：和，单调减区间是：；
(2)最小值为，最大值为.
【详解】（1）由，
可得：，，
由，可得：或；
由，可得：；
所以函数的单调递增区间是：和，
单调减区间是：；
（2）由（1）知：函数在区间上的单调性为： 单调递减，单调递增，
所以最小值为，
又，
所以最大值为.
所以函数在区间上的最小值为，最大值为.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设公比为，
由，得，所以（舍去），
所以；
（2）由（1）得，
所以.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取的中点为，接，则，
而，故，故四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
所以平面.
（2）
因为，故，故，
故四边形为平行四边形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则由可得，取，
设平面的法向量为，
则由可得，取，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为.
18．【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，，，
∴，，
∴切线方程为，整理得，.
（2）函数定义域为.
∵，
∴，
由得，或.
当，即时，，在上为增函数.
当，即时，由得，或，由得，，
∴在，上为增函数，在上为减函数.
当，即时，由得，或，由得，，
∴在，上为增函数，在上为减函数.
综上得，当时，在上为增函数；
当时，在，上为增函数，在上为减函数；
当时，在，上为增函数，在上为减函数.
19．【答案】(1)；
(2)是，.
【详解】（1）设椭圆的焦距，
所以的周长为，即.
又椭圆的离心率为，所以，
所以，所以，所以，
所以的标准方程为.
（2）是定值.
由（1）得，
设，，
又三点共线，所以，化简得，
则直线的方程为，直线的方程为，
由，化简得，
由根与系数关系可知，，
所以，
同理，
又
，
所以.