广东省广州市第六中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份广东省广州市第六中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版），共16页。试卷主要包含了 关于函数的说法中正确的是， 若，则S的个位数字是， 若小明坐公交上班的用时， 已知，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，且，则集合B可以（ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知随机变量，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 小明新买储蓄罐有5位密码，他决定在“斐波那契数列”的前6项中随机抽取5个数字设置为储蓄罐的密码，且密码的第3位是偶数，已知“斐波那契数列”的前6项依次为“1、1、2、3、5、8”，则可以设置的不同密码个数为（ ）
A. 144B. 120C. 84D. 116
5. 关于函数的说法中正确的是（ ）
A. 是周期函数B. 在上有最小值
C. 在上有零点D. 的图象是中心对称图形
6. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ）
A. B. C. D.
7. 若，则S的个位数字是（ ）
A. 0B. 3C. 4D. 8
8. 如图，直线与曲线相切于两点，则函数在上的极大值点个数为（ ）
A 0B. 1C. 2D. 3
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 若小明坐公交上班的用时（单位：分钟）和骑自行车上班的用时（单位：分钟）分别满足，且同一坐标系中的密度曲线与的密度曲线在分钟时相交，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若密度曲线与的密度曲线相交所对应的另一个时间为，则
D. 若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交
10. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 关于直线对称
B. 的弦长最大值大于
C. 直线被截得弦长的最大值为
D. 的面积小于
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知函数，为的导函数，则的值为____.
13. 电商平台人工智能推荐系统是根据用户的喜好为用户推送商品的．某体育用品供应商在甲电商平台推广新品A和，在乙电商平台推广新品．已知甲平台向一用户推送A的概率为0.7，推送的概率为0.5，同时推送A和的概率为0.3；乙平台向该用户推送的概率为0.6，且甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响．
(1)在甲平台没有向该用户推送A的条件下，求它向该用户推送的概率为________；
(2)这两个平台至少向该用户推送A、B、C中的一种的概率为________．
14. 已知点，分别是函数与图象上的点，则的最大值为________
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角的大小；
（2）若的角平分线交于D，且，求面积的最小值．
16. 已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，且．
（1）用表示；
（2）若，记，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式．
17. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围.
18. 某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，没有投进得0分；在区每投进一球得3分，没有投进得0分．学生甲在两区的投篮练习情况统计如下表：
假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立．
（1）试分别估计甲在区，区投篮命中的概率；
（2）若甲在区投3个球，在区投2个球，
（ⅰ）记甲在区投篮得分为，求的分布列及期望；
（ⅱ）求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率；
（3）若甲在区，区一共投篮5次，投篮得分的期望值不低于7分，直接写出甲选择在区投篮的最多次数．（结论不要求证明）
19. 在排列组合的学习中，我们会遇到一类涂色问题“圆环涂色”问题（如图一）：用种颜色给有个区域（不含最中间区域）的圆环涂色，且要求相邻区域不同色，用表示完成这一涂色的方法数

图一 图二
（1）当时，求
（2）当时，找出的关系，并求出的通项公式.
（3）用种颜色给图二中个区域（含最中间区域）涂色，要求相邻区域不同色，求方法总数.
2023级高二下学期数学期中考试
本试卷共4页，19小题，满分150分+2分（卷面分）.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，且，则集合B可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知有，再结合各项集合描述，解一元二次不等式、指数不等式、对数不等式求集合，即可得.
【详解】因为，所以，显然A中集合不合题意；
B中集合为或，也不合题意，
C中集合为，满足题意，
D中集合为，不合题意.
故选：C
2. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用导函数正负与函数单调性的关系判断B，C，再根据导函数的函数值变化得出原函数的切线斜率变换判断A，D.
【详解】从导函数的图象可以看出，图象全部在轴上方，导函数值大于0，所以原函数的图象必然单调递增，排除B，C；
且导函数的函数值在区间上递减，即原函数在区间上的切线斜率递减，
导函数的函数值在区间上递增，即原函数在区间上的切线斜率递增，D选项错误.
故选:A
3. 已知随机变量，若，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二项分布的期望、方差列方程，从而求得.
【详解】根据分布列方差的性质得：，
依题意知，满足二项分布，
所以，，
所以，解得，或（舍去）.
