江西省抚州市高新技术产业开发区2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江西省抚州市高新技术产业开发区2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分：120分 时长：120分钟）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）
1. 的相反数是（ ）
A. B. 2035C. D.
2. 江西风景独好，山川秀美，古迹众多，是一片融合了壮丽自然景观与丰厚历史文化的地方．2024年国庆假期，南昌市累计接待游客数量近800万人次．其中800万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 柱式桥墩（图1）是一种常见的桥梁支承结构形式，在各种类型的桥梁建设中扮演着至关重要的角色．将实际问题转化为数学模型是解决复杂现实世界问题的重要步骤，如图2，是数学家依据柱式桥墩建立的一个立体图，这个立体图的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 数学考试96分B. 明天必然下雨
C. 太阳东升西落D. 晚上有月亮
5. 如图，在中，，的角平分线与交于点，过点作边上的高，交于点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在矩形中，，，动点从点出发，其运动速度为每秒1个单位长度，沿的路线匀速运动，记点的运动时间为秒，的面积为，则下列能大致反映与之间关系的图象是（ ）

A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 如果，互为相反数，，互为倒数，那么______．
8. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是______．
9. 若，，那么______．
10. 若关于的方程是一元二次方程，则______．
11. 如图，在的正方形网格中，点A，，是正方形网格中网格线的交点，则的正弦值为______．
12. 如图，在中，，以斜边为直径作外接圆，圆心为点，点在（直径的右侧）上运动，连接，，，得到．当为等腰三角形时，的度数为______．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：；
（2）解方程：．
14. 如图，在平行四边形中，点，为对角线上的两点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
15. 化简，下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______；（均填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一名同学解法，写出完整的解答过程．
16. 如图，在中，点E为的中点，请只用无刻度的直尺作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图1，在上找点F，使得四边形的面积是面积的；
（2）如图2，作（点G在上），使得的面积是面积的．
17. 已知函数．
（1）当为何值时，是的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则该函数图象与坐标轴围成的图形的面积是多少？
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，在中，，点为的中点，过点作交于点．延长到点，使得，已知，连接，．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求菱形的面积．
19. 数学实践活动不仅可以增强学生的动手能力，还能加深他们对数学知识的理解．某数学兴趣小组开展了测量旗杆高度的实践活动，如图，斜坡的坡度，，在点处测得旗杆顶部的仰角为，在点处测得旗杆顶部的仰角为．
（1）求点离水平地面的高度；
（2）求旗杆的高度（结果保留根号）．
20. 如图，为的直径，过点A作于点，延长交直线于点，平分交于点．
（1）求证：直线与相切；
（2）若，，，求的长．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 坐落于江西省南昌市赣江之畔的滕王阁，不仅是中国四大名楼之一，也是国家重点风景名胜区．景区内的官方纪念品店销售一系列精美的手工艺品及地方特产，包括一种颇受欢迎的儿童木质拼图．该拼图的成本价固定为40元/件，依据景区规定，销售利润必须限制在进价的50%以内．近期的销售数据表明，当拼图定价为50元时，每日销量可达350件，然而，每当价格提升5元，销售数量便会随之减少50件．设销售单价为x元（销售单价不低于50元）．
（1）当这种木质拼图以最高价出售时，每天销售量为多少件？
（2）求这种木质拼图每天获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式；
（3）当销售单价为多少元时，该景区销售这种木质拼图每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
22. 近年来，随着健康意识的不断提升及国家对学生体质健康的重视，越来越多的学校开始鼓励学生在课外尤其是寒暑假期间加强体育锻炼，以增强身体素质．南昌某知名中学积极响应号召，在新学期开学之际，由体育组发起了一项调查活动，旨在深入掌握学生寒假体育锻炼的习惯与现状．通过此次调查，学校希望能够制定更为合理的体育锻炼计划，进一步激发学生的运动热情，促进全面发展．体育组调查并整理数据，按同学们每天锻炼的时间x（分钟）的多少分为四类：A类（），B类（），C类（），D类（），现将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息回答下列问题：
（1）这次活动共抽查了______人，并将条形统计图补充完整；
（2）求出“B类”所在扇形圆心角度数；
（3）根据抽样调查结果，估计该校2500名学生中，有多少名学生每天锻炼时间大于30分钟．
六、解答题（本大题共12分）
23. 【问题情景】
如图，在中，，点D是平面内与点A，C不重合的任意一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转角得到线段，连接．
