湖南省郴州市2024_2025学年高二数学下学期3月联考试题含解析

这是一份湖南省郴州市2024_2025学年高二数学下学期3月联考试题含解析，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知复数 z 满足 ，其中 i 为虚数单位，则 （ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】应用复数的除法及乘法公式计算化简，再结合模长公式计算即可.
【详解】因为复数 z 满足 ，则 ，
则 .
故选：B.
2. 在平面直角坐标系中，已知直线 l 的方向向量为 ，则直线 l 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由方向向量求出斜率，即可得出倾斜角.
【详解】因为直线 l 的方向向量为 ，
所以直线 的斜率 ，
所以直线 l 的倾斜角为 .
故选：A.
3. 某校文艺汇演上有一个合晿节目，3 名女同学和 4 名男同学需从左至右排成一排上台演唱，则男生甲与
女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻的排法种数为（ ）
第 1页/共 18页
A. 194 B. 240 C. 388 D. 480
【答案】D
【解析】
【分析】根据相邻问题捆绑法进行求解即可.
【详解】因为男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻，
所以先将男生甲与女生乙、男生丙与女生丁分别看作一个整体，
与剩下 3 名学生进行排列有 种排法，
又男生甲与女生乙之间有 种排法，男生丙与女生丁之间有 种排法，
因此根据乘法原理得所求种数为 ，
故选：D
4. 已知 是等差数列 的前 项和，且 ，则 （ ）
A. 55 B. 50 C. 100 D. 58
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差数列的前 项和公式结合等差数列的性质即可得解.
【详解】由题意， .
故选：A
5. 曲线 在 处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.
详解】 ，则 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
故选：C.
第 2页/共 18页
6. 已知圆 与过点 的直线 l 交于 A，B 两点，则弦 的长度的最小值
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】记圆心为 ，由相交弦长 和圆的半径 及圆心 到过 的直线的距离 之间的勾股关
系，求出弦长的最小值即可.
【详解】由题意，圆的方程可化为 ，圆心坐标为 ，半径 ，
设圆心到直线的距离为 ，则过 的直线与圆的相交弦长 ，
当直线与 所在直线垂直时， 最大，此时 ，当 最大时， 最
小，
所以最小的弦长 .
故选：D.
7. 2025 年春节期间，有《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《唐探 1900》《熊出没•重启未来》和
《射雕英雄传：侠之大者》五部电影上映，小罗准备和另外 3 名同学去随机观看这五部电影中的某一部电
影，则小罗看《哪吒之魔童闹海》，且 4 人中恰有两人看同一部电影的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出基本事件总数，再求出满足小罗看《哪吒之魔童闹海》，且 4 人中恰有两人看同一部电影
的方案数，最后根据古典概型的概率公式计算可得.
【详解】依题意每位同学均有 种选择，则四位同学一共有 种方案，
若小罗看《哪吒之魔童闹海》，且 4 人中恰有两人看同一部电影，
有两人看《哪吒之魔童闹海》，则有 种方案，有一人看《哪吒之魔童闹海》电影，则有 种方案，
即满足小罗看《哪吒之魔童闹海》，且 4 人中恰有两人看同一部电影一共有 种方案，
第 3页/共 18页
所以所求概率 .
故选：C.
8. 过椭圆 上一点 P，分别向圆 和圆 作切线，切点
分别为 M，N，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可得 ，设 ，则 ，则 ，进而
可得 ，可求最小值.
【详解】由 ，可得 ， ，所以 ， ，
由 ，可得 ，半径为 ，
由 ，可得 ，半径为 ，
由椭圆的定义 ，设 ，
则 ，则 ，则 ，
所以
.
故选：B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
第 4页/共 18页
目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A. 若 ，则 的最小值为
B. 函数 的图象向右平移 个单位长度后得到的函数图象关于原点对称
C. 存在 ，使得 为偶函数
D. 函数 在区间 上的值域与 在区间 上的值域相同
【答案】AC
【解析】
【分析】先利用辅助角公式化简，根据平移变换的原则结合正弦函数的对称性即可判断 B；根据诱导公式
结合三角函数的奇偶性即可判断 C；分别求出两个函数的值域即可判断 D.
