中考数学专题05 六大常考全等模型（原卷版+解析版）

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①模型一：平移模型
②模型二：轴对称（翻折）模型
③模型三：一线三等角模型（K字型）
直角一线三等角
④模型四：不共点旋转模型
⑤模型五：共顶点旋转模型（手拉手模型）
⑥模型六：半角模型（特殊的旋转模型）
二、【考点类型】
考点1：平移模型
典例1：（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
(2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
【变式1】（2023秋·福建福州·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．求证：．
考点2：轴对称（翻折）模型
典例2：（2022·湖南长沙·统考中考真题）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．
(1)求证：△ABC≌△ADC；
(2)若AB=4，CD=3，求四边形ABCD的面积．
【变式1】（2022·广西百色·统考二模）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD．
(1)AB＝DC；
(2)△ABC≌△DCB．
考点3：一线三等角模型（K字型）
典例3：（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，中，，且点为边的中点．将绕点旋转，在旋转过程中，射线与线段相交于点，射线与射线相交于点，连结．
(1)如图1，当点在线段上时，
①求证：∽；
②线段，，之间存在怎样的数量关系？请说明理由；
(2)当为等腰三角形时，求的值．
【变式1】（2022秋·黑龙江绥化·八年级校考期中）在中，，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时．
①请说明的理由；
②请说明的理由；
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，、、具有怎样的等量关系?请写出等量关系，并予以证明．
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，、、具有怎样的等量关系?请直接在横线上写出这个等量关系：________．
【变式2】（2022秋·河北邯郸·八年级校考期中）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．
(1)当时，_______，_______，_______；点D从B向C运动时，逐渐变_______（填“大”或“小”）；
(2)当DC等于多少时，，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数，若不可以，请说明理由．
∴，
【变式3】（2022秋·八年级课时练习）如图，中，，则点B的坐标为________．
考点4：不共顶点旋转模型
典例4：（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，点在一条直线上，．
(1)求证：；
(2)若，求的长度．
【变式1】（2023春·山东济南·九年级校联考期中）如图，，是的对角线上两点，且，求证：．
【变式2】（2022·福建泉州·校考三模）在平行四边形中，、分别是、上的点，且．求证：．
考点5：共顶点旋转模型（手拉手模型）
典例5：（2022秋·八年级课时练习）在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确的是_________．
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝ ，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
（深入探究）
（3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，则有S1 S2（填“＞、＝、＜”）
【变式2】（2020·江苏徐州·统考中考真题）如图，，，．，与交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【变式3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在、中，，，设．连接，以、为邻边作，连接．
(1)若，当、分别与、重合时（图1），易得．当绕点顺时针旋转到（图2）位置时，请直接写出线段、的数量关系________；
(2)若，当绕点顺时针旋转到（图3）位置时，试判断线段、的数量关系，并证明你的结论；
(3)若为任意角度，，，，绕点顺时针旋转一周（图4），当、、三点共线时，请直接写出的长度．
考点6：半角模型
典例6：（2019·全国·九年级专题练习）如图所示，是边长为1的等边三角形，是顶角的等腰三角形，以为顶点作一个的角，角的两边交、于、，连结，求周长.
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图，在四边形中，，，分别是，上的点，连接，，．
（1）如图①，，，．求证：；

（2）如图②，，当周长最小时，求的度数；
（3）如图③，若四边形为正方形，点、分别在边、上，且，若，，请求出线段的长度．
【变式2】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____．
【变式3】．（2020·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，四边形中，，为上一点，连接，，，若，则线段的长为_______．
巩固训练
一、单选题
1．（2022秋·河北唐山·八年级统考期中）如图，，下列条件中不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图所示的是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．若cm，cm，cm，则图中阴影部分面积为（ ）
A．47cm2B．48 cm2C．49 cm2D．50 cm2
3．（2023秋·江苏盐城·八年级统考期末）如图，已知，要使，再添加一个条件（ ）
A．B．C． D．
4．（2023春·广东深圳·七年级校考阶段练习）如图，，，，下列条件中不能证明的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考开学考试）如图，四边形是菱形，M，N分别是，两边上的点，不能保证和一定全等的条件是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023秋·湖北随州·八年级统考期末）如图，点，分别在线段，上，已知，现添加以下的哪个条件仍不能判定（ ）
A．B．
C．，D．
线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（ ）
A．3B．2C．D．
8．（2022秋·八年级课时练习）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）
A．36B．21C．30D．22
9.（2022春·湖北宜昌·九年级专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分别为BC、CD上一点，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．则BE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（2022秋·八年级课时练习）如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（ ）
A．∠AOB=60°B．AP=BQ
C．PQ∥AED．DE=DP
11.（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形中，，为上一点，为的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．C． D．
12．（2019·浙江杭州·统考三模）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2D．5cm2
13．（2022秋·福建宁德·九年级校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OG、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF＝90°，BO、EF交于点P．则下列结论中：
（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；（3）BE+BF＝OA；（4）AE2+CF2＝2OP•OB．
正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
14.（2022春·广东江门·九年级江门市怡福中学校考阶段练习）如图，正方形和正方形的顶点，，在同一条直线上，顶点，，在同一条直线上，是的中点，的平分线过点，交于点，连接交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
15.（2022秋·广东深圳·九年级校考期中）如图，点M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上的两个动点，在运动过程中保持∠MAN＝45°，连接EN、FM相交于点O，以下结论：①MN＝BM+DN；②BE2+DF2＝EF2；③BC2＝BF•DE；④OM＝OF（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
二、填空题
16．（2022秋·江苏南京·八年级南京市第二十九中学校考阶段练习）如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算的长为______．
17.（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，中，，D，E，F分别为边，，上的点，.若，则______.
18．（2023秋·福建宁德·八年级统考期末）如图，在等腰中，，D为内一点，且，若，则的面积为________．
19.（2021·全国·九年级专题练习）在中，，点在边上，．若，则的长为__________．
20.（2022秋·山东济南·九年级统考期中）如图，正方形的边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则k的值为_______．
21．（2023·全国·九年级专题练习）如图，为AD上的中点，则BE＝______．
22.（2022秋·山东滨州·九年级统考期中）如图，点P是在等边内一点，，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．下列结论：①可以看作由绕点A逆时针旋转得到；②线段；③四边形的面积为；④．正确的是______（只填序号）．
三、解答题
23．（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，B是线段AC的中点，，求证：．
24．（2023秋·云南楚雄·八年级统考期末）如图所示，在四边形中，，，连接．求证：．
25．（2022秋·陕西安康·八年级统考期中）如图，在中，，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，连接DE、DF、EF，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)当时，求的度数．
26．（2023秋·四川广安·八年级统考期末）如图，在中，，，D是边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接，作，与相交于点E．
(1)当时，求证：；
(2)当是等腰三角形时，求的度数．
27.（2022秋·广东汕尾·八年级华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）如图，点，在上，且，，，与交于点．求证： ．
28．（2023·山东泰安·校考模拟预测）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：
(1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．
(2)如图3，在中，D是上一点，
，求点C到边的距离．
(3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若
，求 的值．
29．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P是BC上一点，且BP＝2，将一个大小与∠B相等的角的顶点放在P点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E．
(1)求证：△BPD∽△CEP；
(2)是否存在这样的位置，△PDE为直角三角形？若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由．
30．（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，AC，BD相交于点O．
(1)求边AB的长；
(2)求∠BAC的度数；
(3)如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF．判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由．