故选：D.
4. 小明新买的储蓄罐有5位密码，他决定在“斐波那契数列”的前6项中随机抽取5个数字设置为储蓄罐的密码，且密码的第3位是偶数，已知“斐波那契数列”的前6项依次为“1、1、2、3、5、8”，则可以设置的不同密码个数为（ ）
A. 144B. 120C. 84D. 116
【答案】B
【解析】
【分析】分选取的数字只有一个1和有两个1两种情况讨论，即可得解.
【详解】若选的数字只有一个1，此时有两个偶数，则不同的排列方法有种；
若选的数字有两个1，则不同的排列方法有种.
故共有种不同的设置方法.
故选：B.
5. 关于函数的说法中正确的是（ ）
A. 是周期函数B. 在上有最小值
C. 在上有零点D. 的图象是中心对称图形
【答案】D
【解析】
【分析】对函数进行求导判断单调性结合零点存在定理可判断A,B,C，由可判断D.
【详解】∵，在上恒成立，函数在上单调递增，
∴不可能是周期函数，且在上无最值，故A，B错误；
又∵，，∴在上无零点，故C错误；
∵，
∴，
∴的图象关于点对称，故D正确，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了函数的综合性质之周期性、最值、对称性以及零点存在定理，属于中档题.
6. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案.
【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，
根据题意可得，
，
所以
.
故选：D.
7. 若，则S的个位数字是（ ）
A. 0B. 3C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】分别计算，找出规律可求的个位数字．
【详解】，，，，，从开始一直到的个位数字都是0．
所以要求S的个位数字，则只要将前面五个数加起来，即．
所以S的个位数字就是4.
故选：C．
8. 如图，直线与曲线相切于两点，则函数在上的极大值点个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】作出与直线平行的函数的所有的切线，即可观察得到与的大小关系的不同区间，进而得出的正负区间，得出的单调性，进而得到的极值情况，从而判定各个选项的正确与否.
【详解】由题，，则，
作出与直线平行的函数的所有切线，如图，
各切线与函数的切点的横坐标依次为，
则在，处的导数都等于，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
因此函数有三个极大值点，有两个极小值点.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：利用每一个的切线斜率作为该点的导数值，利用图形中任意点的切线斜率与比较，就能结合图象得出的正负取值情况，从而可得极值点的情况.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 若小明坐公交上班的用时（单位：分钟）和骑自行车上班的用时（单位：分钟）分别满足，且同一坐标系中的密度曲线与的密度曲线在分钟时相交，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若的密度曲线与的密度曲线相交所对应的另一个时间为，则
D. 若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交
【答案】BD
【解析】
【分析】利用正态分布密度曲线的性质及原则、密度函数解析式一一分析选项即可.
【详解】
由题意易知坐公交的方差比骑自行车的方差大，
即的密度曲线较矮胖，的密度曲线更瘦高，
则的密度曲线在38分钟后在的密度曲线的上方，可在同一坐标系中作出密度曲线，
易知，故A错误；
由原则可知，故B正确；
根据条件可知两种方式相应密度函数分别为：，
，建立方程，
整理可得，
则，故C错误；
易知，故D正确.
故选：BD
10. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，B，由，根据二项展开式求解判断；对C，D，利用赋值法分别令，1和，求解判断.
【详解】由题意，，
知，，故A，B正确；
分别令，1和，得，，
，
所以，，
即，，所以C错误，D正确.
故选：ABD.
11. 如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 关于直线对称
B. 的弦长最大值大于
C. 直线被截得弦长的最大值为
D. 的面积小于
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，求函数的反函数，结合反函数性质判断A，对于B，联立证明直线与曲线有两个交点，设右侧的交点为，左侧的交点为，求交点的距离，判断B，设为曲线的切线，结合导数的几何意义求，结合对称性判断C，证明左侧交点的横坐标大于，过点做的切线，再做该切线关于对称的直线，过，做切线的垂线，与两切线分别交于，求矩形的面积，判断D.
【详解】对于A：由，
所以函数的反函数为，
所以关于直线对称，故A正确；
对于B：有.
设，则，
由.
由，
所以上单调递减，在上单调递增.
