湖北省随州市2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖北省随州市2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：郝龙辉 作业时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 据统计，2025年1月28日到2月4日，第二十六届哈尔滨冰雪大世界累计接待游客超610000人次，将610000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列四幅图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在下列几何体中，主视图与其他3个几何体主视图形状不一样的是（ ）
A B. C. D.
5. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A. 了解一批笔芯的使用寿命B. 调查我省中学生的视力情况
C. 了解全国中学生每天运动的时间D. 检测神舟十九号载人飞船的零部件质量情况
6. 地理老师介绍到：长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米．小东根据地理老师的介绍，设长江长为x千米，黄河长为y千米，然后通过列、解二元一次方程组，正确地求出了长江和黄河的长度，那么小东列的方程组可能是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，四边形内接于，为直径，点为上一点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，则点到的距离为（ ）
A. 3B. 4C. D. 5
9. 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，点C的坐标是，，则点A的坐标是（ ）
A. B. C. D.
10. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线．若是一元二次方程的两个根，且，，则下列说法正确的是（ ）
A B. C. D.
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 化简：________．
12. 已知反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，则实数k的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数）
13. 春节期间，小明和小亮分别从三部影片《哪吒之魔童降世》、《唐探1900》、《封神第二部：战火西岐》中随机选择一部观看，则他们选择的影片相同的概率为_____．
14. 张老师驾车从甲地匀速行驶到乙地，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系用如图的线段表示，那么一箱汽油可供汽车行驶________小时．
15. 如图，折叠矩形纸片ABCD，，，具体操作：①点E为AD边上一点（不与点A，D重合）．把沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②过点E对折∠DEF，折痕EG所在的直线交DC于点G，D点的对称点为H点．
（1）如图1，若，则DG的长是______．
（2）如图2，若点C恰在射线EF上，连接DH，则线段DH的长是______．
三、解答题（共9题，共75分）
16. 计算：．
17. 如图，点E、F分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形．
18. 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂长为，灯罩长为，底座厚度为．使用时发现：光线最佳时灯罩与水平线所成的角为，求光线最佳时灯罩顶端C到桌面的高度．【参考数据：，，】
19. 春回大地，万物复苏，某中学开展了“趣味自然”知识竞赛．现从该校八、九年级学生中各随机抽取10名学生的知识竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组，A：；B：；C：；D：），下而给出了部分信息：
八年级10名学生知识竞赛成绩分别是：81，85，98，97，90，95，98，83，89，92；
九年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，94，91，93．
八、九年级抽取的学生知识竞赛成绩统计表
九年级抽取的学生知识竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中_______，_______，_______．
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生在“趣味自然”知识竞赛中的成线更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级有550名学生，九年级有600名学生参加了此次知识竞赛，估计该校八、九年级参加此次知识竞赛成绩优秀（）的学生人数是多少？
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求，，的值；
（2）过点作轴，垂足为，求．
21. 如图，点在的边上，，顶点在以为直径的上，过作交的延长线于点，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求阴影部分面积．
22. 如图1，有两面互相垂直且长度均为10米的墙，现要建一个矩形花圃，矩形两边由墙围成，另两边和中间隔离带用篱笆围成，篱笆总长24米，隔离带，均与接触的墙垂直．
