2025年中考数学压轴题型模型方与技巧(通用版)专题12二次函数中的情景问题与项目式学习(原卷版+解析)特训

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc192072073" 【题型1】 拱桥问题 PAGEREF _Tc192072073 \h 1
\l "_Tc192072074" 【题型2】 面积问题 PAGEREF _Tc192072074 \h 15
\l "_Tc192072075" 【题型3】 销售问题 PAGEREF _Tc192072075 \h 26
\l "_Tc192072076" 【题型4】 长度，高度问题 PAGEREF _Tc192072076 \h 35
\l "_Tc192072077" 【题型5】 发球，跳水问题 PAGEREF _Tc192072077 \h 48
\l "_Tc192072078" 【题型6】 喷水问题 PAGEREF _Tc192072078 \h 60
\l "_Tc192072079" 【题型7】 火箭，导弹飞行问题 PAGEREF _Tc192072079 \h 78
\l "_Tc192072080" 【题型8】 与物理结合的跨学科问题（如变速运动，电阻等） PAGEREF _Tc192072080 \h 90
\l "_Tc192072081" 【题型9】 新定义问题 PAGEREF _Tc192072081 \h 99
\l "_Tc192072082" 【题型10】 抛物线中的平移、翻折抛问题 PAGEREF _Tc192072082 \h 112
\l "_Tc192072083" 【题型11】 其它问题 PAGEREF _Tc192072083 \h 125
题型汇编
知识梳理与常考题型
【题型1】 拱桥问题
【例题1】（2024·广东深圳·模拟预测）请阅读信息，并解决问题：
【答案】任务1：；任务2：琴弦与拱端的水平距离为8米，的值为4米；任务3：该艺术品顶部应该安装在第5根和第6根琴弦之间
【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的表达式及性质是解题的关键．
任务1：以桥所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则点为原点，令抛物线的解析式为，将点代入中即可得出答案；
任务2：将代入即可得出的长度，再根据线段的和差即可得出的长度，进而求出的值；
任务3：将代入出的值，再进行判断该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间．
【详解】解：任务
如图，以桥所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，
则点为原点，
由题意得，，，
则点的坐标为，
令抛物线的解析式为，
将点代入中得，
，
解得：，
则抛物线的解析式为．

任务（米），
将代入得，
，（舍），
（米，
（米），（米），
琴弦与拱端的水平距离为8米，的值为4米．
任务3：将代入得，
，（舍），
，
该艺术品顶部应该安装在第5根和第6根琴弦之间．
【例题2】（24-25九年级上·浙江金华·期中）某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）一般为抛物线或圆形，于是他们根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题．
【实验操作】
如图1，第一小组在线段的垂直平分线与轮廓线的最高点的交点处通过测量获得以下数据（单位：米）：
任务1：请根据第一小组的数据求的度数．
【建立模型】
如图，第二小组在轮廓线段上选取点（不与、重合），在河边和处分别测量点的仰角，测量获得以下数据：
任务：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆形，请说明理由．
如果轮廓线是圆形，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式．
【解决问题】
任务3：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒型的限高杆（如图中虚线部分），为了保证安装稳定，横杆两端和竖杆上端与桥体固定多出的部分长度均为米（横杆悬空的部分大于米），且横杆长度和竖杆长度之比为，那么此时横向限高杆离水面距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不计）
【答案】任务1：；任务：抛物线，，任务3：米
【分析】本题为二次函数综合题，涉及到圆的基本性质、垂径定理、勾股定理的应用、二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；
任务：如图，，则，即可求解；
任务：在图中，在中，，即，而，得到；在图中，由，则该弧不是圆形是抛物线，建立如下的坐标系，用待定系数法求出抛物线表达式即可；
任务：确定点，即可求解；
【详解】解：任务：如图，，则，
则，
任务：假设弧线为圆，如图，，
在图中，设圆心为，设圆的半径为，连接、，
在中，，即，
而，
解得：；
则，
在图中，设圆心为设圆的半径为，连接、、，
则，
则劣弧的度数为，
则，
则，
则该弧不是圆形是抛物线，建立如下的坐标系，
则点、，
设抛物线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
任务：如上图，设横杆和抛物线的一个交点为，
横杆长度和竖杆长度长度分别为、，
则点，
将点的坐标代入得：
，
整理得：，
解得：或，
横杆悬空的部分大于米，即
即，
故舍去，
则，
则横向限高杆离水面距离为（米）；
【巩固练习1】（2024·广东深圳·模拟预测）“昔日荔枝进长安，今朝草莓遍三秦．”行走在秦岭脚下的长安区，随处可见成片的草莓种植大棚．其中一种植户雷莹借助现有地势，将大棚的一端固定在离地面2米高的墙体的端点外，另一端固定在离地面1米高的墙体的端点处，墙体均垂直于水平面．测得两墙体之间的水平距离为4米，且大棚横截面顶部为抛物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系满足：．

请根据以上信息解决下列问题：
(1)求大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系式．
(2)雷芗家大棚的最高处到地面的距离为 ；
(3)现要对入口处进行加固，如图所示：
方式一：雷莹在距离墙体左侧1米处垂直地面放置一根管材，管材一端固定在地面上，另一端点刚好能支撑在大棚主体钢架（抛物线段）上，用角铁固定另一根管材，使，且管材的另一端固定在墙体上；
方式二：在距离墙体等距（即中点）处以相同的方式放置管材．已知两种方式都等起到加固的作用，请通过计算说明，哪种方式所使用的管材更少？
【答案】(1)
(2)米
(3)方式二使用管材更少
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意得，，再将代入建立方程组计算可以得解；
（2）依据题意，由，又，进而结合二次函数的性质可以判断得解；
（3）方式一：依据题意可得，米，米，，从而(米)，再由证得四边形是矩形，故米，可，进而求出即可得解；方式二：依据题意，可得米，点是的中点，故米，再由四边形是矩形，有米，故令，可得，从而可得所使用的管材长度为：(米)，进而结合题意可以得解．
【详解】（1）解：根据题意得：，
将代入得：
，
解得：，
．
（2）∵，
当时，雷莹家大棚的最高处到地面的距离为米；
（3）方式一：根据题意可得：米，米，，
米，
，
四边形是矩形，
米，
令，则，
，
米，
所使用的管材长度为：米；
方式二：米，点是的中点，
米，
同理可证明四边形是矩形，
米，
令，则，
，
米，
所使用的管材长度为：米；
，
方式二使用管材更少．
【巩固练习2】（2024·广东深圳·模拟预测）完成项目化学习：《观景拱桥的设计》．
【答案】（1）；（2）900元；（3）；（4）米
【分析】此题考查二次函数和三角函数的性质及其应用，要结合图形分析并解决问题是解题关键．
（1）设抛物线的解析式为，运用待定系数法求解即可；
（2）令，即，解得，可得地毯的总长度为：，再求解即可；
（3）设点G的坐标为，根据题意得，，由， 可得，解方程即可求解；
（4）作直线的平行线l，使它与抛物线相切于点D，分别交x轴，y轴于点H，Q，过点H，作，垂足为G，设直线l的解析式为，联立直线与抛物线解析式，，整理得，由方程只有一个根，可得，再求解即可．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为，由题意得：
，解得，
所以抛物线的解析式为，
故答案为：；
（2）由（1）知，，
令，即，解得；
∴地毯的总长度为：，
∴，
答：购买地毯需要900元．
（3）设点G的坐标为，
根据题意得，，
∵，
∴，
解得（不合题意，舍去），
∴，
∴，．
（4）作直线的平行线l，使它与抛物线相切于点D，分别交x轴，y轴于点H，Q，过点H，作，垂足为G，如图所示，
