中考数学专题02 反比例函数与几何综合问题（原卷版+解析版）

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（1）平面直角坐标系中对称点的坐标特征
平面直角坐标系内有一点P（a，b）
点P（a，b）关于x轴的对称点（a，-b）
点P（a，b）关于y轴的对称点（-a，b）
点P（a，b）关于原点的对称点（-a，-b）
点P（a，b）关于y=x的对称点（b，a）
点P（a，b）关于y=-x的对称点（-b，-a）
（2）反比例函数k的几何意义常见模型
备注：熟练运用几大模型：①一点一垂线②一点两垂线③两点一垂线④两点两垂线⑤两点也原点
反比例函数几何综合解法技巧：设点的坐标，利用点的对称关系，表示其他点的坐标；并通过点的坐标表示线段长度，通过面积构建方程，解方程。
二、【考点类型】
考点1：反比例函数与直线结合
典例1：（2022·安徽马鞍山·校考一模）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据图象过点，坐标满足函数解析式，再根据对称性求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象过点
∴，
∵正比例函数的图象与反比例函数的图象都是关于原点成中心对称，
∴关于原点成中心对称，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点，图象的对称性是解题的关键．
【变式1】（2022春·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线（，m为常数）与双曲线（，k为常数）交于点A，B，若，过点A作轴，垂足为M，连接，则的面积是（ ）
A．2B．C．3D．6
【答案】C
【分析】根据反比例的图象关于原点中心对称得到点A与点B关于原点中心对称，则，，代入解析式求得，然后根据反比例函数系数k的几何意义即可得到，进一步得出．
【详解】解：∵直线（，m为常数）与双曲线（，k为常数）交于点A，B，
∴点A与点B关于原点中心对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵轴，垂足为M，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．
【变式2】（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，得到，利用整体思想代入，求值即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，
∴，
∴，
∴
；
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，以及分式求值．熟练掌握交点坐标同时满足反比例函数解析式和一次函数解析式，利用整体思想，进行求值，是解题的关键．
【变式3】（2021·四川内江·统考中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图像相交于、两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足的的取值范围；
（3）若点在线段上，且，求点的坐标．
【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数为；（2）或；（3），．
【分析】(1) 将A点坐标代入反比例函数求得，再将B点代入反比例函数求得n，再把A 、B两点坐标代入一次函数求得从而得出两函数解析式；
(2)观察图案结合（1）题求得A、B两点坐标即可求出所求x的范围；
(3)连接BO、AO，则△AOP和△BOP高相同，面积之比就是底边长度之比，因此BP：AP=4：1，再用AB之间横坐标差值按比例分配求得P点横坐标，再把横坐标代入一次函数求得纵坐标从而求出P点坐标.
【详解】解：（1）反比例函数经过，
，
反比例函数为，
在比例函数的图象上，
，
，
直线经过，，
，解得，
一次函数的解析式为；
（2）观察图象，的的取值范围是或；
（3）设，
，
，
即，
，
解得，（舍去），
点坐标为(，)．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，涉及了待定系数法，函数与不等式，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用.
考点2：反比例函数与特殊三角形结合
典例2：（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y=(x>0)的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为______．
【答案】
【分析】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，设OC=x，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得点B(x，x)，点A(15-2x，2x-5)，再利用反比例函数的性质列方程，解方程即可求解．
【详解】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图：
∵△OMN是边长为10的等边三角形，
∴OM=MN=ON=10，∠MON=∠MNO=∠M=60°，
∴∠OBC=∠MAB=∠NAD=30°，
设OC=x，则OB=2x，BC=x，MB=10-2x，MA=2MB=20-4x，
∴NA=10-MA=4x-10，DN=NA=2x-5，AD=DN=(2x-5)= 2x-5，
∴OD=ON-DN=15-2x，
∴点B(x，x)，点A(15-2x，2x-5)，
∵反比例函数y=(x>0)的图象与边MN、OM分别交于点A、B，
∴x•x=(15-2x)( 2x-5)，
解得x=5(舍去)或x=3，
∴点B(3，)，
∴k= 9．
故答案为：9．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【变式1】（2022·安徽合肥·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在第一象限，且OAB为等边三角形，若反比例函数y=在第一象限的图象经过边AB的中点，则k的值为___________
【答案】
【分析】设AB中点为D，分别过B、D作BN⊥OA、DM⊥OA，根据等边三角形的边长为4，利用等边三角形的性质，算出OM和DM的长，从而得出点D的坐标，即可得出k的值．