【详解】 ，
对于 A，令 ，则 ，
所以 ，则 ，
所以 ，故 A 正确；
对于 B，函数 的图象向右平移 个单位长度后得 ，
因为 ，所以平移后的函数图象不关于原点对称，故 B 错误；
对于 C， ，
要使 为偶函数，则 ，所以 ，
第 5页/共 18页
又因为 ，所以 ，
所以存在 ，使得 为偶函数，故 C 正确；
对于 D，因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，故 D 错误.
故选：AC.
10. 已知 为随机事件， ， ，则下列结论正确的有（ ）
A. 若 为互斥事件，则
B. 若 为互斥事件，则
C. 若 相互独立，则
D 若 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据互斥事件的概率公式即可判断 AB；根据相互独立事件的乘法公式即可判断 C；根据条件概率
公式即可判断 D.
【详解】对于 A，若 为互斥事件，则 ，故 A 正确；
对于 B，若 为互斥事件，则 ， ，故 B 错误；
对于 C，若 相互独立，则 ，故 C 正
确；
对于 D，若 ，则 ，所以
，故 D 正确.
第 6页/共 18页
故选：ACD.
11. 已知数列 满足 ，且 ， ，数列 的前 n 项和为 ，则（
）
A. B. 是等比数列
C. 时， D. 不存在 ，使得 为整数
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据递推公式求出 即可判断 A；根据递推公式可得 即可判断 B；
利用构造法求出数列 的通项，再利用错位相减法求出 ，再利用作差法即可判断 C；化简 即
可判断 D.
【详解】对于 A， ， ，故 A 正确；
对于 B，由 ，得 ，
又 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，故 B 正确；
对于 C，由 B 选项知 ，
所以 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，所以 ，
则 ，
，
两式相减得
第 7页/共 18页
，
所以 ，
，
因为 ，所以 ，
所以当 时，
，
所以当 时， ，故 C 错误；
对于 D，
，
因为 不同时为整数，
所以 ，故 D 正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 的展开式中常数项为________．
【答案】448
【解析】
【分析】首先求展开式的通项公式，再根据特征项，即可求解.
【详解】二项展开式的通项公式为 ，
第 8页/共 18页
令 ，得 ，所以展开式的常数项为 .
故答案为：
13. 已如随机变量 取所有的值 是等可能的，且 ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得 ，根据期望公式求出 ，再
求出方差，再根据方差的性质即可得解
【详解】由题意可得 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
14. 已知对于任意的 ，存在 ，使得不等式 恒成立，则实数 的取值范围为
________．
【答案】
【解析】
【分析】令 ，则 ，令 ，利用导数求出
函数 的单调区间，从而可求出函数 的零点，进而求出 的符号分别情况，即可求出函数
的单调区间，进而求出 ，即可得解.
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以又 ，
第 9页/共 18页
且当 时， ，当 时， ，
即 ，
且当 时， ，当 时， ，
所以存在唯一 ，使得 ，所以 ，
故当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以
，
则 ，
令 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 为公差不为零的等差数列，其前 n 项和为 ， ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 是公比为 2 的等比数列，且 ，求数列 的前 n 项和 ．
【答案】（1）
（2）
第 10页/共 18页
【解析】
【分析】（1）设公差为 d，根据等差数列的前 n 项和公式与等比中项公式列出关于 和 d 的方程，求解即可
得 的通项公式；
（2）由（1）可得等比数列 的第三项 ，进而得 ，从而得到 的通项公式，利用等
差和等比数列前 n 项和公式分组求和即可求出 .
【小问 1 详解】
因 为等差数列，设公差为 d，
由 ，得 ，①
由 ， ， 成等比数列得 ，
则 ，②
联立①②解得 或 ，又因为 ，则 ，
所以 ．
综上 ．
【小问 2 详解】
由 知 ， ，
又 为公比是 2 的等比数列， ，
所以 ，即 ，
所以 ， ，
所以
.
综上 .
16. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 为正三角形，且
第 11页/共 18页
，M 为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，连 ，证明 ，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）取 中点 ，连 PO，证明 平面 ，以点 O 为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量
求线面角的正弦.