∵，
设直线l的解析式为，
联立直线与抛物线解析式，
整理得
∵直线l与抛物线相切，
∴方程只有一个根，
∴，
解得，
∴直线l的解析式为，
令，则，
∴，
∴，
∵射灯射出的光线与地面成角，
∴，
∵，
，
∴，
∴光线与抛物线之间的最小垂直距离为米．
【巩固练习3】（浙江温州·中考真题）根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务一：见解析，；任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是；；任务三：两种方案，见解析
【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，待定系数法求解析式即可求解；
任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标，进而代入函数解析式即可求得横坐标的范围；
任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，根据题意求得任意一种方案即可求解．
【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，
则顶点为，且经过点．
设该抛物线函数表达式为，
则，
∴，
∴该抛物线的函数表达式是．
任务二：∵水位再上涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长，
∴悬挂点的纵坐标，
∴悬挂点的纵坐标的最小值是．
当时，，解得或，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是．
任务三：有两种设计方案
方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．
∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为，
∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
若顶点一侧挂3盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，
∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则，
若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
【题型2】 面积问题
【例题1】（23-24九年级上·浙江温州·期中）根据素材回答问题：
【答案】任务1：花圃的面积为208；任务2：图4方案的最大面积更大，为273；项目反思：图5方案最大面积更大
【分析】任务1：根据矩形面积公式和正方形面积公式求解即可；
任务2：由图3，设，花圃面积为，则，由题意可得花圃面积，结合一次函数的性质计算该方案的最大面积；由图4，设，花圃面积为，则，由题意可得花圃面积，结二次函数的性质计算该方案的最大面积，即可获得答案；
项目反思：延长交于点，过点作于点，易得为矩形，进而可知，设，花圃面积为，则，，，由题意得列出函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：任务1：如图2，
由题意可知，则，
矩形面积为，
()，
答：花圃的面积为208；
任务2：由图3，设，花圃面积为，则，
由题意得：，
因为，
∴当时，有最大值，最大值为()；
由图4，设，花圃面积为，
则，
由题意得：，
∴当时，y有最大值为273，
所以，图4方案的最大面积更大，为273；
项目反思：如下图，

延长交于点，过点作于点，
易得为矩形，
∴，
∵，
，
设，花圃面积为，
则，，，
由题意得：，
∴当时，花圃面积有最大值，
∵，
∴图5方案最大面积更大．
【例题2】（2024·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红；
第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
(1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
(2)求6米材料恰好用完时与的长；
(3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
【答案】(1)图见解析，
(2)的长为4米，的长为2米
(3)矩形周长的最大值为米
【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键．
（1）根据题意以点O为原点建立坐标系，根据垂直平分，得出，根据设抛物线的函数表达式为，将代入求出a的值即可；
（2）设点E的坐标为，可得，，，根据求出m的值即可；
（3）由矩形周长，即可求解．
【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，
∵所在直线是的垂直平分线，且，
∴．
∴点B的坐标为，
∵，
∴点P的坐标为，
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：．
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵点D，E在抛物线 上，
∴设点E的坐标为，
∵，交y轴于点F，
∴，，
∴．
∵在中，，
∴．
∴，
根据题息，得，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴．
∴，
答：的长为4米，的长为2米．
（3）解：如图矩形灯带为，
，，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴，
∴，，
设直线解析式为，
将，代入，得：，
解得，
∴直线解析式为，
同理可得，直线的表达式，
设点、、、，
则矩形周长，
故矩形周长的最大值为米．
【巩固练习1】（2024·山东潍坊·中考真题）【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率______．
（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值．
【问题解决】
（4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？（直接写出结果即可）
【答案】（1）；（2）不能，理由见解析；（3）；当取得最小值时；（4）
【分析】（1）根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解；
（2）根据（1）的方法求得喷洒覆盖率即可求解；
（3）根据勾股定理求得的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解；
（4）根据（3）的结论可得当圆为正方形的外接圆时，面积最小，则求得半径为的圆的内接正方形的边长为，进而将草坪分为个正方形，即可求解．
【详解】（1）当喷洒半径为时，喷洒的圆面积．
正方形草坪的面积．
故喷洒覆盖率．
（2）对于任意的，喷洒面积，而草坪面积始终为．
因此，无论取何值，喷洒覆盖率始终为．
这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用．
（3）如图所示，连接，
要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积．
∴都经过正方形的中心点，
在中，，，
∵
∴，
在中，
∴
∴
∴当时，取得最小值，此时
解得：
（4）由（3）可得，当的面积最小时，此时圆为边长为的正方形的外接圆，
则当时，圆的内接正方形的边长为
而草坪的边长为，，即将草坪分为个正方形，将半径为的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少，
∴至少安装个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率
【巩固练习2】（2024·广东深圳·模拟预测）【问题提出】如图1，在中，，，，则的面积为________；
【问题探究】
如图2，在中，，，．点是三个内角角平分线的交点．点在边上，且．在边找一点，使得四边形面积是面积的．求出此时的长度；
【问题解决】
如图3，某开发区将设计改造一块五边形空地．已知，，按照设计需求，且满足．现设计规划在阴影部分区域种植花卉．公司为了节约成本，满足设计需求，种植花卉阴影部分即区域的面积尽可能小．请你计算出种植花卉面积的最小值．
【答案】问题提出：；问题探究：；问题解决：当时，有最小值为
【分析】问题提出：过点作于点，解直角三角形求出，根据三角形面积公式求解即可；
问题探究：连接、、，过点作于点，过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质得出，设，根据三角形面积公式求出，根据，四边形面积是面积的，求出，根据线段的和差求解即可；