【详解】设AB中点为D，分别过B、D作BN⊥OA、DM⊥OA，垂足分别为N、M如图所示：
∵OA=4，△OAB为等边三角形，
∴AB=OA=OB=4，，
∵BN⊥OA，
∴ON=AN=2，BN=2，
∵DM⊥OA，
∴，
∴，
∵点D为AB的中点，
∴，
∴DM=，AM=1，
∴OM=OA-AM=4-1=3，
∴D（3，），
∴k=3×=3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，求反比例函数关系式和平行线分线段成比例定理，作出相应的辅助线是解题的关键．
【变式2】（2020·吉林长春·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，函数y=(k＞0，x＞0)的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM=2MA，若AB=3，那么点N的横坐标为( )
A．B．C．4D．6
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质和已知条件，可求出OM，通过做垂线，利用解直角三角形，求出点M的坐标，进而确定反比例函数的关系式；用直线AB的关系式与反比例函数的关系式组成方程组，解出x的值即可．
【详解】过点N、M分别作NC⊥OB，MD⊥OB，垂足为C、D，
∵△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=3，∠AOB=∠ABO=60°，
又∵OM=2MA，
∴OM=2，MA=1，
在Rt△MOD中，∠OMD=90-∠MOD =30°，
OD=OM=1，MDOD，
∴点M的坐标为 (1，)，
∴反比例函数的关系式为：y=，
设OC=a，则BC=3-a，NC=，
在Rt△BCN中，∠BNC=90-∠NBC =30°，
∴NC=BC，
∴= (3-a)，
解得：， (舍去)，
∴点N的横坐标为，
故选：B．
【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了等边三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、待定系数法求函数的表达式、反比例函数图象上点的坐标特征，求得交点坐标是解题的关键．
【变式3】（2023秋·河南许昌·九年级校考期末）已知点在反比例函数的图象上，点在轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则点坐标为______．
【答案】或或
【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．
【详解】解：当时，过点A作，垂足为C，
∵，设，
∴，
解得：或或（舍）或（舍），
代入计算可得：或，
∴点B的坐标为或；
当时，
∵腰长为5，
∴，
∴点B坐标为；
当时，
∵腰长为5，
∴，
∴点B坐标为；
综上：点B的坐标为或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当时，求出点的坐标是解题的关键．
考点3：反比例函数与特殊四边形结合
典例3：（2022春·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，反比例函数点，是该反比例函数图象上的另外两点，且点与点，点与点关于原点对称．若已知四边形为矩形，，且矩形的面积为18，则的值为___________．
【答案】
【分析】利用矩形面积以及长宽的关系，找出关系式，再利用完全平方公式算出．
【详解】解：由题意可知，设点为，，，反比例函数
，，即
，
，
，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了反比例函数，勾股定理，完全平方公式，解题关键是利用矩形的面积及长宽关系找出关系式．
【变式1】（2020·福建漳州·统考二模）如图，在直角坐标系中，四边形OABC为菱形，OA在x轴的正半轴上，∠AOC=60°，过点C的反比例函数的图象与AB交于点D，则△COD的面积为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】B
【分析】易证S菱形ABCO=2S△CDO，再根据tan∠AOC的值即可求得菱形的边长，即可求得点C的坐标，可得菱形的面积和结论．
【详解】解：作DF∥AO，CE⊥AO，
∵∠AOC=60°，
∴tan∠AOC=，
∴设OE=x，CE=x，
∴x•x=4，
∴x=±2，
∴OE=2，CE=2，
由勾股定理得：OC=4，
∴S菱形OABC=OA•CE=4×2=8，
∵四边形OABC为菱形，
∴AB∥CO，AO∥BC，
∵DF∥AO，
∴S△ADO=S△DFO，
同理S△BCD=S△CDF，
∵S菱形ABCO=S△ADO+S△DFO+S△BCD+S△CDF，
∴S菱形ABCO=2（S△DFO+S△CDF）=2S△CDO=8，
∴S△CDO=4；
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的性质，三角函数的定义，考查了菱形面积的计算，本题中求得S菱形ABCO=2S△CDO是解题的关键．
【变式2】（2022·福建漳州·九年级统考期末）如图，反比例函数（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为【 】
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．
【详解】由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，
则，
过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S□ONMG=|k|．
又∵M为矩形ABCO对角线的交点，
∴S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|，
∵函数图象在第一象限，k＞0，
∴．
解得：k=3．
故选C．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
【变式3】（2022·山东济南·统考模拟预测）正方形ABCD的边长为4，AC，BD交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示．