观察猜想】
（1）如图1，当时，的值为______；
【类比探究】
（2）如图2，当时，请求出的值并仅就图2的情形说明理由；
【拓展应用】
（3）若，，点P是的中点，当A，D，P三点共线时，请直接写出的值．
学考总复习·试题猜想·九年级
数学模拟试题（一）
（满分：120分 时长：120分钟）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）
1. 的相反数是（ ）
A. B. 2035C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数．掌握和为零的两个数互为相反数成为解题的关键．
直接利用相反数的定义求解即可．
【详解】解：的相反数是2035．
故选：B．
2. 江西风景独好，山川秀美，古迹众多，是一片融合了壮丽自然景观与丰厚历史文化的地方．2024年国庆假期，南昌市累计接待游客数量近800万人次．其中800万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将800万写成其中，n为整数的形式即可．
【详解】解：原式．
故选D．
3. 柱式桥墩（图1）是一种常见的桥梁支承结构形式，在各种类型的桥梁建设中扮演着至关重要的角色．将实际问题转化为数学模型是解决复杂现实世界问题的重要步骤，如图2，是数学家依据柱式桥墩建立的一个立体图，这个立体图的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了几何体的三视图，熟知俯视图是从上面看到的图形是解题的关键．根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从上面看，看到的图形为一个矩形内部有一个圆，即该图形的俯视图为，
故选：C．
4. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 数学考试96分B. 明天必然下雨
C. 太阳东升西落D. 晚上有月亮
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了必然事件的定义，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键．
根据必然事件就是一定会发生的事件，据此逐项判断即可解答．
【详解】解：A． 数学考试96分是随机事件，不符合题意；
B． 明天必然下雨是随机事件，不符合题意；
C． 太阳东升西落是必然事件，符合题意；
D． 晚上有月亮是随机事件，不符合题意．
故选C．
5. 如图，在中，，的角平分线与交于点，过点作边上的高，交于点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．再由角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，由即可求解．
【详解】解：∵，的角平分线与交于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
6. 如图，在矩形中，，，动点从点出发，其运动速度为每秒1个单位长度，沿路线匀速运动，记点的运动时间为秒，的面积为，则下列能大致反映与之间关系的图象是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了动点产生的面积问题，分段函数，一次函数的图象；①当时，；②当时；③当时，，求出函数关系式结合图象，即可判断；掌握能根据不同位置进分类是解题的关键．
【详解】解：四边形是矩形，，，
，
①当时，点在上运动，，
，
即随的增大而增大，且符合一次函数的图象；
②当时，点在上运动，
；
③当时，点在上运动，，
，
即随的增大而减小，且符合一次函数的图象；
综上，只有选项A符合题意，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 如果，互为相反数，，互为倒数，那么______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了代数式求值、相反数、倒数等知识点，掌握整体代入法是解题的关键．
利用相反数，倒数的定义求出的值，然后代入原式求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
∴．
故答案为：2．
8. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点、代数式求值等知识点，掌握关于原点对称的两个点，则它们的坐标符号相反成为解题的关键．
根据关于原点对称的两个点的坐标特点求得a，b的值，然后的值即可．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
∴．
故答案为：．
9. 若，，那么______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的除法逆运算．依据幂同底数幂的除法逆运算法则对已知条件进行变形，即可得解．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：2．
10. 若关于的方程是一元二次方程，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可．
【详解】解：根据题意可得，，
解得，
故答案为：0．
11. 如图，在的正方形网格中，点A，，是正方形网格中网格线的交点，则的正弦值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、两点间距离公式、正弦的定义等知识点，说明成为解题的关键．
根据勾股定理可得，则，再根据正弦的定义即可解答．
【详解】解：如图：连接，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12. 如图，在中，，以斜边为直径作外接圆，圆心为点，点在（直径的右侧）上运动，连接，，，得到．当为等腰三角形时，的度数为______．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，分，利用等腰三角形的性质求出，再根据圆周角定理即可解答．
【详解】解：当时，如图，
则，
∵是的直径，
∴，即，
∴，
∴；
当时，如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，如图，连接，