问题解决：延长交的延长线于点，连接，过点作交的延长线于点，结合题意推出四边形是菱形，根据菱形的性质得出，，，设，则，，，解直角三角形求出，，由问题提出的结论知，，，根据，推出，根据二次函数的最值求解即可．
【详解】解：问题提出
如图，过点作交的延长线于点，
则，
，
故答案为：．
问题探究
如图，连接，，，过点作于点，作于点，作于点，
点是三个内角角平分线的交点，
设，
；
四边形面积是面积的
，解得，
，
问题解决
如图，延长交的延长线于点，连接，设，则，过点作交的延长线于点，
，，，
四边形为菱形，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
同理可得，
由问题提出的结论知可得，，
，
即，
当时，有最小值为．
【题型3】 销售问题
【例题1】（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务．
【答案】任务1：；任务2：；任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润
【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键．
任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，然后将2种服装的获利求和即可得出结果；
任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可．
【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有人，
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴，
整理得：；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，
∴，
整理得：
∴
任务3：由任务2得，
∴当时，获得最大利润，
，
∴，
∵开口向下，
∴取或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
∴，
综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．
【例题2】（23-24·浙江杭州·期中）根据以下素材，完成探索任务：
【答案】任务1：，；任务2：A包装的售价是106元，B包装的售价是114元；任务3：A包装的售价为108元，B包装的售价为117元
【分析】本题考查二次函数的应用．
任务1.根据A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，B包装商品售价每提高1元就少卖出2件．可得A、B两种商品在原来销售量的基础上得到的新的销售量；
任务2.总利润＝A包装商品的利润＋B包装商品的利润，设总利润为w，A包装商品降价x元，得到相关的二次函数，求得最大利润即可；
任务3.设设总利润为w，A包装商品降价x元，根据总销售量为110件得到B包装商品的销售量，结合任务1可得B包装商品需提价多少，根据函数值超过1430可得x的取值范围，写出一种方案即可．
【详解】解：任务1.
∵A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，原来的销售量是40件，
∴每件A包装商品售价降低x元（x为整数），A包装商品每日的总销售量为件；
∵B包装商品售价每提高1元就少卖出2件，原来的销售量是80件，
∴每件B包装商品售价提高y元（y为整数），则B包装商品每日的总销售量为件．
故答案为：，；
任务2.
设总利润为w元，A包装商品卖出件，则B包装商品卖出件．
∴每件A包装商品售价降低x元，每件B包装商品售价提价x元．
∴
；
∴时，利润最大．
∴（元），（元）．
答：A包装的售价是106元，B包装的售价是114元；
任务3.由素材3可得销售量减少10件．
设总利润为w元，A包装商品卖出件，则B包装商品卖出件．
∵每件B包装商品售价提高y元（y为整数），则B包装商品每日的总销售量为件．
∴．
∴．
∴每件A包装商品售价降低x元，每件B包装商品售价提价元．
∴
∴
整理得：
解得：
∴当时，销售总利润超过1430元．
∴A包装的售价为元，B包装的售价为元，一天的销售总利润超过1430元．
【巩固练习1】（2024·广东深圳·三模）坐拥1200余座公园的深圳被誉为“千园之城”，当前，这些公园正在举办一系列“公园十市集”消费体验活动．笑笑在“五一”假期租了一个公园摊位，销售“文创雪糕”与“牌甜筒”，其中一个“文创雪糕”的进货价比一个“牌甜筒”的进货价多1元，用800元购进“牌甜筒”的数量与用1200元购进“文创雪糕”的数量相同．
(1)求：每个“文创雪糕”、“牌甜筒”的进价各为多少元？
(2)“牌甜筒”每个售价5元．根据销售经验，笑笑发现“文创雪糕”的销量（个）与售价（元/个）之间满足一次函数关系：，且售价不高于10元．若“文创雪糕”与“牌甜筒”共计每天最多能进货200个，且所有进货均能全部售出．问：“文创雪糕”销售单价为多少元时，每天的总利润（元）最大，此时笑笑该如何进货？
【答案】(1)“牌甜筒”的进价为2元/个，“文创雪糕”的进价为3元/个
(2)当文创雪糕销售单价为8元时，每天总利润最大，为获得最大利润，笑笑应购进40个“文创雪糕”，160个“牌甜筒”
【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及二次函数的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）设“牌甜筒”的进价为元/个，则“文创雪糕”的进价为元/个，根据题意列出分式方程并求解，即可获得答案；
（2）根据题意得出关于的二次函数函数解析式，根据二次函数的性质即可获得答案．
【详解】（1）解：设“牌甜筒”的进价为元/个，则“文创雪糕”的进价为元/个，
依题意得，
解得，，
经检验，是原方程的解，
所以，．
答：“牌甜筒”的进价为2元/个，“文创雪糕”的进价为3元/个；
（2）依题意得，
，
当时，每天总利润最大，
此时，（个），（个），
答：当文创雪糕销售单价为8元时，每天总利润最大，为获得最大利润，笑笑应购进40个“文创雪糕”，160个“牌甜筒”．
【巩固练习2】（23-24·浙江温州·阶段练习）
【答案】任务1：城区销售600千克，园区内销售400千克；任务2：；任务3：
【分析】本题考查了求函数关系式、一元一次方程的应用和一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
（1）设今年四月份第三周城区销售千克，园区内销售千克，根据等量关系：一共销售了1000千克，销售总收入为17000元，列出方程求解即可；
（2）根据销售总额城区销售收入园区销售收入，可得函数关系式；
（3）根据（2）求得的函数表达式列出方程求解即可．
【详解】任务1：设今年四月份第三周城区销售千克，园区内销售千克，根据题意得：
，
解得，
答：今年四月份第三周城区销售600千克，园区内销售400千克；
任务2：，
；
任务3：，
，
，．
【巩固练习3】（23-24·浙江温州·期中）根据以下信息，探索完成任务．
【答案】任务1：（1）；（2）能，该套餐售价应定为11元；任务2：（3）每份套餐的售价定为12元，最高利润为1640元
【分析】任务1：（1）由题意得y与x的函数关系式为；
（2）由题意知当每份套餐售价提高到10元以上时，，将代入，求出符合要求的解即可．
任务2：（3）根据函数解析式，结合x的取值，求出函数的最大值即可．
【详解】任务1：（1）解：由题意得y与x的函数关系式为：
．
（2）由题意知当每份套餐售价提高到10元以上时，
，
将代入得：，
解得：，，
为了保证净收入又能吸引顾客，应取，
∴把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的纯收入能达到1560元，该套餐售价应定为11元．
任务2：（3）每份套餐售价不超过10元时，获得利润为：
（元），
每份套餐售价提高到10元以上时，获得的利润为：
，
∵，且x为整数，
∴当或时，获得利润最大，
∴为了吸引顾客，售价应该定为12元，且最大利润为：
（元）．
【题型4】 长度，高度问题
【例题1】（2024·广西南宁·一模）某班开展课外锻炼，有7位同学组队参加跳长绳运动，他们的身高数据如下：
为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳；所有队员站成一排，跳绳队员按照中间高、两端低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全；如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳；
如图2，当绳子甩动到最高点时的形状近似看成一条抛物线，若以所在直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)最高的队员位于中点，其余跳绳队员对称安排在其两侧．
①当跳绳队员之间正好保持的距离时，长绳能否高过所有跳绳队员的头顶?
