山东省临沂市2024-2025学年高一上学期期中教学质量检测 数学试卷（解析版）

这是一份山东省临沂市2024-2025学年高一上学期期中教学质量检测 数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，
所以.
所以.
故选：C
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得：命题“”的否定是“”.
故选：B.
3. 设函数，则方程的解为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】当即时，由，无实根；
当即时，由.
故选：B
4. 已知是定义在上的偶函数，那么的值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为函数是定义在上的偶函数，所以，
所以，对称轴为，所以即，
所以.
故选：D.
5. 已知命题：，，若是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】若命题为真命题则，，，即.
又是真命题，即命题为假命题，即.
故选：D.
6. 已知，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，
所以，解得，
所以，又，
所以.
故选：A.
7. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于函数，其图象开口向下，对称轴为，
所以当时，；
当时，在上单调递减，所以若，；
当时，在单调递增，在上单调递减，
所以若，；
对于函数，当时，，
所以要使函数的值域为，则或，
解得或.
综上，满足题意的实数的取值范围是.
故选：B.
8. 已知关于的不等式恰有5个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】解方程得，
当时，不能等式解集为，
因为不等式恰有5个整数解，则这5个整数解为，
所以，符合；
当时，不等式解集为，不符合；
当时，不等式解集为，
因为不等式恰有5个整数解，则这5个整数解为，
所以，符合；
综上，满足题意的实数的取值范围是.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的是（ ）
A. “”是“”的充分条件
B. 集合的真子集有8个
C. 如果x，y是无理数，那么是无理数
D. 函数图象的对称中心是
【答案】AD
【解析】对于A，若，则，所以“”是“”的充分条件，故A正确；
对于B， 因为，所以或或，
所以或或，所以，
所以该集合真子集有个，故B错误；
对于C，当时，满足x，y是无理数，但是有理数，故C错误；
对于D，因为，
所以函数图象的对称中心是.故D正确.
故选：AD.
10. 下列说法正确的是（ ）．
A. 不等式的解集是
B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 函数在单调递减区间为
D. 函数的单调递增区间为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，当时，则，即，当时，则，即，故A正确；
对于B选项，根据函数平移的特性知函数的定义域为，故B选项正确；
对于C选项，函数在单调递减区间，，故C选项错误；
对于D选项，因为，所以单调递增区间为，故D选项正确.
故选：ABD.
11 已知，则（ ）
A. B.
C. D. 方程有两个实数解
【答案】AC
【解析】已知，
对于A，因为，所以，
所以，故A正确；
对于B，因为，所以
由A得，所以，矛盾，故B错误；
对于C，因为，所以，即，
所以，
当且仅当即时等号成立，故C正确；
对于D，对于方程，，
则当时，满足，但，
此时方程无解，所以方程不一定有两个实数解，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 生活中“汤菜加盐，越加越咸”.请将这一事实用表示为一个不等式______.
【答案】
【解析】设原有汤为a，其中含盐b，则汤的浓度为，
则加入盐为c后可得汤的浓度为，此时，理由如下：
因为，
所以，所以，
所以将题中所述事实用表示为一个不等式为.
故答案为：.
13. 已知幂函数的图象过点，则 ________．
【答案】27
【解析】设幂函数y=f（x）=xa，a∈R，且图象过点（2,2），
∴2a=2，解得a=，∴f（x）=；
∴f（9）==27．
故答案为27．
14. 已知，则的最大值为______
【答案】
【解析】因为，
所以，
又因为，
当且仅当即时等号成立，
所以有最小值为，则有最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）即得或，
所以或x>5，
当时，，所以.
（2）由（1）或x>5，
因为，所以，
所以或，解得或，
所以满足题意的实数的取值范围为.
16. 已知关于的不等式的解集为或.
（1）求a，b的值；
（2）当且满足时，有恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）由题可知，且和是方程的两个根，
所以，此时原不等式为即，
该不等式解集为或，符合，
所以.
（2）由（1）得，
所以，
当且仅当即时等号成立，所以有最小值为8.
因为恒成立，所以即，
解方程得或，
所以不等式的解集为.
所以满足题意的实数的取值范围为.
17. 某制造商为拓展业务，引进了一种生产体育器材的新型设备．通过市场分析发现，每月需投入固定成本3000元，生产x台需另投入成本C(x)元，且若每台售价1000元，且每月生产的体育器材月内能全部售完．
（1）求制造商所获月利润L(x)（元）关于月产量x（台）的函数关系式；
（2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润．
解：（1）当0＜x＜40时，L(x)＝1000x－10x2－400x－3000＝－10x2＋600x－3000；
当40≤x≤100时，L(x)＝．
所以
（2）①当0＜x＜40时，L(x)＝－10(x－30)2＋6000，
所以当x＝30时，L(x)max＝L(30)＝6000．
②当40≤x≤100时，，
当且仅当，即x＝50时取等号．
因为6400＞6000，所以x=50时，L(x)最大．
答：月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元．
18. 已知函数为奇函数.
（1）求实数a的值：
（2）求证：在上为增函数；
（3）求的值域.
（1）解：由于，所以函数的定义域为，
因为函数为奇函数，
所以，即，此时.
检验得，满足奇函数性质.
故实数a的值.
（2）证明：设，且，
则
因为，且，
所以，，，，
所以，
所以，即在上为增函数.
（3）解：由（1）知函数，
所以关于的方程有解，
当时，显然，满足，
当时，，解得且.
综上，关于的方程有解，则.
所以函数的值域为.
19. 定义在上的函数满足：对任意的实数，都存在唯一的实数，使得，则称函数是“型函数”.
（1）判断是否为“型函数”？并说明理由；
（2）若存在实数，使得函数始终是“型函数”，求的最小值；
（3）若函数始终是“型函数”，求实数的取值范围.
解：（1）因为函数为偶函数，且在上单调递减，在0,+∞上单调递增.
所以当时，；当时，.
故当，，但在上不存在，使.
所以不是“型函数”.
（2）首先定义域为.
则.
根据复合函数单调性的判断方法可知：函数在单调递增，在上单调递减.
要使函数始终是“型函数”，只需对恒成立即可，
所以，即的最小值为1.
（3）因为函数始终是“型函数”，
当时，，当且仅当即时取“”.
所以.
因为函数始终是“型函数”，
所以当时，.
但当时，时，不存在，使得，所以.
所以实数的取值范围是：.