同理可得，
∴，
∵，
∴，，
∵
∴，即，
∴；
综上，当为等腰三角形时，的度数为或或．
故答案为：或或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、解一元二次方程等知识点，掌握相关运算法则和方法成为解题的关键．
（1）先算乘方，然后再运用有理数四则混合运算法则计算即可；
（2）直接运用因式分解法求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
，
，
∴．
14. 如图，在平行四边形中，点，为对角线上的两点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
（1）由平行四边形的性质可得，则，再根据线段的和差可得，最后根据即可证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得，然后根据三角形内角和定理即可解答．
【小问1详解】
证明：∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴．
15. 化简，下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______；（均填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一名同学的解法，写出完整的解答过程．
【答案】（1），；
（2），详见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解决本题的关键是根据分式的运算法则进行计算．
根据甲、乙两位同学的运算方法可知甲同学根据分式的基本性质，把括号里的分式通分相减，乙同学根据乘法分配律，把括号外面的分式与括号里面的两个分式分别相乘；
根据甲、乙两个同学的计算思路进行计算即可．
【小问1详解】
解：甲同学根据分式的基本性质，把括号里的分式通分相减，
乙同学根据乘法分配律，把括号外面的分式与括号里面的两个分式分别相乘，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：选择甲同学的方法进行计算，
，
选择乙同学的计算方法进行计算，
．
16. 如图，在中，点E为的中点，请只用无刻度的直尺作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图1，在上找点F，使得四边形的面积是面积的；
（2）如图2，作（点G在上），使得的面积是面积的．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质、两点确定一条直线等知识：
（1）根据题意即作点是的中点，连接、交于点，作直线交于，点即为所求；
（2）根据题意即作点与点D重合，在图1的基础上，连接，点即为所求．
【小问1详解】
解：如图1，点即为所求；
作法：连接、交于点，作直线交于，点即为所求；
由作法可得点是的中点，则，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
设中边上的高为，则四边形的面积为，
∴四边形的面积是面积的；
【小问2详解】
解：如图所示，点即为所求；
∵的面积是面积的，由（1）知四边形的面积是面积的，且四边形是平行四边形，
∴两点重合，
作法：在图1的基础上，连接，点即为所求．
17. 已知函数．
（1）当为何值时，是一次函数？
（2）若函数是一次函数，则该函数图象与坐标轴围成的图形的面积是多少？
【答案】（1）当时，是的一次函数
（2）4
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的定义、一次函数与坐标轴围成的三角形的面积等知识点，正确求得函数解析式成为解题的关键．
（1）根据一次函数定义列出不等式组即可求得m的值；
（2）先求得一次函数与坐标轴的交点，然后再根据三角形的面积公式求解即可．
【小问1详解】
解；∵函数为一次函数，
∴，解得：，
∴当时，是的一次函数；
【小问2详解】
解：当时，函数解析式为，
令，可得， 令，可得，解得：，
∴一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，在中，，点为的中点，过点作交于点．延长到点，使得，已知，连接，．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的判定、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）先证明四边形是平行四边形，再根据说明是线段的垂直平分线可得，进而得到，然后证明是等边三角形可得，最后根据一组邻边相等的三角形是菱形即可证明结论；
（2）由等边三角形的性质可得，再根据菱形的性质可得，再根据含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得，最后根据菱形的面积公式求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，点为的中点，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形菱形．
【小问2详解】
解：∵是等边三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴菱形的面积为．
19. 数学实践活动不仅可以增强学生的动手能力，还能加深他们对数学知识的理解．某数学兴趣小组开展了测量旗杆高度的实践活动，如图，斜坡的坡度，，在点处测得旗杆顶部的仰角为，在点处测得旗杆顶部的仰角为．
（1）求点离水平地面的高度；
（2）求旗杆的高度（结果保留根号）．
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键．
（1）根据坡度的定义以及已知条件可得，然后解直角三角形即可解答；
（2）如图：过D作，则四边形是矩形可得，结合可得，由由（1）可得，设，则，，然后根据正切的定义列方程求得a，进而根据线段的和差即可解答．
【小问1详解】
解：∵斜坡的坡度，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴点离水平地面的高度为6．
【小问2详解】
解：如图：过D作，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得：，
