湖南省郴州市2024-2025学年高二下学期3月份联考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖南省郴州市2024-2025学年高二下学期3月份联考数学试题（原卷版+解析版），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数z满足，其中i为虚数单位，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
2. 在平面直角坐标系中，已知直线l的方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3. 某校文艺汇演上有一个合晿节目，3名女同学和4名男同学需从左至右排成一排上台演唱，则男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻的排法种数为（ ）
A. 194B. 240C. 388D. 480
4. 已知是等差数列前项和，且，则（ ）
A. 55B. 50C. 100D. 58
5. 曲线在处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆与过点的直线l交于A，B两点，则弦的长度的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 2025年春节期间，有《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《熊出没•重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》五部电影上映，小罗准备和另外3名同学去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 过椭圆上一点P，分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则最小值为
B. 函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称
C. 存在，使得为偶函数
D. 函数在区间上的值域与在区间上的值域相同
10. 已知为随机事件，，，则下列结论正确的有（ ）
A. 若为互斥事件，则
B. 若为互斥事件，则
C. 若相互独立，则
D. 若，则
11. 已知数列满足，且，，数列的前n项和为，则（ ）
A. B. 是等比数列
C. 时，D. 不存在，使得为整数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中常数项为________．
13. 已如随机变量取所有的值是等可能的，且，则________．
14. 已知对于任意的，存在，使得不等式恒成立，则实数的取值范围为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列为公差不为零等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是公比为2的等比数列，且，求数列的前n项和．
16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且，M为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角正弦值．
17. 2025年的农历新年里，某市传统民俗文化庙会在历史文化街区举办．庙会设有7个传统手工艺展示区、11个地方美食摊位区和3个民俗表演舞台区，街区总面积约2万平方米．游客可选择乘坐复古三轮车、骑共享单车或者步行来逛庙会．
（1）若游客甲准备在7个传统手工艺展示区和3个民俗表演舞台区中随机选取2个区域游览，设甲参观传统手工艺展示区的数量为X，求X的分布列及数学期望；
（2）为了解游客体验感受，主办方随机询问了350名首次逛庙会且只选择一种游览方式的游客，其游览方式和游览结果的统计数据如下表：
以频率估计概率，若游客乙首次逛庙会，选择上述三种游览方式中的一种，求游览结束时乙能逛完所有区域的概率．
18. 已知函数 ．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求实数取值范围．
19. 如图，已知曲线，曲线的左、右焦点分别是，，且是曲线的焦点，点P是与在第一象限内的公共点且，过的直线l分别与曲线和交于点和．
（1）求点的坐标及曲线的方程；
（2）若与面积分别是，，求的最小值．
游览方式
游览结果
复古三轮车
共享单车
步行
逛完所有区域
40
50
30
未逛完所有区域
20
70
140