中考数学专题08 圆与几何综合问题（原卷版+解析版）

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【思维导图】
二、【考点类型】
考点1：切线的判定
典例1：（2023·广西柳州·统考模拟预测）如图，在中，，以为直径的分别交边于点D、F．过点D作于点E
(1)求证：是的切线；
(2)若半径为5，且，求的长．
【变式1】（2023秋·河南信阳·九年级统考期末）如图，是⊙O的直径，四边形内接于⊙O，D是的中点，交的延长线于点E．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若，，求的长．
【变式2】（2021·辽宁锦州·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．
【变式3】（2023·四川泸州·统考一模）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，求的半径和的长．
考点2：与线段有关的问题
典例2：（辽宁省大连市金普新区2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷）如图，以的边为直径作交于且，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【变式1】（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，连接、，交于点．
求证：
(1)；
(2)．
【变式2】（2022·江西萍乡·校考模拟预测）如图，是的外接圆，，，P是上的一动点．
(1)当的度数为多少时，；
(2)若以动点P为切点的切线为，那么当的度数为多少时，切线与一边平行？
【变式3】（2023春·安徽合肥·九年级合肥寿春中学校考阶段练习）如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径、以及上，并且．
(1)若，求的长度；
(2)若半径是5，求正方形的边长．
考点3：与角度有关的问题
典例3：（2022·北京·统考中考真题）如图，是的直径，是的一条弦，连接
(1)求证：
(2)连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线．
【变式1】（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在中，，以为直径作⊙，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点．
(1)求证：；
(2)若，，求及的长．
【变式2】（2021·北京·统考中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，于点．
（1）求证：；
（2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长．
【变式3】（2020·上海·统考中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC=2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长．
考点3：与三角函数有关的计算
典例3：（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若，，求AB的长．
【变式1】（2020·广西柳州·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，连接CD、AD，AD与BC交于点F，CG与BA的延长线交于点G．
（1）求证：△ACD∽△CFD；
（2）若∠CDA＝∠GCA，求证：CG为⊙O的切线；
（3）若sin∠CAD＝，求tan∠CDA的值．
【变式2】（2020·北京·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC=∠AOF；
（2）若sinC=，BD=8，求EF的长．
【变式3】（2022·四川成都·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在弧BC上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HG=HF，延长HF交AB的延长线于点M．
(1)求证：HF是⊙O的切线；
(2)若，BM=1，求AF的长．
巩固训练
一、单选题
1．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，则＝( )
A．B．C．D．
2．（2023春·九年级课时练习）已知过正方形顶点，，且与相切，若正方形边长为，则圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
3．（2017·山东青岛·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为( )
A．100°B．110°C．115°D．120°
4．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA， 垂足为D．且DC＋DA＝12， ⊙O的直径为20，则AB的长等于( )
A．8B．12C．16D．18
5．（2018秋·湖北武汉·九年级统考期中）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于E，∠E＝30°，交AB于点D，连接AE，则S△ADC∶S△ADE的比值为（ ）
A．B．C．D．1
6．（2022春·九年级课时练习）如图，圆的两条弦相交于点和的延长线交于点，下列结论中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2020秋·广东汕尾·九年级校考阶段练习）如图，内接于，若的半径为6，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022秋·北京西城·九年级北京四中校考期中）如图，的半径是1，点是直线上一动点，过点作的切线，切点为A，连接，，则的最小值为（ ）．
A．B．1C．D．
9．（2020·江苏徐州·统考中考真题）如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
10．（2022秋·重庆江北·九年级重庆十八中校考期末）如图，是的直径，点D在的延长线上，，与相切于点E，与相切于点B交的延长线于点C，若的半径为1，的长是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，以AB为直径作半圆⊙O，C是半圆的中点，P是上一点，AB＝，PB＝1，则PC的长是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022春·九年级课时练习）如图，经过A、C两点的⊙O与△ABC的边BC相切，与边AB交于点D，若∠ADC＝105°，BC＝CD＝3，则AD的值为（ ）
A．3B．2C．D．
13．（2022秋·山东临沂·九年级校考期中）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（ ）
A．55°B．45°C．35°D．25
14．（2022春·九年级课时练习）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．2B．3C．4D．3
15．（2018·四川宜宾·统考中考真题）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A．B．C．34D．10
16．（2021秋·江苏南京·九年级校联考阶段练习）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（ ）
A．1B．﹣2C．2﹣1D．3
17．（2018·山东泰安·统考中考真题）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．6D．8
18．（2022春·九年级课时练习）如图，是的直径，分别是的中点，在上．下列结论：①；②；③四边形是正方形；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
19．（2021秋·浙江杭州·九年级期末）如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
20．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE＝1，F为射线BC上一动点，过点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G．则下列结论中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，则PC＝PE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为﹣2．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
21．（2022春·九年级课时练习）如图，的半径为内接于于点D，，则长度为_________．
22．（2022春·九年级课时练习）如图，的边BC与相切于点B，AD为的直径，若，则CD的长为________.