②在保证安全的情况下，求最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围．
【答案】(1)
(2)①能；②
【分析】本题是二次函数综合，考查的是二次函数的实际应用，读懂题意，把二次函数同实际生活结合起来，建立坐标系求出函数解析式是解本题的关键．
（1）由已知可得，在抛物线上，抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，再利用待定系数法求解即可；
（2）①求出当时，当时的函数值，再和队员身高比较即可；②求出时，或，即可得出答案．
【详解】（1）解：由已知可得，在抛物线上，抛物线顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
将代入解析式得，，
解得，
∴拋物线的函数表达式为；
（2）解：①∵，
∴5名同学，以直线为对称轴，分布在对称轴两侧，对称轴左侧的2名队员所在位置横坐标分布是，，对称轴右侧的2名队员所在位置横坐标分布是，，
当时，，
当时，，
长绳能高过所有跳绳队员的头顶；
②当时，，
解得或，
最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的最小值为，
两人的水平距离，名队员每两人间的距离至少为才能保证安全，
最左边的跳绳队员与离他最近的用绳队员之间距离的最大值为，
最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围为．
【例题2】（2024·安徽合肥·一模）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）．
(1)求杯体所在抛物线的解析式；
(2)将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，求的取值范围；
(3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处（），如图（3）
①请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标__________；
②请直接写出此时杯子内液体的最大深度__________．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)；
(3)①；②
【分析】（1）根据题意，得到，，设抛物线的解析式为，代入计算即可；
（2）先确定平移后的解析式为，再计算直线的解析式和直线的解析式，结合喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，确定范围即可．
（3）①根据题意，画出符合题意的坐标系即可，设与轴的交点为，计算的长即可得到坐标．
②设点是抛物线上的一点，且，；过点作轴，交于点，过点作轴于点，确定，计算得最大值，且最大值为，过点作于点，则．
【详解】（1）解：，杯子的高度（即，之间的距离）为．
，，
设抛物线的解析式为，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线的解析式为，
平移后的解析式为．
抛物线的对称轴为直线，，
的对称点为，
，
平移后，
设直线的解析式为，
，
解得；
；
设直线的解析式为，
，
解得；
，
根据题意，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，
∴；
（3）解：①根据题意，建立直角坐标系如下，设与轴的交点为，直线与轴的交点为，
，杯子的高度（即，之间的距离）为．
，，
水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，
，，
∵，
，
，
，
．
故答案为：；
②抛物线的解析式为，
设点是抛物线上的一点，且，；
过点作轴，交于点，
水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，
，，
∵，
，
过点作轴于点，
∵轴，
，，
，
，
，
，
，，
时，取得最大值，且最大值为，
过点作于点，
则，
故的最大值为，

故答案为：．
【巩固练习1】（2025·广东深圳·一模）综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
【分析问题】
（1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________；
（2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________；
【解决问题】
（3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
（1）根据二次函数的性质求解即可；
（2）待定系数法求出，，由图象可得的顶点在的下方，即可得出，求解即可；
（3）设新拱门抛物线解析式为，则抛物线顶点坐标为由题意可得，从而解得，（不符题意，舍去），得到新拱门抛物线解析式为，将代入得，，解得，从而可得，将代入得，，解得，从而可得；将代入得，，解得，从而可得；分别求解即可得解．
【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过和，
∴此抛物线的对称轴为直线；
（2）∵二次函数经过和，
∴，
将代入可得：，
∴，
∴，
∵的图象均经过和，
∴，
∵由图象可得：的顶点在的下方，
∴，
解得：；
（3）如图所示，将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间．
由题意得，，，
∴，；
设新拱门抛物线解析式为
∴抛物线顶点坐标为
∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，
∴，
解得，（不符题意，舍去），
∴新拱门抛物线解析式为
将代入得，，解得
∴，
∵原拱门拱顶距地面为4米，
∴
将代入得，，解得，
∴
将代入得，，解得
∴
∴
综上所述，的取值范围是或．
【巩固练习2】（2024九年级上·浙江·专题练习）根据以下素材，探索完成任务：
【答案】任务1：；任务2：；任务3：
【分析】任务1，过点M作垂线交于点E，交于点F，根据的高度为1.5米，，可以得到，即可求出的长度，即遮阳棚的跨度；
任务2，求出点N坐标，根据用待定系数法求出，将点N代入可以求出m的值．
任务3，将点N坐标代入得，，配方求出，解得，当时，可以求出d的取值范围．
【详解】任务1：
过点M作的垂线交于点E，交于点F，如图：
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴小明家所需的遮阳棚的跨度长为；
任务2：
以点A为坐标原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图：
由任务1可知，，
设抛物线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
∵点N坐标为，
∴，
解得；
任务3：
∵点N坐标为，
∴，
令，
∵，
∴当时，w取最小值，最小值为2.1875，
当时，w取大值，最大值为2.25，
∴w的取值范围，
即，
解得，
当时，
．
【巩固练习3】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）利用素材解决：《桥梁的设计》
【答案】任务一：方案一，米；方案二，
任务二：方案一，能通过；方案二，不能通过
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理的应用，掌握建模的数学思想是解题关键．任务一：方案一，设圆的半径为米，根据即可求解；方案二，设桥拱的函数解析式为，将代入即可求解；任务二：方案一，根据即可判断；方案二，当H点的横坐标时，计算其纵坐标即可判断．
【详解】解：任务一
方案一，设圆的半径为米，
在中，，
（米）
方案二，∵顶点C坐标为，
设桥拱的函数解析式为
代入得，．
函数解析式为．
任务二
方案一，如图，由上得，
在中，
．
能通过
方案二，如图建立直角坐标系，
当H点的横坐标时，，
不能通过．
【题型5】 发球，跳水问题
【例题1】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据：
(1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________；
②求满足条件的抛物线解析式；
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】(1)见解析
(2)①；；②
(3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为
【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解；
（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，；