且，
所以存在，使得，另.
所以曲线与直线有两个交点，设右侧的交点为，左侧的交点为，
则，所以，
结合图象可得，的弦长最大值小于，故B错误；
对于C：因为直线与直线垂直，
设为曲线的切线，由，
所以切点为，所以切线方程为.
直线与的距离为.
所以直线被截得弦长的最大值为，即.故C正确；
对于D：由，所以B中.
过点做的切线，再做该切线关于对称的直线，
过，做切线的垂线，与两切线分别交于，
如图所示，构成矩形，
该矩形将图形包含在内，所以的面积小于矩形的面积.
又，
所以矩形的面积为.所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知函数，为的导函数，则的值为____.
【答案】
【解析】
【分析】直接根据导数的运算法则求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
故答案为：.
13. 电商平台人工智能推荐系统是根据用户的喜好为用户推送商品的．某体育用品供应商在甲电商平台推广新品A和，在乙电商平台推广新品．已知甲平台向一用户推送A的概率为0.7，推送的概率为0.5，同时推送A和的概率为0.3；乙平台向该用户推送的概率为0.6，且甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响．
(1)在甲平台没有向该用户推送A的条件下，求它向该用户推送的概率为________；
(2)这两个平台至少向该用户推送A、B、C中的一种的概率为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）设甲平台向该用户推送A为事件，推送为事件，则甲平台没有向该用户推送A为事件，应用条件概率公式，计算可得结果；
（2）应用对立事件的性质，可以计算这两个平台向该用户不推送A、B、C中任一种的概率，用1减去可得结果.
【详解】（1）设甲平台向该用户推送A为事件，推送为事件，则甲平台没有向该用户推送A为事件，由题设可知：
，，，，
又，所以，
.
所以在甲平台没有向该用户推送A的条件下，求它向该用户推送的概率为.
（2）设平台向该用户推送为事件，
则这两个平台向该用户至少推送A、B、C中的一种的概率为：，
因为甲平台推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响，
所以，
因为，所以，
即，
所以.
所以这两个平台至少向该用户推送A、B、C中的一种的概率为.
故答案为：；.
14. 已知点，分别是函数与图象上的点，则的最大值为________
【答案】
【解析】
【分析】同构变形得到，构造，求导得到单调性，可得，则，设，求导，得到单调性，故，即得到答案.
【详解】由题意可知，，即，
又，，所以，则.
设，则，所以在上单调递增，
所以，则，所以，则.
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，所以的最大值为.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角的大小；
（2）若的角平分线交于D，且，求面积的最小值．
【答案】（1）．
（2）．
【解析】
【分析】（1）余弦定理角化边化简，然后再根据余弦定理转化可求出角的余弦值，即可求出角；
（2）应用三角形面积公式以及角平分线将三角形面积拆分成两个三角形的面积之和，根据均值不等式解出的最小值，从而求出三角形面积的最小值.
【小问1详解】
由余弦定理，得，即
整理得， 所以，
又，所以．
【小问2详解】
因为，所以．
因为，即
当且仅当时等号成立
所以．故面积的最小值为．
16. 已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，且．
（1）用表示；
（2）若，记，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式．
【答案】（1）
（2）证明见解析；
【解析】
【分析】（1）求导函数，将切点横坐标代入，得切线的斜率，写出切线方程并计算其与x轴交点的横坐标，写出即可.
（2）由与的关系，得与的关系，证明数列成等比，先写出的通项公式，再利用写出的通项公式即可.
【小问1详解】
因为，所以，
则曲线在点处的切线方程为，
将点代入方程，得，
因为为正实数，所以为正实数，.
【小问2详解】
因为，所以，
，由题意得，
则，而，
则，故为公比为的等比数列，且，
得到，故，
两边取指数得到，解得.
17. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，分，，，四种情况求解即可；
（2）转化问题为，恒成立，令，进而利用导数分析单调性求解即可.
【小问1详解】
因为，
则，
①当时，，由可得，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为；
②当时，，则，
由可得或，由可得，
此时，函数的增区间为，，减区间为；
③当时，，
当时，，则，
当时，，则，
此时，函数在上单调递增；
④当时，，则，
由可得或，由可得，
此时，函数的增区间为，，减区间为.