（1）若矩形花圃面积为32平方米，求长；
（2）求能围成的矩形花圃的最大面积；
（3）因种植需要，仍利用24米的篱笆将花圃重建成如图2所示的矩形花圃，求能围成的矩形花圃的最大面积．
23. 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．
在矩形中，，，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，其中点E，F分别是点B，C的对应点．
（1）如图1，连接，，则的值为________．
（2）如图2，当点E恰好落在边上，连接交于点O，连接．
①求证：平分；②求证：．
（3）若直线，交于点H，当时，请直接写出的长．
24. 已知抛物线，顶点为C．
（1）求抛物线的对称轴和C点坐标（用含a的式子表示）；
（2）若抛物线与直线分别交于M，N两点，且M，N分别位于y轴两侧，求最大值，及此时抛物线的解析式；
（3）如图，已知矩形的四个顶点分别为，，，，设抛物线与矩形的边界有两个不同的交点分别为P，Q，记（其中和分别表示P，Q的纵坐标），若d满足，直接写出a的取值范围．
曾都区实中教联体2024-2025学年度下学期
九年级第二阶段数学独立作业质量检测
命题人：郝龙辉 作业时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 据统计，2025年1月28日到2月4日，第二十六届哈尔滨冰雪大世界累计接待游客超610000人次，将610000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法为整数，进行表示即可．
详解】解：；
故选C．
2. 下列四幅图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：A、轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
故选：B．
3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：
，
故选：D．
4. 如图，在下列几何体中，主视图与其他3个几何体主视图形状不一样的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三视图的知识，解题的关键是学会观察图形的三视图，进行解答，即可．
【详解】解：A、B、D选项的主视图均为矩形，C选项的主视图为三角形，
故选：C．
5. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A. 了解一批笔芯的使用寿命B. 调查我省中学生的视力情况
C. 了解全国中学生每天运动的时间D. 检测神舟十九号载人飞船的零部件质量情况
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了普查和抽样调查，解题的关键是熟知普查和抽样调查的定义.
根据普查和抽样调查的定义逐项判断即可．
【详解】解：因为了解一批笔芯的使用寿命采用抽样调查，所以A不符合题意；
因为调查我省中学生的视力情况采用抽样调查，所以B不符合题意；
因为了解全国中学生每天运动的时间采用抽样调查，所以C不符合题意；
因为检查神州十九号载人飞船的零部件质量情况采用普查，所以D符合题意．
故选：D．
6. 地理老师介绍到：长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米．小东根据地理老师的介绍，设长江长为x千米，黄河长为y千米，然后通过列、解二元一次方程组，正确地求出了长江和黄河的长度，那么小东列的方程组可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据“长江的长度减去黄河的长度等于836千米，黄河长度乘以6减去长江长度乘以5等于1284千米”列方程组解决问题．
【详解】解：根据题意，得
．
故选：A．
7. 如图，四边形内接于，为直径，点为上一点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理．连接，根据圆周角定理求出，进而求出，然后根据圆内接四边形的对角互补求解即可．
【详解】解：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴，
故选：B．
8. 在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，则点到的距离为（ ）
A. 3B. 4C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查尺规作角平分线，角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
根据题意可得，由作图可得平分，由此可得，由此即可求解．
【详解】解：在中，，过点作于点，如图，
∵，
∴，
由作图可知：平分，
∴，
∴点到的距离为4，
故选：B．
9. 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，点C的坐标是，，则点A的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，能根据题意分别求出及的长是解题的关键．
过点A作的垂线，垂足为M，分别求出及的长即可解决问题．
【详解】解：过点A作的垂线，垂足为M，
，且，
，
又点B的坐标是，点C的坐标是，
，
，
点M的纵坐标为，
则点A的纵坐标为7，
在中，，
则，
点A的坐标为，
故选：D．
10. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线．若是一元二次方程的两个根，且，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程之间的关系，解题的关键会利用对称轴的值求抛物线与轴交点的横坐标间的数量关系，以及二次函数与方程之间的转换和根的判别式的熟练运用．利用函数图象对称轴位置及抛物线与轴交点的位置，分别判断四个结论正确性．
【详解】解：，是一元二次方程的两个根，
、是抛物线与轴交点的横坐标，
抛物线的对称轴为，
，即，故选项错误；
，
，
解得：，故选项正确；
抛物线与轴有两个交点，
，故选项错误；
由对称轴可知，可知，故选项错误．
故选：B．
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 化简：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算的运算法则及运算顺序是解题的关键．
括号内进行通分化简，括号外分子利用平方差公式进行因式分解，分式相乘约去公因式即可得结果．
【详解】解：
故答案为：．
12. 已知反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，则实数k的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数）
【答案】1（答案不唯一）
【解析】
【分析】反比例函数（k为常数，k≠0）的图象在第一，三象限，则，符合上述条件的k的一个值可以是1．（正数即可，答案不唯一）
【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴，
只要是大于0的所有实数都可以．
例如：1．
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查反比例函数图象的性质：（1）时，图象是位于一、三象限；（2）时，图象是位于二、四象限．
13. 春节期间，小明和小亮分别从三部影片《哪吒之魔童降世》、《唐探1900》、《封神第二部：战火西岐》中随机选择一部观看，则他们选择的影片相同的概率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查列表或画树状图法求随机事件的概念，掌握列表或画树状图法把所有等可能结果表示出来是解题的关键．
运用列表或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可求解．
【详解】解：分别记三部影片《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神第二部：战火西岐》为，画树状图如下：
一共有9种等可能的情况，其中他们选择的影片相同有3种等可能的情况，
∴（他们选择的影片相同）．
14. 张老师驾车从甲地匀速行驶到乙地，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系用如图的线段表示，那么一箱汽油可供汽车行驶________小时．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数，设线段：，把点代入，得到，当时，求解即可．
【详解】解：设线段：
把点代入中，得
解得：
当时，
解得：
故答案为：．
15. 如图，折叠矩形纸片ABCD，，，具体操作：①点E为AD边上一点（不与点A，D重合）．把沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②过点E对折∠DEF，折痕EG所在的直线交DC于点G，D点的对称点为H点．
（1）如图1，若，则DG的长是______．
（2）如图2，若点C恰在射线EF上，连接DH，则线段DH的长是______．
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】（1）证△AEB≌△DGE即可；
（2）先证CE=CB=10，从而求出CF=8，则AE=EF=2，DE=8，再证△ABE∽△DEG，得，即可求出DG=，由勾股定理即可求得EG=，最后根据S四边形DGFE=，即可求出DH．
【详解】解：（1）如图1，∵矩形ABCD，
∴AD=BC=10，CD=AB=6，∠A=∠D=90°，
∴DE=AD-AE=10-4=6，
∴DE=AB，
由折叠得：∠AEB=∠BEF，∠DEG=∠HEG，
∴∠AEB+∠BEF+∠DEG+∠HEG=180°，
∴∠AEB+∠DEG=90°，
∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DEG，
∴△AEB≌△DGE（ASA），
∴DG=AE=4，
故答案为：4；
（2）如图2，由折叠可知∠AEB=∠FEB，AE=EF，AB=BF=6，∠BFE=∠A=90°，
∵ADBC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠FEB=∠EBC，
∴CE=CB=10，
∵点C在直线EF上，
∴∠BFC=90°，CF=10-EF=10-AE，
∴CF=，
∴AE=EF=CE-CF=10-8=2，
∴DE=AD-AE=10-2=8，
由（1）知，∠ABE=∠DEG，
又∵∠GDE=∠A=90°，
∴△ABE∽△DEG，
∴，即，
∴DG=，
∴EG=，
由折叠可知，EG垂直平分线段DH，
∴S四边形DGFE=，
∴，
∴，
∴DH=．
故答案为：．
【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，本题属矩形折叠问题，属中考试常考题型．
三、解答题（共9题，共75分）
16. 计算：．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，先算负整数指数幂，算术平方根，有理数的乘方，再算加减即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：