②待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，根据题意当时，，代入进行计算即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，

（2）①观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是，
当时，，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；
故答案为：；．
②设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（3）∵当时，抛物线的解析式为，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为，
∴平移后的抛物线的解析式为，
依题意，当时，，
即，
解得：．
【例题2】（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）综合与应用
如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系．
(1)在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
根据上述数据，求出y关于x的关系式；
(2)在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长；
(3)信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为，从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足．
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作．
问题解决：
①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？
②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是______．
【答案】(1)y关于x的关系式为
(2)动员甲从起点A到入水点的水平距离的长为2米
(3)①运动员甲不能成功完成此动作；②
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的应用，解题关键是理清题目条件，熟练运用二次函数的性质．
（1）设二次函数的关系为，代入，，，算出、b、c的值，即可得到函数表达式；
（2）把代入（1）中所得的二次函数解析式，即可求出结果；
（3）①把二次函数解析式整理为顶点式，得到k与a的关系式，把代入，计算t的值，再与1.6比较即可得到结果；
②求得的顶点为，得，把代入，得到与a的关系式，由，列不等式即可求出t的取值范围．
【详解】（1）解：由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系，
设二次函数的关系为，代入，，，
得，
解得，
y关于x的关系式为；
（2）解：把代入，
得，
解得，（不合题意，舍去），
运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长为2米；
（3）解：①运动员甲不能成功完成此动作，理由如下：
由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系为，
整理得，
得运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度k为，即，
把代入，
得，
解得，（不合题意，舍去），
，
运动员甲不能成功完成此动作；
②由运动员甲进行第二次跳水训练，竖直高度与水平距离的关系为，
得顶点为，
得，
得，
把代入，
得，
由运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作，得，
则，即，
解得．
故答案为：．
【巩固练习1】（23-24九年级上·浙江温州·期中）图1是张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式，能更真实地模拟实战．图2是发球机从中线OB的端点O的正上方处的A点发球，球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点M，其高度为．以O为原点，，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系．

(1)求图2中抛物线的表达式．
(2)记图2中的落球点为点E，则的长为多少？
(3)图3是为了更好地模拟与人对打，将出球方向改变，调整成两跳球的方式，即球从点A落到点D，再反弹过网落下，反弹后球呈抛物线飞行，且形状与图2中的抛物线形状保持不变，但反弹后的最高高度变为．若最后球也落在点E，则的长为多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）令，即可求解；
（3）由，即可求解.
【详解】（1）解：建立如图2、3所示的直角坐标系，

则点A、M的坐标分别为、，
设抛物线的表达式为：，
将点A的坐标代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：令，
解得：（舍去）或，
即；
（3）解：设点，
由（2）知点，
设抛物线的表达式为：，
则，
解得：（不合题意的值已舍去），
即长为.
【巩固练习2】（2024·河南南阳·一模）如果将运动员的身体看作一点，则她在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数图1的关系．
(1)在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离与竖直高度的几组数据如下表：
根据上述数据，求出关于的关系式；
(2)在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点到入水点的水平距离的长；
(3)信息1：记运动员甲起跳后达到最高点时距水面的高度为，从到达到最高点开始计时，则她到水面的距离与时间之间满足．
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要s的时间才能完成极具难度的动作．
请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？
【答案】(1)
(2)2m
(3)能完成
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法运算求解即可；
（2）令，得，运算求解即可；
（3）利用二次函数的解析式求出最高点的值后代入，运算出时间进行对比即可．
【详解】（1）解：设，
代入得：
解得：，
∴；
（2）令，得
解得，（舍去）
∴
即运动员甲从起点A到入水点的水平距离为2m．
（3）由（1）得
，
∴，
∴，
当时，，解得（负舍去），
∵，
∴运动员甲能完成此动作．
【巩固练习3】（2024·广东深圳·模拟预测）根据背景素材，探索解决实际问题
【答案】任务一：，点M与O的水平距离为；任务二：不能实现；任务三：．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质以及运用待定系数法求得函数解析式成为解题的关键．
任务1：由题意可知：抛物线的顶点坐标为：，再运用待定系数法求得抛物线的解析式为，再令进行求解即可；
任务二：先运用待定系数法求得球弹起的抛物线轨迹为，的解析式为，然后联立得到一元二次方程，再根据根的判别式判断方程是否有根即可解答；
任务三，先求出反弹抛物线的解析式为；再求出当时的自变量的取值，即击球点的横坐标的取值范围为：；再结合图形即可解答．
【详解】解：任务一：由题意可知：抛物线的顶点坐标为：
设抛物线的解析式为，
将代入可得，解得：，
所以抛物线的解析式为，
当时，，解得：（舍弃负值），
所以，点M与O的水平距离为；
任务二：不能实现，理由如下：
设球弹起的抛物线轨迹为，
将代入可得：，解得：，
所以，
由题意可得：球网上方点的坐标为，
设的解析式为，则，解得：，
所以的解析式为，
由，整理得：，
所以，即方程无解，
所以不能实现；
任务三，如图：依题意可得，，第二个抛物线的顶点坐标为，
设反弹的抛物线的解析式为：，
∴，解得：，
∴，
令，解得：或；
故击球点的横坐标的取值范围为：，
∴，，
∴．
【题型6】 喷水问题
【例题1】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：；任务2：喷水口升高的最小值为米；任务3：建议花卉的种植宽度为米
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式．
任务1：依据题意，用待定系数法求得抛物线的:函数表达式；
任务2：依据题意，由喷泉池的半径为米，令，则，从而可以求出喷水口升高的最小值；
任务3：依据题意，当向上平移个单位，再令，，求出x的值，再减去即可判断得解．
