2025年北京市中考数学模拟考试试卷（一）（原卷+解析卷）

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第一部分 选择题
单选题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的只有一个
1．（本题2分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故A不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
2．（本题2分）如图，直线和相交于点O，．若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键．
根据得到，再由平角即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
3．（本题2分）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据数轴上的点从左往右依次增大得到a、b的大小关系．本题考查数轴上的点表示有理数，解题的关键是掌握利用数轴比较有理数大小．
【详解】解：根据a、b在数轴上的位置，得．
故选：B
4．（本题2分）已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的倍，则的值为( )
A．或B．或C．D．
【答案】D
【分析】首先设方程的一根为，则另一根为，根据利用根与系数的关系求得值即可．
【详解】解：设方程的一根为，则另一根为，
∴，
解得：，
又∵，
∴，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．也考查了一元一次方程的解法．
5．（本题2分）不透明袋子中有个红球和个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，恰好是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】本题考查了概率的求法，找出全部情况的总数和符合条件的个数是解题的关键．
根据概率的求法计算即可．
【详解】解：∵袋子中共有个小球，其中红球有个，
∴摸出一个球是红球的概率是13．
故选：Ａ ．
6．（本题2分）中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约，将数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值大于的数，理解表示方法 “一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1．”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
故选：B．
7．（本题2分）如图，已知，求作：，使
作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心，OP长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心，PQ长为半径画弧交第（2）步中所画弧于点F；
（4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角．
根据以上作法，可以判断出的方法是（ ）
A．SASB．SSSC．ASAD．AAS
【答案】B
【分析】利用作法得到OP＝OQ＝EF＝ED，PQ＝DF，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】解：由作法得OP＝OQ＝EF＝ED，PQ＝DF，
则可根据“SSS”判断△OPQ≌△EDF，从而得到∠DEF＝∠AOB．
故选：B．
【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定．
8．（本题2分）在菱形中，点O为对角线 的中点，点E、F分别为线段、上的点，的延长线交线段于点H，的延长线交线段于点 G，连接、、、，以下结论：①；②若，则；③存在无数个点E，使得四边形为菱形；④若四边形为矩形，则．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④
【答案】D
【分析】证明四边形是平行四边形，得出，可判定①正确；证明得到从而可得，可判定②正确；当时，可得四边形是菱形，则存在无数个点E，使得四边形为菱形；可判定③正确；若四边形为矩形，可得，从而证明，得到，继而得到，可判定④正确．
【详解】解：∵菱形，点O为对角线 的中点，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，故①正确；
设与相交于M，如图，
若，则，
∵菱形，
∴，，
又∵，
∴
∴
∴，
即，故②正确；
∵四边形是平行四边形，
∴当时，四边形是菱形，
∴存在无数个点E，使得四边形为菱形；故③正确；
若四边形为矩形，
∴，
由①可知，
∴
∴
∵
∴故④正确．
综上，正确的有①②③④，
故选：D．
【点睛】本题菱形的性质和判定，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．
非选择题
二、填空题（共16分）
9．（本题2分）若二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
10．（本题2分）将整式分解因式结果正确的是 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解；先提取公因式，进而用平方差公式分解，即可求解；掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