（1）如图（1），双曲线y＝过点E，完成填空：点C的坐标是 ，点E的坐标是 ，双曲线的解析式是 ；
（2）如图（2），双曲线y＝与BC，CD分别交于点M，N．求证：；
（3）如图（3），将正方形ABCD向右平移m（m＞0）个单位长度，使过点E的双曲线y＝与AB交于点P．当AEP为等腰三角形时，求m的值．
【答案】（1）(4，4)，(2，2)，；（2）见解析；（3）2或2+2
【分析】（1）根据正方形的边长可确定C点的坐标，再利用正方形的性质得出E点坐标，用待定系数法求出双曲线解析式即可；
（2）设出M点和N点的坐标，根据坐标的性质得出MC＝NC，推出∠CMN＝∠CDB即可得出MN∥BD；
（3）根据E点的坐标求出AE的长，再分三种情况讨论分别求出m的值即可．
【详解】解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，AC，BD交于点E，
∴C（4，4），E（2，2），
将E点坐标代入双曲线y＝，
得2＝，
解得k1＝4，
∴双曲线的解析式为y＝，
故答案为：（4，4），（2，2），；
（2）∵双曲线y＝与BC，CD分别交于点M，N，
∴设M（m，4），N（4，n），
∴4m＝4n，
∴m＝n，
∴MC＝NC，
由正方形可知，∠BCD＝90°，
∴∠CMN＝45°，∠CBD＝45°，
∴∠CMN＝∠CBD，
∴MN∥BD；
（3）∵正方形边长为4，
由（1）知E（2，2），
∴AE＝，
①当AP＝AE＝2时，
∵P（m，2），E（m+2，2），点P、E在反比例函数图象上，
∴2m＝2（m+2），
∴m＝2+2；
②当EP＝AE时，点P与点B重合，
∵P（m，4），E（m+2，2），点P、E在反比例函数图象上，
∴4m＝2（m+2），
∴m＝2；
③
当EP＝AP时，
即
当EP＝AP时，点P、E不可能都在反比例函数图象上，故此情况不存在；
综上所述，满足条件的m的值为2或2+2．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，正方形的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
巩固训练
一、单选题
1．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是（ ）
A．B．C．3D．5
【答案】C
【分析】过点作轴于点，设点的坐标为，点的坐标为，从而可得，再将点的坐标分别代入两个函数的解析式可得，然后根据平行四边形的面积公式即可得．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
设点的坐标为，点的坐标为，
则，
将点代入函数得：，
将点代入函数得：，
则平行四边形的面积是，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合、平行四边形的面积公式，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
2．（2021秋·广东佛山·九年级佛山市第四中学校考阶段练习）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点A，轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，下列结论错误的是（ ）
A．与的面积相等
B．当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点
C．
D．只有当四边形OCPD为正方形时，四边形PAOB的面积最大
【答案】D
【分析】设，，根据反比例函数的性质，分别得，，，，通过计算即可得与的面积相等；设，根据反比例函数、坐标的性质计算，即可判断选项B和C；根据四边形PAOB的面积=四边形OCPD面积--的关系计算，推导得四边形PAOB的面积，即可完成求解．
【详解】设，
根据题意，得：，，，，
∴，
∴与的面积相等，即选项A正确；
设
∵轴
∴
∵点A是PC的中点，
∴
∴
∴
∵轴
∴点的纵坐标为：
∴
∴，即当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点，即选项B正确；
∵
∵轴
∴
∵轴
∴点的纵坐标为：
∴
∴，
∴，即选项C正确；
根据题意，四边形PAOB的面积=四边形OCPD面积--=四边形OCPD面积-1；
四边形OCPD面积
∴四边形PAOB的面积，即无论四边形OCPD是否为正方形，四边形PAOB的面积均为
∴选项D不正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，从而完成求解．
3.（2022秋·吉林长春·九年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是（0，），直线与反比例函数（）的图象交于点D，过点A作轴与反比例函数的图象相交于点C，若，则k的值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】设直线的函数解析式为，将点A、B代入确定直线解析式，过点D作轴于E，根据相似三角形的判定可得，得出，进而可得D点坐标，再代入反比例函数解析式计算求值即可；
【详解】解：设直线的函数解析式为，将点A、B代入得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
∴过点D作轴于E，
∵点A的坐标是，点B的坐标是（0，），
∴，,
∴，
∵AC⊥x轴，
∴C点横坐标，
∴，即，
∴，
∵DE⊥x轴，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得：（舍去）或，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键．
4．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，已知点A是一次函数的图像与反比例函数的图像在第一象限内的交点，轴于点B，点C在x轴的负半轴上，且，的面积为，则的长为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】先确定反比例函数解析式为，联立方程组，确定点，得到，计算，利用勾股定理得，计算即可．
【详解】∵的面积为，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∴，
解得，