23．（2021秋·湖南长沙·九年级校考阶段练习）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E．F．且AB＝5，AC＝12，BC＝13，则⊙O的半径是_____．
24．（2014·湖南岳阳·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，BC，作∠APC的平分线交AC于点D．下列结论正确的是__（写出所有正确结论的序号）
①；
②若∠A=30°，则PC=BC；
③若∠CPA=30°，则PB=OB；
④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP为定值．
25．（2015秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，点P在双曲线y=上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，E为y轴负半轴上的一点，PF⊥PE交x轴于点F，则OF－OE的值是___________．
26．（2022春·全国·九年级专题练习）△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为______．
27．（2018·山东济南·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点， 的圆心分别在边AB、CD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则E、F间的距离为 ．
28．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，P是矩形ABCD内一点，，，，则当线段DP最短时， ________．
29．（2020秋·浙江金华·九年级校考期中）图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，已知AB⊥PQ，AP＝AQ＝20cm，AB＝120cm，点A在中轴线l上运动，点B在以O为圆心，OB长为半径的圆上运动，且OB＝35cm，
（1）如图3，当点B按逆时针方向运动到B´时，，则＝_____cm．
（2）在点B的运动过程中，点P与点O之间的最短距离为_____cm．
30．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌鲁木齐市第九中学校考期中）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，半径为5的⊙O经过点C，CE是圆O的切线，且圆的直径AB在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点（不含端点），则ODCD的最小值为 _____．
三、解答题
31．（2022春·九年级课时练习）如图，线段AB经过的圆心O，交圆O于点A，C，，AD为的弦，连接BD，，连接DO并延长交于点E，连接BE交于点M．
(1)求证：直线BD是的切线；
(2)求线段BM的长．
32．（2022·江苏无锡·统考一模）如图，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，DC=4，AD=2，AB=BC，以AB为直径的圆O交BC于点E．
(1)求圆⊙的半径；
(2)用无刻度的直尺在DC边上作点M，使射线BM平分∠ABC，并求的值．
33．（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）如图，已知直线交于A、B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的直径为20，求的长度．
34．（2023·全国·九年级专题练习）如图，圆内接四边形，，点E是边上一点，且平分
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求的长．
35．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是半圆的直径，是半圆的切线（即圆的切线）．连接，交半圆于点，连接．过点作直线，且．
(1)求证：直线是半圆的切线；
(2)求证：点是线段的中点；
(3)若，，求线段的长．
36．（2022·广西北海·统考一模）如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的一个动点，以CD为直径的⊙O交AD于点E，过点C作CFAB，交⊙O于点F，连接CE、EF．
(1)当∠CFE＝45°时，求CD的长；
(2)求证：∠BAC＝∠CEF；
(3)是否存在点D，使得CFE是以CF为底的等腰三角形，若存在，求出此时CD的长；若不存在，试说明理由．
37．（2023秋·广东广州·九年级期末）如图，在Rt中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的分别交，于点E，F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
38．（2022秋·湖南长沙·九年级校考阶段练习）如图，AB是的直径，点D、E在上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得．
（1）求证：AC是的切线；
（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F，
①求证：CA=CF；
②若的半径为3，BF=2，求AC的长．
39．（2021春·九年级课时练习）如图，四边形内接于，对角线，垂足为，于点，直线与直线于点．
（1）若点在内，如图1，求证：和关于直线对称；
（2）连接，若，且与相切，如图2，求的度数．
40．（2022春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图，内接于中，弦BC交AD于点E，连接CD，交CD的延长线于点G，BG交于点H，．
(1)如图1，求证：DB平分；
(2)如图2，于点N，CN＝CG，求证：AN＝HG；
(3)如图3．在（2）的条件下，点F在AE上，连接BF、CF，且，，BC＝5．求AE的长．