【小问 1 详解】
连接 ，连 ，如图，正方形 中，N 为 的中点，而 M 为 PD 的中点，
则 ，而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
【小问 2 详解】
取 中点 ，连 ，如图，正 中， ， ，
连接 ，因 ，
所以 ，所以 ， 平面 ，则 平面
，
第 12页/共 18页
在平面 内过 O 作 ，则射线 两两垂直，
以点 O 为原点，射线 分别为 x，y，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，
则 ，
，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值是 .
17. 2025 年的农历新年里，某市传统民俗文化庙会在历史文化街区举办．庙会设有 7 个传统手工艺展示区、
11 个地方美食摊位区和 3 个民俗表演舞台区，街区总面积约 2 万平方米．游客可选择乘坐复古三轮车、骑
共享单车或者步行来逛庙会．
（1）若游客甲准备在 7 个传统手工艺展示区和 3 个民俗表演舞台区中随机选取 2 个区域游览，设甲参观传
统手工艺展示区的数量为 X，求 X 的分布列及数学期望；
（2）为了解游客体验感受，主办方随机询问了 350 名首次逛庙会且只选择一种游览方式的游客，其游览方
式和游览结果的统计数据如下表：
游览方式
复古三轮车 共享单车 步行
游览结果
逛完所有区域 40 50 30
第 13页/共 18页
未逛完所有区域 20 70 140
以频率估计概率，若游客乙首次逛庙会，选择上述三种游览方式中的一种，求游览结束时乙能逛完所有区
域的概率．
【答案】（1）分布列见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合超几何分布求分布列和期望；
（2）根据题意结合全概率公式运算求解.
【小问 1 详解】
由题意知： 所有可能取值为 ，则有：
， ， ，
可知 的分布列为：
0 1 2
所以 的数学期望为： .
【小问 2 详解】
记事件 A 为“游客乙乘坐复古三轮车游园”，事件 为“游客乙骑共享单车游园”，事件 为“游客乙步行游园”，
事件 为“游园结束时，乙能参观完所有区域”，
由题意可知： ， ，
由全概率公式可得
，
所以游园结束时，乙能参观完所有展园的概率为 .
18. 已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
第 14页/共 18页
（2）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，再分 和 两种情况讨论即可；
（2）由（1）知，要使函数 有两个零点，则 ，则 ，进而可得出答案.
【小问 1 详解】
，
当 时， ，
所以函数 在单调减区间为 ，
当 时，令 ，则 ，令 ，则 ，
所以函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ，
综上所述，当 时， 在单调减区间为 ，没有增区间；
当 时，函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；
【小问 2 详解】
由（1）知，要使函数 有两个零点，则 ，
当 时， ，
又当 时， ，当 时， ，
因为函数 有两个零点，
所以 ，
令 ，
第 15页/共 18页
因为函数 在 上都是增函数，
所以函数 在 上是增函数，
又因为 ，
所以不等式 的解集为 ，
所以实数 的取值范围为 .
19. 如图，已知曲线 ，曲线 的左、右焦点分别是 ， ，且 是曲线 的焦
点，点 P 是 与 在第一象限内的公共点且 ，过 的直线 l 分别与曲线 和 交于点 和
．
（1）求点 的坐标及曲线 的方程；
（2）若 与 面积分别是 ， ，求 的最小值．
【答案】（1） ， 的方程是
（2）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的定义求出 点的横坐标，再代入抛物线方程即可求出点 的坐标，再将点 的坐
标代入椭圆方程求出 ，即可求出椭圆方程；
（2）设直线 的方程为 ， ，将直线方程分别与抛物
线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理求出 ， ，求出点 到直线 的距离
，再求出 的表达式，进而可得出答案.
第 16页/共 18页
【小问 1 详解】
由题意得 ，曲线 的准线为 ，
设 ，据题意有 ，则 ，
因为 在曲线 上，
所以 ，得 ，
因为点 在第一象限，
所以 ，
因为点 在椭圆上及 是 的焦点，
所以 ，解得： ，
所以 的方程是 ；
【小问 2 详解】
由题意知直线 的斜率不为零，
设直线 的方程为 ， ，
则点 到直线 的距离 ，
联立 ，消 得 ，
由 恒成立，得 ，
则 ，
所以 ，
联立 ，消 得 ，
第 17页/共 18页
由 恒成立，得 ，
则 ，
所以
，
则
，
令 ，则 ，
则 ，
由双勾函数的性质可得函数 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
又因为函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 ．
第 18页/共 18页