设，则，，
∴，即，解得：，
∴，
∴．
20. 如图，为的直径，过点A作于点，延长交直线于点，平分交于点．
（1）求证：直线与相切；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．
（1）如图：连接，由等边对等角可得，再根据角平分线的定义可得，进而得到，则，再结合可得即可证明结论；
（2）设的半径为r，则，、，利用勾股定理可得r的值，从而可得的长，再求出的长，最后再运用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：如图：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴直线与相切．
【小问2详解】
解：设的半径为r，则，
∵，
∴，，
在中，，即，解得：，
∴，
∵，，
∴，
在中，．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 坐落于江西省南昌市赣江之畔的滕王阁，不仅是中国四大名楼之一，也是国家重点风景名胜区．景区内的官方纪念品店销售一系列精美的手工艺品及地方特产，包括一种颇受欢迎的儿童木质拼图．该拼图的成本价固定为40元/件，依据景区规定，销售利润必须限制在进价的50%以内．近期的销售数据表明，当拼图定价为50元时，每日销量可达350件，然而，每当价格提升5元，销售数量便会随之减少50件．设销售单价为x元（销售单价不低于50元）．
（1）当这种木质拼图以最高价出售时，每天的销售量为多少件？
（2）求这种木质拼图每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式；
（3）当销售单价为多少元时，该景区销售这种木质拼图每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为250件；
（2）
（3）当销售单价为60元，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是5000元．
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，审清题意、正确列出函数关系式是解题的关键．
（1）先求出最高价，算出比50元涨了多少元钱，再除以5求出涨了多少个五元，算出少卖的件数，再用350减去少卖的件数即可解答；
（2）用含x的式子表示出每件木质拼图的获利和每天的销售量，每天获得的利润等于每件玩具的获利乘以每天的销售量，据此列出函数关系式即可；
（3）把w关于x的函数解析式化成顶点式，再根据函数的增减性，判定出最大值并求解即可．
【小问1详解】
解：每件的最高价为（元），
（件）．
答：当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为250件．
【小问2详解】
解：
∴w与x的函数关系式；
【小问3详解】
解：
∵销售利润必须限制在进价的50%以内，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，
又∵抛物线的对称轴是，
∴当时，w随x增大而增大，
∴当时，w有最大值，w的最大值为5000，
∴当销售单价为60元，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是5000元．
22. 近年来，随着健康意识的不断提升及国家对学生体质健康的重视，越来越多的学校开始鼓励学生在课外尤其是寒暑假期间加强体育锻炼，以增强身体素质．南昌某知名中学积极响应号召，在新学期开学之际，由体育组发起了一项调查活动，旨在深入掌握学生寒假体育锻炼的习惯与现状．通过此次调查，学校希望能够制定更为合理的体育锻炼计划，进一步激发学生的运动热情，促进全面发展．体育组调查并整理数据，按同学们每天锻炼的时间x（分钟）的多少分为四类：A类（），B类（），C类（），D类（），现将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息回答下列问题：
（1）这次活动共抽查了______人，并将条形统计图补充完整；
（2）求出“B类”所在扇形的圆心角度数；
（3）根据抽样调查结果，估计该校2500名学生中，有多少名学生每天锻炼时间大于30分钟．
【答案】（1）500，作图见解析
（2）
（3）有名学生每天锻炼时间大于30分钟．
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图、求扇形统计图的度数、用样本估计方差等知识点，从统计图中获取所需信息成为解题的关键．
（1）用A的人数除以其所占的百分比即可求得这次调查的人生，然后求出B的人数，最后补全条形统计图即可；
（2）用乘以其所占的百分比即可；
（3）用学生数乘以A类和B类学生所占的百分比的和即可．
【小问1详解】
解：这次活动抽查人数为：，
则B类学生人数为：，
补全条形统计图如下：
．
故答案为：500．
【小问2详解】
解：“B类”所在扇形的圆心角度数．
【小问3详解】
解：人．
答：该校2500名学生中，有名学生每天锻炼时间大于30分钟．
六、解答题（本大题共12分）
23. 【问题情景】
如图，在中，，点D是平面内与点A，C不重合的任意一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转角得到线段，连接．
【观察猜想】
（1）如图1，当时，的值为______；
【类比探究】
（2）如图2，当时，请求出的值并仅就图2的情形说明理由；
【拓展应用】
（3）若，，点P是的中点，当A，D，P三点共线时，请直接写出的值．
【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）可得出，从而得出 ，从而得出 ；
（2）可得出，从而得出 ，从而得出 ；
（3）当点在的延长线上时，可得出，从而，从而得出，可求得，进一步得出结果； 同样得出当点在上时的情形.
【详解】解：（1），理由如下：
，
，
同理可得，，
，
，
，
，即；
（2）如图，
，理由如下：
过点作于点，
，
，，
∴，
∴，即，
同理可得，，
，
，
，
；
（3）如图，
∵点是的中点，
，
，
，
，
当点在的延长线上时，
同理（2）可得，
，
，
，
，
，
，
，
当点在上时 (图中）此时，
，
综上所述： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解决问题的关键是分类讨论．