【详解】解：任务1：由题意得，，顶点为，
可设抛物线的函数表达式为，
抛物线过，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
任务2：由题意，喷泉池的半径为米，
令，则，
喷水口升高的最小值为米；
任务3：当向上平移个单位，
则，
令，，
解得：，（舍去），
米，
建议花卉的种植宽度为米．
【例题2】（2024·广东深圳·二模）根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：；
任务2：灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见解析
任务3：有影响，将行道树栽种在离绿化带右边沿的距离至少2.46米才不影响行道树防治病虫害
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，求函数值，二次函数的性质；
任务一：待定系数法求解析式，即可求解；
任务二：根据题意，求得下边缘的抛物线解析式为，分别令，得出抛物线与坐标轴的交点，两交点的距离，即为所求；
任务三：依题意，绿化带正中间种植了行道树，令，求得的值，然后令，进而得出结论．
【详解】解：（1）∵上边缘抛物线的顶点坐标为，
∴设上边缘抛物线的函数表达式为，
将代入得，解得，
∴；
（2）上边缘抛物线的表达式：，将代入得，
解得（舍去），，
∵下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点，
∴下边缘抛物线的表达式：，
将代入得，解得（舍去），，
∵路边的绿化带宽4米，（米），
∴灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带；
（3）根据题意得，将代入，
∴，
∴有影响，
当时，，解得，
∴
答：将行道树栽种在离绿化带右边沿的距离至少2.46米才不影响行道树防治病虫害．
【例题3】（2024·浙江嘉兴·一模）根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：见解析，；任务2：水流无法喷灌到草坡最远处,理由见解析；任务3：树可以被灌溉到，理由见解析；的取值范围．
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，解直角三角形的应用，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
任务1：根据题意建立适当的平面直角坐标系，设抛物线的函数表达式为，将点、代入求出、的值，即可得到抛物线的函数表达式；
任务2：设草坡最远处为点，过点作轴于点，结合坡度解直角三角形，求出，，得到，再求出当时，的值，比较即可得到答案；
任务3：延长交轴于点，结合坡度解直角三角形，得到，再求出当时，的值，比较即可得到答案．由题意可知，移动后的解析式为，求出，将点代入解析式求出的值，即可得到的取值范围．
【详解】解：任务1：
如图建立平面直角坐标系，
设抛物线的函数表达式为，
由图象可知，抛物线过点、，
则，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
任务2：
水流无法喷灌到草坡最远处,理由如下：
如图，设草坡最远处为点，过点作轴于点，
由题意可知，喷灌架置于坡度为的坡地底部点处． 草坡的长度为米，
∴，，
设，，
由题意得：，
∴，
∴，，
∴，
在抛物线中，当时，，
∵，
∴水流无法喷灌到草坡最远处；
任务3：
树能否被灌溉到，理由如下：
由题意可知，延长交轴于点，
由题意可知，，，
∵坡度为，
∴，
∴，
∴，，
在抛物线中，当时，，
∵，
∴树可以被灌溉到，
由题意可知，将喷灌架向正后方向移动米，则移动后的解析式为，
当时，，
若要使树被喷灌到，则，
解得：，（舍），
∴．
【巩固练习1】（2024·广东深圳·三模）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米．
根据上述信息，解决以下问题：
(1)在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象；
(2)若水柱最高点距离湖面的高度为米，则______；
(3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米，已知游船顶棚宽度为米，顶棚到湖面的高度为米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求．（结果保留一位小数）．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到米才能符合要求
【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数图象的绘制方法，待定系数法求解析式，二次函数图象平移的特点是解题的关键．
（1）根据列表，描点，连线的方法作图即可；
（2）根据表格信息可得二次函数的最大值为时，的值最大，由此即可求解；
（3）根据题意，设二次函数的解析式为：，根据表格可得二次函数解析式，根据游船通过的条件设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，可得，由此即可求解．
【详解】（1）解：表格信息为：
根据表格信息，描点，连线，作图如下，
（2）解：根据题意可知，该抛物线的对称轴为直线，此时水柱离湖面最高，
即，
故答案为：；
（3）解：根据图象可设二次函数的解析式为：，
将代入，得，
∴抛物线的解析式为：，
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，
由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值不小于，
∴，
解得，，
∴水管高度至少向上调节米，
∴（米），
∴公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到米才能符合要求．
【巩固练习2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米．
(1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程；
(2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标；
(3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由．
【答案】(1)上边缘抛物线喷出水的最大射程为；
(2)；
(3)不能，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：
（1）求得上边缘的抛物线解析式，即可求解；
（2）根据二次函数的性质，确定平移的单位，求得下边缘抛物线解析式，即可求解；
（3）根据题意，求得点的坐标，判断上边缘抛物线能否经过点即可；
【详解】（1）解：由题意可得：，
且上边缘抛物线的顶点为，故设抛物线解析式为：
将代入可得：
即上边缘的抛物线为：
将代入可得：
解得：（舍去）或
即
上边缘抛物线喷出水的最大射程为；
（2）解：由（1）可得，
上边缘抛物线为：，可得对称轴为：
点关于对称轴对称的点为：
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为：
将代入可得：
解得：（舍去）或
即点；
（3）解：灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带，理由如下；
∵，
∴绿化带的左边部分可以灌溉到，
由题意可得：
将代入到可得：
因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
【巩固练习3】（2024·山东枣庄·模拟预测）【项目式学习】
【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜
【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型，菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜，如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒．
【项目素材】
素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点．
素材二：乙小组测得种植农民的身高为米，他常常往返于菜地之间．
素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长．
【项目任务】
(1)任务一：丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，其中喷出的水正好经过一个直立木杆的顶部F处，木杆高米，距离喷水口米，求出水柱所在抛物线的函数解析式．
