2025年高考数学圆锥曲线的方程压轴题专项训练

这是一份2025年高考数学圆锥曲线的方程压轴题专项训练，共17页。试卷主要包含了已知双曲线，定义等内容，欢迎下载使用。
1．已知双曲线的实轴长为，直线交双曲线于，两点，.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知点，过点的直线与双曲线交于，两点，且直线与直线的斜率存在，分别记为.问：是否存在实数，使得为定值？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.
2．已知双曲线：（）的左焦点为，，分别为双曲线的左、右顶点，顶点到双曲线的渐近线的距离为.
（1）求的标准方程；
（2）过点的直线与双曲线左支交于点（异于点），直线与直线：交于点，的角平分线交直线于点，证明：是的中点.
3．已知椭圆过两点，直线过点，且交椭圆于两点，交轴于点.记的面积为.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）证明：为定值.
（3）求的取值范围.
4． 给定椭圆，称圆心在原点、半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，若椭圆的离心率为，点在上.
（1）求椭圆的方程和其“卫星圆”方程；
（2）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线、使得，与椭圆都只有一个交点，且、分别交其“卫星圆”于点、，证明：弦长为定值.
5．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）动直线交椭圆于A、B两点，D是椭圆C上一点，直线OD的斜率为，且．T是线段OD延长线上一点，且，的半径为，OP，OQ是的两条切线，切点分别为P，Q，求的最大值．
6．如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，求的值；
（3）证明：直线过定点.
7．已知抛物线，为其焦点，，，三点都在抛物线上，且，直线，，的斜率分别为，，．
（1）求抛物线的方程，并证明；
（2）已知，且，，三点共线，若且，求直线的方程．
8．设抛物线与两坐标轴的交点分别记为M，N，G，曲线C是经过这三点的圆.
（1）求圆C的方程.
（2）过作直线l与圆C相交于A，B两点，
①用坐标法证明：是定值.
②设，求的最大值.
9．已知抛物线（为常数，）.点是抛物线上不同于原点的任意一点.
（1）若直线与只有一个公共点，求；
（2）设为的准线上一点，过作的两条切线，切点为，，且直线，与轴分别交于，两点.
①证明：.
②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
10．定义：若椭圆上的两个点，满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆C：上一点．
（1）求“共轭点对”中点B所在直线l的方程．
（2）设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且，（1）中的直线l与椭圆C交于两点．
①求点，的坐标；
②设四点，P，，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形的面积小于．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：由已知得.将代入方程，得，
由得，.因此双曲线的标准方程为.
（2）解：设，则，，则
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
则.
.联立方程可得，
则，.
令，整理得.
要使得对任意的上式恒成立，则
解得：.
所以，当时，.
②当直线的斜率不存在时，由①得，为定值的必要条件是，即直线过定点，
此时直线的方程为，易知直线与双曲线没有交点，不符合题意的要求.
综上所述，当时，为定值6
2．【答案】（1）解：因为，所以，
双曲线的一条渐近线为，因为双曲线的右顶点为，设右顶点到浙近线的距离为，
由题意得解得
则的标准方程为.
（2）证明：①当，即时，设点，
代入双曲线方程得，，解得，取第二象限的点，则，
因为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，令，解得，即，
因为直线是的角平分线，且.，所以直线的斜率为，
直线的方程为，令，解得，即，
此时，即是的中点；
②当时，设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立方程消去得，
由韦达定理得，，
又因为，所以，，
点，又因为，
所以，
由题意可知，直线的斜率存在，设为，则直线：，
因为是的角平分线，所以，所以，
又因为，，
所以，即，
即，得或，
由题意知和异号，所以，所以直线的方程为，
令，可得，即，所以，
直线的方程为，令，可得，
即，所以，
所以，即是的中点.
综上，是的中点.
3．【答案】（1）解：由题意可知
所以，
故椭圆的标准方程为.
（2）证明 ：由（1）得，依题意，直线不垂直于坐标轴，
设直线，设，
由消去并整理得，
则
由，得，即，
而，同理，
因此，
所以为定值.
（3）解：，
由，可知，
因为，所以，则，
所以的取值范围是.
4．【答案】（1）解：因为椭圆的离心率为，点在上，
所以，解得，，椭圆方程为，
因为，圆心为原点，
所以卫星圆的方程为.