【小问2详解】
因为，
对任意的，有，所以时，，即，
令，则，
所以，函数在上单调递减，则，故，
因此，实数的取值范围是.
18. 某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，没有投进得0分；在区每投进一球得3分，没有投进得0分．学生甲在两区的投篮练习情况统计如下表：
假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立．
（1）试分别估计甲在区，区投篮命中的概率；
（2）若甲在区投3个球，在区投2个球，
（ⅰ）记甲在区投篮得分为，求的分布列及期望；
（ⅱ）求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率；
（3）若甲在区，区一共投篮5次，投篮得分的期望值不低于7分，直接写出甲选择在区投篮的最多次数．（结论不要求证明）
【答案】（1）甲在区进球的概率估计为，在区投篮进球的概率估计为．
（2）（ⅰ）分布列见解析，4；（ⅱ）
（3）3次．
【解析】
【分析】（1）分别求出甲在区、区投篮进球的频率即可估计概率；
（2）（ⅰ）求出甲在区投篮得分分布列，进而可求得数学期望；（ⅱ）甲在区投篮得分高于在区投篮得分的情况有：区2分区0分、区4分区0分、区4分区3分、区6分区0分、区6分区3分，分别求出相应的概率，求和即可.
（3）分别求出甲在区、区投篮一次得分的期望值，设甲在A区投篮此，则在B区投篮次，根据期望值不低于7分列出不等式求解即可.
【小问1详解】
甲在区投篮30次，投进20次，所以估计甲在区投篮进球的概率为，
甲在区投篮30次，投进15次，所以估计甲在区投篮进球的概率为.
【小问2详解】
据题意，甲在区进球的概率估计为，在区投篮进球的概率估计为．
（ⅰ）所有可能的取值为，
，，
，，
的分布列为
的数学期望.
（ⅱ）设事件为“甲在区投篮得分高于在区投篮得分”
甲在区投3个球，得分可能是，在区投2个球，得分可能是．
则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的情况有：
区2分区0分，概率估计为，
区4分区0分，概率估计，
区4分区3分，概率估计为，
区6分区0分，概率估计为，
区6分区3分，概率估计为，
则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率估计为
【小问3详解】
甲在A区投篮一次得分的期望为：，
甲在B区投篮一次得分的期望为：，
设甲在A区投篮此，则在B区投篮次，
则总的期望值，解得，
所以甲选择在区投篮的次数最多是3次.
19. 在排列组合的学习中，我们会遇到一类涂色问题“圆环涂色”问题（如图一）：用种颜色给有个区域（不含最中间区域）的圆环涂色，且要求相邻区域不同色，用表示完成这一涂色的方法数

图一 图二
（1）当时，求
（2）当时，找出的关系，并求出的通项公式.
（3）用种颜色给图二中个区域（含最中间区域）涂色，要求相邻区域不同色，求方法总数.
【答案】（1）；
（2），；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理，计算即可；
（2）根据题意得到递推关系式，利用累加法求通项公式；
（3）将问题转化成（2）小问中已有的结论，代入数值计算即可.
【小问1详解】
由题意，用3种颜色给有4个区域的圆环涂色，要求相邻区域不同色，
先给涂色，有种方法，
接下来，若与同色，则有2种涂色方法，即种；若与不同色，则都只有1种涂色方法，
所以，.
【小问2详解】
先考虑的取值：
假设不区分是否同色，则用种颜色涂这个区域等价于对以下区域涂色：
因此共有 种，但是这其中包含了同色的情况；因此的取值应该减去同色的情况；
而同色时，可以将这两个相邻区域看成一个整体，即则用种颜色给个区域涂色，
其方法数也就是，所以有：
接下来，利用递推关系求，
由，两边同除以得：，
移项得：
利用累加法：
，又因为，
所以 ，
所以，
【小问3详解】
先给中间的区域涂色，共有种方法，接下来就是用剩下的种颜色涂含有个区域的“圆环涂色问题”，即（2）中的，
所以方法总数为
甲
区
区
投篮次数
30
20
得分
40
30
甲
区
区
投篮次数
30
20
得分
40
30
0
2
4
6