11．（本题2分）方程的解为 ．
【答案】
【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
12．（本题2分）若点在反比例函数图像上，则代数式 ．
【答案】
【分析】根据点在反比例函数的图象上，可以求得的值，从而可以得到所求式子的值．
【详解】解：点在反比例函数的图象上，
，得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
13．（本题2分）某工厂加工了一批共360个工件，质检员小字从中随机抽取了12个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：


当一个工件的质量x（单位：g）满足：时，评定该工件为一等品，根据以上数据，估计这一批工件中一等品的个数是 ．
【答案】270
【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握知识点是解题的关键．
先计算出12个工件中为一等品的频率，再乘以总数360即可求解．
【详解】解：12个工件中为一等品的有，，，，，，，，，这9个，
∴这360个工件中一等品的个数为个，
故答案为：270．
14．（本题2分）如图，的半径与弦互相平分，则的度数为 ．
【答案】30°/30度
【分析】连接，由的半径与弦互相平分，可知，由余弦定义可知，，根据圆周角定理可求的度数．
【详解】解：连接，
∵的半径与弦互相平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理、由三角函数值求特殊角以及圆周角定理，解答关键是利用三角函数值求出特殊角．
15．（本题2分）如图，正方形的对角线、交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是5，则的长为 ．
【答案】
【分析】如图，过作于，于，则四边形是正方形，证明，则，，即，解得，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，过作于，于，则四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即，解得，（舍去），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
16．（本题2分）有A，B，C，D，E，F六种类型的卡牌，每位同学有三张不同类型的卡牌，作一个“卡牌组合”（不考虑顺序）将n位同学拥有的卡牌按类型分别统计，得到下表：
根据以上信息，可知：
① ；
②拥有“卡牌组合” 的人数最少（横线上填出三张卡牌的类型）
【答案】 10
【分析】先求出所有卡牌的数量，再除以每位同学拥有的卡牌数量即可求出同学人数n；根据卡牌的数量和同学人数分析这些同学所拥有的“卡牌组合”并计算人数，再选择人数最少的即可．
【详解】解：∵所有卡牌的数量为．
∴同学人数为，即．
∵B型卡牌和F型卡牌各有10张，且每位同学有三张不同类型的卡牌，
∴每位同学一定有1张B型卡牌和1张F型卡牌．
∵A型卡牌有4张，C型卡牌牌有3张，E型卡牌有1张，D型卡牌有2张，
∴拥有“卡牌组合”的有4人，拥有“卡牌组合”的有3人，拥有“卡牌组合”的有2人，拥有“卡牌组合”的有1人．
∵，
∴拥有“卡牌组合”的人数最少．
故答案为：10；．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，有理数的加法运算，有理数的除法运算，熟练掌握这些知识点是解题关键．
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（本题5分）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，细心化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值，绝对值的意义以及立方根的知识点化简计算即可．
【详解】解：原式=
=
=．
18．（本题5分）解不等式组：
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别求出不等式①②的解集，再将不等式①②的解集分别表示在数轴上即可得出答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
将不等式①和②的解集分别表示在数轴上：
由数轴可知，不等式组的解集为，
∴不等式组的解集为：．
19．（本题5分）已知，求代数式的值．
【答案】3
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先将分式化简，再整体代入求值即可．
【详解】解：原式
．
，
，
即原式值为3．
20．（本题6分）如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接CD，过点D作交的延长线于E．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，求DE的长．
【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析
(2)DE的长为
【分析】本题考查了菱形的证明、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记定理内容是解题关键．
（1）证得，可得四边形是平行四边形，即可进一步求证；
（2）由题意得是等边三角形，根据即可求解.