∴点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点，勾股定理，熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理是解题的关键．
5.（2021·湖北武汉·九年级专题练习）已知点A是双曲线y＝在第一象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝（x＞0）上运动，则k的值是（ ）
A．3B．C．﹣3D．﹣
【答案】C
【分析】连接OC，根据反比例函数的中心对称性质，知OA=OB，根据等腰三角形三线合一，可得OC⊥AB，且OC：OA=，过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，可证明△DOA∽△ECO，得EC=DO，OE=AD，把线段转化为坐标，结合反比例函数的解析式求解即可．
【详解】如图，连接OC，
根据反比例函数的中心对称性质，得 OA=OB，
∵△ABC是等边三角形，
∴OC⊥AB，∠OCA=30°，
∴OC：OA=，
过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，
∴∠ADO=∠OEC=90°，
∵∠AOD+∠OAD =90°，∠AOD+∠COE=90°，
∴∠OAD=∠COE，
∴△DOA∽△ECO，
∴EC:DO=OE:AD=OC:AD，
∴EC=DO，OE=AD，
设点A（a，b），则DO=a，AD=b，ab=1，
∵点C在第四象限，
∴点C的坐标为（b，-a），
∵点C始终在双曲线y＝（x＞0）上运动，
∴k=（-a）×b= -3ab= -3，
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数的对称性，等腰三角形三线合一的性质，三角形的相似，坐标与线段之间的关系，熟练掌握反比例函数的对称性，灵活选择方法证明三角形的相似是解题的关键．
6.（2022春·河南南阳·八年级统考期末）如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b，即可求得A、B的横坐标，进而可表示AB的长度，然后根据平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】解：设A的纵坐标是b，
∵四边形是平行四边形，
∴点B的纵坐标也是b，
把y=b代入得，，
∴A的横坐标是，
把y=b代入得，，
∴B的横坐标是，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了是反比例函数与平行四边形的综合题，理解A、B的纵坐标是同一个值，表示出AB的长度是解决本题关键．
7．（2023·全国·九年级专题练习）如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，cs∠AOB=反比例函数在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（ ）
A．15B．20C．30D．40
【答案】B
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，设OA=a,通过解直角三角形找出点A的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a的值，再根据四边形OACB是菱形、点F在边BC上，即可得出，结合菱形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．
设OA=a，
在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，cs∠AOB=，
∴OM=OA•cs∠AOB=a，AM==a，
∴点A的坐标为（a，a）．
∵点A在反比例函数y=的图象上，
∴a×a=24，
解得：a=5，或a=-5（舍去）．
∴OM=3，AM=4，OB=OA=5．
∵四边形OBCA是菱形，点F在边BC上，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出．
8．（2012春·福建泉州·八年级统考期末）如图，A、B是双曲线上关于原点对称的任意两点，AC∥y轴，BD∥y轴，则四边形ACBD的面积S满足（ ）
A．S=1B．10）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，点C的坐标为(，1)，
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接CD，求四边形OCDB的面积．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）将点C的坐标代入，即可求得值．
（2）过点C作CE⊥OB，利用C为中点，表示出OB长度，进而求得点D坐标，连接CD，将四边形CDBO的面积拆分为和梯形CEBD的面积之和．
【详解】解（1）将点C(，1)代入中得k=，
反比例函数的表达式
（2）如图，过点C作CE⊥OB，垂足为E，
∵点C为OA的中点，AB⊥OB，
∴E为OB的中点，
∴OB=2，
∴D点的横坐标为，代入中得
，
∴D(2 ,)
∴BD= ，EB= ，CE=1，
∴
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，，掌握待定系数法求解析式，及用和差法求不规则图形的面积是解题关键．
20．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）如图，已知点在双曲线上，点、在双曲线上，轴．
(1)当，，时，求此时点的坐标；
(2)若点、关于原点对称，试判断四边形的形状，并说明理由
【答案】(1)
(2)四边形是平行四边形，理由见解析
【分析】（1）设点的坐标为，则点的坐标为，根据构建方程即可解决问题；
（2）只要证明，即可解决问题．
【详解】（1）解： ，，
，，
设点的坐标为，则点的坐标为，
由得：，
解得：，
此时点的坐标为．
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
设点的坐标为．
点、关于原点对称，
点的坐标为，
轴，且点、在双曲线上，
点，点，
，，
，
又，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的判定等知识，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．