．
17. 如图，点E、F分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定和性质、菱形的定义．证明，得到，即可证明四边形是菱形．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
18. 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂长为，灯罩长为，底座厚度为．使用时发现：光线最佳时灯罩与水平线所成的角为，求光线最佳时灯罩顶端C到桌面的高度．【参考数据：，，】
【答案】光线最佳时灯罩顶端到桌面的高度为．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，过点作，由题意得：，，，根据解直角三角形求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：过点作，如图：
由题意得：，，，
∵灯罩长为，光线最佳时灯罩与水平线所成的角为，即，
，即三角形为直角三角形，
，
，
，
答：光线最佳时灯罩顶端到桌面的高度为．
19. 春回大地，万物复苏，某中学开展了“趣味自然”知识竞赛．现从该校八、九年级学生中各随机抽取10名学生的知识竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组，A：；B：；C：；D：），下而给出了部分信息：
八年级10名学生的知识竞赛成绩分别是：81，85，98，97，90，95，98，83，89，92；
九年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，94，91，93．
八、九年级抽取的学生知识竞赛成绩统计表
九年级抽取的学生知识竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中_______，_______，_______．
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生在“趣味自然”知识竞赛中的成线更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级有550名学生，九年级有600名学生参加了此次知识竞赛，估计该校八、九年级参加此次知识竞赛成绩优秀（）的学生人数是多少？
【答案】（1），，
（2）九年级，理由见详解
（3）估计人
【解析】
【分析】本题考查了众数和中位数的定义，并利用众数和中位数进行决策，样本估计总体等；
（1）九年级10名学生的竞赛成在组中的数据个数为，即可求出，由中位数的定义得中间两个数为91，93，即可求出，由众数的定义可求，即可求解；
（2）比较中位数，即可求解；
（3）先求出八年级10名学生的知识竞赛成绩中优秀所占百分比，由样本估计总体，即可求解；
理解中位数、众数的定义，能用中位数、众数进行决策，会用样本估计总体是解题的关键．
【小问1详解】
解：九年级10名学生的竞赛成在组中的数据个数为：
，
；
将九年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据从小到大排列为：
90，91，93，94．
九年级10名学生的竞赛成绩的中间两个数为91，93，
；
八年级10名学生的知识竞赛成绩最多的是，
，
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：九年级；
理由：平均成绩相同，而八年级成绩的中位数为分低于九年级成绩的中位数分；
【小问3详解】
解：八年级10名学生知识竞赛成绩中优秀所占百分比为：
，
（人），
答：估计该校八、九年级参加此次知识竞赛成绩优秀（）的学生人数人．
20. 如图，一次函数图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求，，的值；
（2）过点作轴，垂足为，求．
【答案】（1），，
（2）10
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，求三角形的面积，解题的关键是熟练掌握待定系数法和利用坐标求图形面积．
（1）利用待定系数法求出反比例函数的解析式，利用解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）利用坐标表示出三角形的底和高，利用面积公式求解即可．
【小问1详解】
解：将代入得，
，
∴，
将代入反比例函数解析式得，
，
∴，
将和代入得，
，解得，，
∴，
，，；
【小问2详解】
解：根据点B的坐标可得,
∴的值为10．
21. 如图，点在的边上，，顶点在以为直径的上，过作交的延长线于点，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求阴影部分面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，再根据，证明，即可证明，即可证明结论；
（2）根据特殊角的三角函数值得到，求出，分别求出和和的面积即可得到答案，
【小问1详解】
证明：连接，
，
，
，，
，
，
，
，点在上，
故是的切线；
【小问2详解】
解：，为的直径，
，
，
，
，
且，
，
，
，
，
令半径为，
，
，
，
过点作于点，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查圆的性质，切线的性质，特殊角的三角函数值，以及扇形的面积公式，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
22. 如图1，有两面互相垂直且长度均为10米的墙，现要建一个矩形花圃，矩形两边由墙围成，另两边和中间隔离带用篱笆围成，篱笆总长24米，隔离带，均与接触的墙垂直．