【详解】（1）解：四边形是菱形，
理由：∵，平分，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵平分，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴4，
21．（本题6分）据新华网北京频道（2023年11月24日）报道，京雄高速五环至六环段主体已经完工，北京段计划于2023年12月31日全线贯通． 通车后，由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟． 小艺爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27.5千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和报道中描述的情况吻合，通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？
【答案】通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是每小时千米．
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，则通车后小艺爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，再利用车速度之间的关系列方程，再解方程即可．
【详解】解：设通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，则通车后小艺爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，则
，
解得：，
∴，
答：通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是每小时千米．
22．（本题5分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到，且经过点．
(1)求k，b的值；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（1）分别列方程即可求出k和b的值；
（2）求出两直线交点坐标，数形结合解决问题．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到，
∴．
∵一次函数的图象经过点，
∴．
∴；
（2）解：由（1）一次函数的解析式为，
当时，，
把点代入，得，
解得，
∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，
∴．
【点睛】本题考查一次函数图象的平移及一次函数与一次不等式的关系，解题的关键是数形结合思想的应用．
23．（本题5分）某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标x，y，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如图：
注“●”表示患者，“▲”表示非患者．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在这40名被调查者中，
①指标y低于0.4的有 人；
②将20名患者的指标x的平均数记作，方差记作s12，20名非患者的指标x的平均数记作，方差记作s22，则 ，s12 s22（填“＞”，“＝”或“＜”）；
(2)来该院就诊的500名未患这种疾病的人中，估计指标x低于0.3的大约有 人；
(3)若将“指标x低于0.3，且指标y低于0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的有 人．
【答案】(1)①9；②＜；＞
(2)100
(3)125
【分析】（1）①直接统计指标y低于0．4的有人的个数即可；
②通过观察图表估算出指标x、y的平均数，然后再进行比较即可确定平均数的大小；根据点的分散程度可以确定方差的大小关系．
（2）先估算出样本中未患这种疾病的人中指标x低于0．3的概率，然后500乘以该概率即可；
（3）通过观察统计图确定不在“指标x低于0．3，且指标y低于0．8”范围内且患病的人数，最后用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：①根据图象，可得指标y低于0．4的有9人．
故答案为：9；
②将20名患者的指标x的平均数记作 ，方差记作S12，20名非患者的指标x的平均数记作，方差记作S22，则
，S12＞S22．
故答案为：＜，＞；
（2）解：500100（人）．
故答案为：100；
（3）解：根据图象，可知“指标x低于0．3，且指标y低于0．8”的有15人，而患者有20人，
则发生漏判的概率是：1，
发生漏判的有：500125（人），
故答案为：125．
【点睛】本题考查了平均数、方差的意义，利用样本估计总体，以及概率公式，准确识图，从图中获取有用信息是解题的关键
24．（本题6分）如图，AB为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点，连接CD，过点C作，交DB的延长线于点E，连接AC、AD．
(1)若，求证：CE是的切线．
(2)若的半径为，，求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）连接OC，可证明OC//DE，由于CE⊥DB，∠CED=90°，所以∠OCE=90°，OC⊥CE，根据切线的判定即可求出答案．
（2）连接BC，由于∠BDC=∠BAC，所以=，设BC=x，AC=2x，所以AB=x，列出方程即可求出x的值．
【详解】（1）解：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠COB=2∠OAC，
∵∠BDC=∠OAC，∠ABD=2∠BDC，
∴∠COB=∠ABD，
∴OC//DE，
∵CE⊥DB，∠CED=90°，
∴∠OCE=90°，OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线．
（2）连接BC，
∵∠BDC=∠BAC，
∴=，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴，
设BC=x，AC=2x，
∴AB=，
∵⊙O的半径为，
∴，
∴x=2，
∴AC=2x=4．
【点睛】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用切线的判定，锐角三角函数的定义、圆周角定理以及勾股定理．
25．（本题5分）学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为，(单位：克)．
下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：
记录，与x的几组对应值如下：
(1)在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；
(2)进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，与x之间近似满足函数关系．场景B的图象是直线的一部分，与x之间近似满足函数关系．请分别求出场景A，B满足的函数关系式；
(3)查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为，则 (填“＞”，“=”或“＜”)．
【答案】(1)见详解
(2)，
(3)＞
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键．
（1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；
（2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；
（3）依据题意，分别求出当时x的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意，作图如下．
；
（2）解：由题意，场景A的图象是抛物线的一部分，与x之间近似满足函数关系.