(2)任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是p米时，不会被水淋到，求p的取值范围．
(3)任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米？（直接写出答案，精确到米）．
【答案】(1)
(2)p的取值范围为
(3)薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米
【分析】（1）根据题意得到，，，，设抛弧线的解析式为：，利用待定系数法求解，即可得到抛物线的解析式；
（2）根据这位农民在与喷水口水平距离是p米时，不会被水淋到，结合农民最高点坐标为，以及二次函数性质求解，即可解题；
（3）根据薄膜所在平面和地面的夹角是，设薄膜所在平面的直线解析式为，当抛物线与薄膜所在平面相切时（即只有一个交点），有，即，求出的值，得到薄膜所在平面的直线解析式，根据喷出的水与薄膜的距离至少是厘米，推出薄膜所在的直线应向右平移米，利用平移的规律得到平移后的解析式，即可解题．
【详解】（1）解：由题可知：，，，，
设抛物线的解析式为：，
将，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：由题可知：农民常常往返于菜地之间，则此时农民最高点坐标为，
将其代入得： ，
整理得，
解得：，，要农民不会被水淋到，
则，
综上：p的取值范围为；
（3）解：由题知，薄膜所在平面和地面的夹角是，设薄膜所在平面的直线解析式为，
当抛物线与薄膜所在平面相切时，有，
整理得，
有，
解得，
薄膜所在平面的直线解析式为，
喷出的水与薄膜的距离至少是厘米，
即薄膜所在的直线应向右平移米，
平移后的直线解析式为，
当时，，解得，
薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米．
【巩固练习4】（2024·广东深圳·二模）【项目式学习】
项目主题：合理设计 智慧泉源
项目背景：为加强校园文化建设，学校计划在原有的喷泉池内增设一块矩形区域，安装LED发光地砖灯，用于展示校园文化标语，要求该矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，因此需要对原有喷泉的喷头竖直高度进行合理调整．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习．
任务一 测量建模
（1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，水柱的落点均在水平地面半径为2米的圆上，在距池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）；
任务二 推理分析
（2）学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加h米，水柱落点形成的圆半径相应增加d米，h与d之间存在一定的数量关系，求出h与d之间的数量关系式；
任务三 设计方案
（3）现计划在原有喷水池内增设一块矩形区域，米，米，增设后的俯视图如图3所示，与原水柱落点形成的圆相切，切点为的中点P．若要求增设的矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，则喷头竖直高度至少应该增加______米．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查二次函数的应用，简单几何体的三视图，掌握待定系数法求二次函数的关系式是正确解答的关键．
（1）根据题意可得第一象限中的抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线关系式的顶点式，代入计算即可；
（2）根据抛物线的形状不变，即a的值不变，顶点坐标变为，抛物线与x轴的交点坐标变为，代入即可得出h与d的还是关系式；
（3）根据勾股定理求出的长，进而得出d的值，再代入h与d的函数关系式进行计算即可．
【详解】（1）解：
由题意可知，第一象限中的抛物线的顶点坐标为，且过点，
设抛物线的关系式为，将代入得，
，
解得，
∴第一象限中抛物线的关系式为；
（2）由于喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，喷头竖直高度增加h米，
其抛物线的关系式为，过点，
∴，
即，
（3）如图，延长交于点Q，则米，米，米，连接，
在中，米，米，
∴（米），
即水柱落点形成的圆半径相应增加0.5米，，
将代入得，
（米），
故答案为：．
【巩固练习5】（2024·广东深圳·三模）【项目式学习】
项目主题：数学眼光仪式设计
项目背景：“过水门”是国际民航中高级别的礼仪，因两辆（或以上）的消防车在飞机两侧喷射水柱出现一个“水门”状的效果而得名．学校计划在运动会开幕式上举行彩旗队“过水门”仪式，数学研习小组协助彩旗队进行队列设计．
任务一 测量建模
（1）如图1，研习小组测得表演场地宽度米，在A、B处各安装一个接通水源的喷泉喷头，将出水口高度，都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点C处相遇，组成一条完整的抛物线形水门，且点C到地面的距离为5米．以线段所在的直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求出“过水门”仪式中抛物线的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围）
任务二 方案设计
（2）研习小组了解到彩旗队的队列设置要求，每两列之间保持相同的间距，队员所持彩旗的顶端离地面的距离保持3.6米．为保证“水门”的水柱不被破坏，要求每排最外侧两列队员所持彩旗顶端与水柱间的铅直距离为0.4米，彩旗队要排成6列纵队，请你通过计算，确定彩旗队“过水门”时，每相邻两列纵队的间距．
任务三 创意设计
（3）为使下一次“过水门”的设计更具创意，研习小组通过进一步分析发现：两个喷头同时向后移动相同的距离m米，此时两个水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动1米，在喷头底端的同一直线上各安装一台射灯，射灯射出的光线与地面的夹角为且相交于一点．若光线与水柱之间的最小距离为米，此时右侧射灯与右侧喷头底端的水平距离为n米，则m的值为______，n的值为______．
【答案】（1），（2）彩旗队每相邻两列的间距为1.6米，（3）4，3
【分析】（1）根据题意取中点为O，建立直角坐标系，设函数表达式为，利用待定系数法求解即可；
（2）如图，分别过最外侧队员彩旗顶端作x轴的垂线，，垂足为点，，分别交抛物线于点、，分别求出点、的坐标，即可求解．
（3）过T点作于点S，根据光线与水柱之间的最小距离为米，可得，设，，设直线的解析式为：，即有，可得直线的解析式为：；根据平移的性质可得右侧的抛物线的解析式为：，结合两水线新的交点相较于原交点C下降了1米，可得，即可得，右侧的抛物线的解析式为：，联立，得：，根据相切可得，可得，即直线的解析式为：，问题随之得解．
【详解】解：（1）由题可知，建立如图所示的平面直角坐标系，
设所求抛物线的函数表达式为，
由题可知，，，，，
点N的坐标为，点C的坐标为，
将、代入，
得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）如图，分别过最外侧队员彩旗顶端作x轴的垂线，，垂足为点，，分别交抛物线于点、，
由题意可知，（米），
点、的纵坐标均为4，
当时，，
解得，
点、的坐标分别为和，
最外侧两列彩旗队之间的距离为（米），
即（米），
答：彩旗队每相邻两列的间距为1.6米；
（3）如图，右侧射灯的光线所在直线用表示，交x轴于点Q，交y轴于点P，将直线向左平移至与右边抛物线相切，平移后的直线交x轴于点T，交y轴于点W，过T点作于点S，
即有，
∵光线与水柱之间的最小距离为米，
∴与之间的距离为，
∵，，
∴，
结合题意有：，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴结合，有是等腰直角三角形，
∴，
∴设，，
设直线的解析式为：，
即有，解得：，
∴直线的解析式为：，
∵右侧的抛物线是由原抛物线向右平移m个单位所得，
∴右侧的抛物线的解析式为：，
∵两水线新的交点相较于原交点C下降了1米，
∴，
将代入，有，
解得：(负值舍去），即m的值为4；
∴右侧的抛物线的解析式为：，
联立，
得：，
∵直线与抛物线相切，
∴有两个相等的解，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，解得：，
∴，
∵，
∴，
∵平移之前，右侧喷头所在点N的坐标为，
∴向右平移4米之后，现在点N的坐标为，
∴此时点B的坐标为：，即，
∴右侧射灯与右侧喷头底端的水平距离为，
故答案为：，．
【题型7】 火箭，导弹飞行问题
【例题1】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）【问题背景】
水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭．