（1）若矩形花圃面积为32平方米，求长；
（2）求能围成的矩形花圃的最大面积；
（3）因种植需要，仍利用24米的篱笆将花圃重建成如图2所示的矩形花圃，求能围成的矩形花圃的最大面积．
【答案】（1）长4米或8米
（2）矩形花圃的最大面积为36平方米
（3）矩形花圃的面积最大值为70平方米
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）设米，根据矩形面积可得，求解即可获得答案；
（2）设米，矩形花圃面积为平方米，根据题意可得关于的二次函数解析式，然后根据二次函数的性质即可获得答案；
（3）设米，矩形花圃面积为平方米，根据题意确定的取值范围，然后建立关于的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可获得答案．
【小问1详解】
解：设米，
根据题意可得，
解得，，
答：长4米或8米；
【小问2详解】
设米，矩形花圃面积为平方米，
根据题意，可知，
当时，此时，，有最大值36，
所以，矩形花圃的最大面积为36平方米；
【小问3详解】
设米，矩形花圃面积为平方米，
则有，
∴，
∴，
∴当时，矩形花圃的最大值为70平方米．
23. 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．
在矩形中，，，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，其中点E，F分别是点B，C的对应点．
（1）如图1，连接，，则的值为________．
（2）如图2，当点E恰好落边上，连接交于点O，连接．
①求证：平分；②求证：．
（3）若直线，交于点H，当时，请直接写出的长．
【答案】（1）；
（2）①证明见解析；②证明见解析；
（3）的长为或
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质得到，，，求得，根据相似三角形的性质得到；
（2）①过点作于点，由旋转可知，得到，根据
平行线的性质得到，推出平分；
②根据角平分线的性质得到，由旋转可知，，根据全等三角形的性质得到；
（3）根据旋转的性质得到，求得，得到，得到为等边三角形，同理为等边三角形，如图2，根据三角函数的定义得到，如图3，同理可得，得出．
【小问1详解】
解：由旋转的性质知，，，，
，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
证明： ①由旋转可知，，
，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
②如图，过点作于点，
∵四边形是矩形，
∴，
又∵，平分，
∴，
由旋转可知，，
∴，
在和中，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由旋转得，
∴．
∵，
∴，在四边形中，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵
∴为等边三角形，
∴，
如图，令与的交点为，
，
∴，
，
∴，
，
如图，
同理可得，
∴
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键．
24. 已知抛物线，顶点为C．
（1）求抛物线的对称轴和C点坐标（用含a的式子表示）；
（2）若抛物线与直线分别交于M，N两点，且M，N分别位于y轴两侧，求的最大值，及此时抛物线的解析式；
（3）如图，已知矩形的四个顶点分别为，，，，设抛物线与矩形的边界有两个不同的交点分别为P，Q，记（其中和分别表示P，Q的纵坐标），若d满足，直接写出a的取值范围．
【答案】（1），；
（2）
（3）或或或．
【解析】
【分析】（1）把解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）设，联立两函数解析式得，则，根据两点距离计算公式得到，，则，据此求解即可；
（3）由顶点C的坐标可知顶点C在直线上运动，随着a值的变化，抛物线相当于沿着直线进行平移；再分如解析图所示五种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，顶点C的坐标为；
【小问2详解】
解：设，
联立得，
∴，
∵，，
∴，
∴当，即时有最大值，
∴此时抛物线解析式为；
【小问3详解】
解：∵顶点C的坐标为，
∴顶点C在直线上运动，
∴随着a值的变化，抛物线相当于沿着直线进行平移；
如图3-1所示，当抛物线恰好经过点G时，则，解得或（舍去），
∴此时点C的坐标为，即点C与点G重合，故此时抛物线与矩形只有一个交点；
如图3-2所示，当抛物线恰好经过点D时，则，解得或，
∴当时，抛物线与矩形有两个交点，这两个交点分别在上，
在中，当时，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴或（舍去），
又∵，
∴；
当时，抛物线解析式为，则此时抛物线与y轴的交点坐标为，
∴当时，抛物线同时经过点E和点G，
如图3-3所示，当时，抛物线与矩形有两个交点，这两个交点分别在上，
在中当时，，
∵，
∴，
∵，
∴当，即时有，解得；
当，即时，有，解得；
∴或；
如图3-4所示，当时，抛物线与矩形有两个交点，这两个交点分别在上，
∵，
∴，
∵，
∴
解得或，
∴；
当，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；
综上所述，或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，矩形的性质，两点距离计算公式，一次函数与几何综合，解题的关键在于利用分类讨论的思想求解．
年级
八年级
九年级
平均数
中位数
91
b
众数
c
97
年级
八年级
九年级
平均数
中位数
91
b
众数
c
97