（2）解：①当、中有一条无斜率时，不妨设无斜率，
因为与椭圆只有一个公共点，所以其方程为或，
当方程为时，此时与“卫星圆”交于点和，
此时经过点或且与椭圆只有一个公共点的直线是或，
即为或，此时，线段应为“卫星圆”的直径，，
②当、都有斜率时，设点，其中，
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，
联立方程，
消去得到，
则，
，满足条件的两直线、垂直，
此时线段应为“卫星圆”的直径，，
综合①②可知，为定值，.
5．【答案】（1）解：由题意得，，
又，，，
椭圆方程为：.
（2）解：
设，，
联立，得，
，
，，
，
，直线的方程为：，
联立得，，
，
，
，
令，，且，
则
当且仅当，，即，时等号成立，
，因此，
的最大值为，
综上所述，的最大值为，此时.
6．【答案】（1）因为点和点在双曲线上，
所以，解得，所以双曲线的标准方程为.
（2）由题可知，直线的斜率不等于零，故可设直线的方程为，
设，
联立，整理得，
若，即，直线的斜率为，与渐近线平行，
此时直线与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以，
所以
，
，
因为，所以
，所以.
（3）（i）当轴时，且，
所以，则，
联立，整理得，
即，解得或，
当时，，所以，
由于对称性，，此时直线过定点；
（ii）当不垂直于轴时，以下证明直线仍过定点设为，
因为，所以联立，
即，所以，
解得或，
当时，，
所以，
同理，将上述过程中替换为可得，
所以，，
因为，所以，
所以，
所以三点共线，即此时直线恒过定点，
综上直线过定点.
7．【答案】（1）解：由题抛物线，，且，
根据抛物线的定义，可得，解得，
所以抛物线的方程为，且点，
设点，可得，同理，
，
所以，，
所以，即.
（2）解：由，且三点共线，
设直线的方程为，其中（），
联立，消去得，
则，，
又由，解得或，
因为，所以，即，
则，解得，
由（1）知，所以，
即，且，所以，
所以直线的方程为，即.
8．【答案】（1）解：设抛物线与x轴分别交于M，N，交y轴于点G，
令y=0，则，即，，0)，令x=0，则y=-3，则G（0．-3），
设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则，解得，
则x2+y2+2y-3=0，化为标准式为x2+（y+1)2=4；
（2）解： （i）证明：当直线l的斜率不存在时，则l方程为x=-1，
联立，可得或，
即，，则，，则|PA|·|PB|=2；
当当直线l的斜率存在时，设l方程为y=k（x+1），
联立直线与圆的方程，消去y可得（1+k2）x2+2（k2+k）x+（k2+2k-3）=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由根与系数的关系可得，，
且，
，
则
，是定值．
（ii）由（i）可知，当直线l的斜率不存在时，，，
且Q（0，-2），则，，则|QA|2+|QB|2=10；
当直线l的斜率存在时，设l方程为y=k（x+1），
则
，
当且仅当时，等号成立，
所以|QA|2+|QB|2的最大值为．
9．【答案】（1）将代入，
化简得
方程的判别式，
由于点在抛物线上，且，所以.
（2）由(1)知抛物线，
①证明：设，切线的方程为，
与抛物线联立，可得，
由，即，
可得，
所以，
即；
②设直线PA的斜率为，倾斜角为，
直线PB的斜率为，倾斜角为，
设，
直线AB的斜率为，倾斜角为，
则，
由有唯一解，则解为，
可得，同理可得，
所以，
因为，
所以，
则，即，
又，
所以，
所以，即有
10．【答案】（1）解：设中点B的坐标为，
对于椭圆C：上的点，由“共轭点对”的定义，
可知直线l的方程为，即l：．
（2）解：①联立直线l和椭圆C的方程，得解得或，
所以直线l和椭圆C的两个交点的坐标为，．
②设点，，则，
两式相减得．
又，所以，所以，
即，线段PQ被直线l平分．
设点到直线的距离为d，
则四边形的面积．
由，，得．
设过点P且与直线l平行的直线的方程为，则当与C相切时，d取得最大值．
由消去y得．
令，解得，
当时，此时方程为，即，解得，
则此时点P或点Q必有一个和点重合，不符合条件，
故直线与C不可能相切，
即d小于平行直线和（或）的距离．
故.