又点在函数图象上，
∴．
解得：．
∴场景A函数关系式为．
对于场景B的图象是直线的一部分，与x之间近似满足函数关系
又在函数图象上，
∴．
解得：．
∴场景B函数关系式为．
（3）解：由题意，当时，
场景A中，
场景B中，，
解得：，
∴．
26．（本题6分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2图象经过点P（﹣1，1）．
(1)求a的值和图象的顶点坐标；
(2)若点Q（m，n）在该二次函数图象上，当﹣1≤m＜4时，请根据图象直接写出n的取值范围．
【答案】(1)a＝1，顶点坐标为（1，﹣3）
(2)﹣3≤n＜6
【分析】（1）把P（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣2中，得到a的值，即可得到函数解析式，将解析式化为顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标；
（2）利用描点法画出函数图象，即可得到n的取值范围．
【详解】（1）解：把P（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣2中，得a+2a-2=1，
∴a＝1，
∴y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
∴图象的顶点坐标为（1，﹣3）；
（2）解：如图所示：
由图象知，当m=-1时，n=1；当m=4时，n=6；图象最低点在此段函数图象上，
∴点Q（m，n）在该二次函数图象上，当﹣1≤m＜4时，﹣3≤n＜6．
【点睛】此题考查了二次函数的知识，利用待定系数法求函数解析式，将函数解析式化为顶点式求顶点坐标，画函数图象，利用函数图象确定纵坐标的取值范围，属于基础题型．
27．（本题7分）在△ABC中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接.将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)延长到点，使得，连接交于点，依题意补全图2 ．若点是的中点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)详见解析
(2)，详见解析
【分析】本题考查等边三角形的判断和性质、平行直线的判定、全等三角形的判定和性质和直角三角形的性质，
（1）延长交于点，连接，先证明是等边三角形，得到点在线段的垂直平分线上，进一步证明，得到，最后证得；
（2）延长交的延长线于点，连接，先证明，得到，进一步得到，在中，，可得，进一步证得．
【详解】（1）证明：延长交于点，连接，如下图所示，
∵，
∴是等边三角形．
∴．
∴点在线段的垂直平分线上．
∵，
∴点A在线段的垂直平分线上．
∴．
∴．
∴．
（2）解：依题意补全图，如下图所示，延长交的延长线于点，连接，
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴
∴．
∴．
在中，，可得．
在中，，可得．
∴．
∵，
∴．
28．（本题7分）在平面直角坐标系中，对于两点和直线，过点作直线的垂线，垂足为点，若点关于点的对称点为点，则称点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”．已知点．
(1)①点关于轴和点的“垂足对称关联点”的坐标为______；
②点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”，则点到直线的距离为______；
(2)如图，点在线段上，点在轴下方，且满足，若直线上存在点关于轴和点的“垂足对称关联点”，求的取值范围．
【答案】(1)①；②1
(2)
【分析】（1）依据“垂足对称关联点”的定义，中点坐标公式解决即可；
（2）①以点O为圆心，为半径作圆，当直线与圆O相切时，b最大，此时，过点O作直线的垂线，则，且，据此求出b的值；②当点D与点重合时，点G关于点A的对称点H最远，此时b最小，求出，由此得到的取值范围为．
【详解】（1）解：①如图，过点作x轴的垂线，则垂足B所表示的数为1,0，
∵，
∴点关于轴和点的“垂足对称关联点”的坐标为，
故答案为：；
②∵，点，
∴它们的中点的坐标为，即，
∵点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”，
∴点到直线的距离为1，
故答案为：1．
（2）
①如图，以点O为圆心，为半径作圆，当直线与圆O相切时，b最大，此时，过点O作直线的垂线，则，且，
∵点D与点E的中点为O，
∴点C与点B重合，
∵，
∴,
∴；
②当点D与点重合时，点G关于点A的对称点H最远，此时b最小，如图，
∵，
∴点G关于点A的对称点H的坐标为,
将代入，得，
∴的取值范围为．
【点睛】此题考查了对称的性质，一次函数的性质，坐标系中中点坐标公式，（2）根据对称的性质确定最高点及最远点是难点，正确理解对称的性质是解题的关键．
卡牌类型
A
B
C
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