【实验操作】
为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示：
【建立模型】
任务1：求关于的函数表达式．
【反思优化】
图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，．
任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离．
任务3：当水火箭落到内（包括端点，），求发射台高度的取值范围．
【答案】任务1：；任务2：；任务3：
【分析】本题为二次函数综合题，主要考查的是二次函数的实际应用，正确理解题意和题设中术语的意义是解题的关键．
任务1：设抛物线的表达式为：，由待定系数法即可求解；
任务2：由得：，代入即可求解；
任务3：设发射台弹射口高度为c，则此时抛物线的表达式为：，当和，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：任务1：设函数表达式为：，
将原点代入上式，
解得：，
则．
任务2：由，得，
将代入，得．
令，
解得（舍去）或，
即水火箭飞行的水平距离为；
任务3：设发射台弹射口高度为c，
则此时的函数表达式为：，
当时，，
解得，
当时，
，
解得，即，
故发射台PQ高度范围为．
【例题2】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
(1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______；
(2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
【答案】(1)
(2)①此人腾空后的最大高度是米，解析式为；②此人腾空飞出后的落点D在安全范围内，理由见解析
(3)这条钢架的长度为米
【分析】（1）根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，设水滑道所在抛物线的解析式为，将代入，计算求出a的值即可；
（2）①根据题意可设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，由抛物线的顶点为，即可得出结果；②由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，令，求出的值，即点的坐标，即可得出结论；
（3）根据题意可得点的纵坐标为4，令中，求出符合实际的x值，得到点M的坐标，求出所在直线的解析式为，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，根据这条钢架与平行，设该钢架所在直线的解析式为，由该钢架与水滑道有唯一公共点，联立，根据方程组有唯一解，求出，即该钢架所在直线的解析式为，点H与点O重合，根据，，，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，
设水滑道所在抛物线的解析式为，
将代入，得：，即，
，
水滑道所在抛物线的解析式为；
（2）解：①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，
则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称，
，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即，
∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：；
由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，
令，则，即
或（舍去，不符合题意），
点，
，
，
，
此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；
（3）解：根据题意可得点的纵坐标为4，
令，即，
（舍去，不符合题意）或，
，
设所在直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
所在直线的解析式为，
如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，
这条钢架与平行，
设该钢架所在直线的解析式为，
联立，即，
整理得：，
该钢架与水滑道有唯一公共点，
，
即该钢架所在直线的解析式为，
点H与点O重合，
，，，
，
这条钢架的长度为米．
【巩固练习1】（四川攀枝花·中考真题）第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角的跳台A点以速度沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，，且．忽略空气阻力，请回答下列问题：
(1)求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？
(2)以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；
(3)若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？
【答案】(1)该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m
(2)
(3)他飞行2s后，垂直下降了22.5m
【分析】（1）以A为原点，建立平面直角坐标系．过点B作轴于点D．在中，利用求出即可；
（2）利用勾股定理求出，得到点B坐标，即可求出抛物线的解析式；
（3）将代入（2）的解析式求出y值即可．
【详解】（1）
解：如图，以A为原点，建立平面直角坐标系．
过点B作轴于点D．
在中，，
答：该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m；
（2）
解：在中，，
，
由题意抛物线顶点为，经过．
设抛物线的解析式为，
则有，
，
抛物线的解析式为．
（3）
解：当时，，
他飞行2s后，垂直下降了22.5m．
【巩固练习2】（2024·甘肃兰州·中考真题）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下：
(1)根据上表，请确定抛物线的表达式；
(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度．
【答案】(1)抛物线的表达式
(2)水火箭距离地面的竖直高度米
【分析】本题主要考查二次函数的性质，
根据题意可设抛物线的表达式，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为，代入求解即可；
由题意知，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度．
【详解】（1）解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式，
由表格得抛物线的顶点坐标为，则，解得，
则抛物线的表达式，
（2）解：由题意知，则，
那么，水火箭距离地面的竖直高度米．
【巩固练习3】（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．
(1)若火箭第二级的引发点的高度为．
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．
(2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过．
【答案】(1)①，；②
(2)
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）①将代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可；
（2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解．
【详解】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为
∴抛物线和直线均经过点
∴，
解得，．
②由①知，，
∴
∴最大值
当时，
则
解得，
又∵时，
∴当时，
则
解得
∴这两个位置之间的距离．
（2）解：当水平距离超过时，
火箭第二级的引发点为，
将，代入，得
，
解得，
∴．
【巩固练习4】（2025·江西·模拟预测）综合与实践
根据以下素材，完成探究任务．
城墙建多高才能抵御敌方的进攻？
【素材1】图1是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．
【素材2】如图2，防守方的护城墙垂直于地面，墙高，进攻方把“发石车”放置在距处的处，石块从处竖直方向上的处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为时，石块离地面的高度最高，最高高度为．
【解决问题】
(1)当时．
①建立适当的平面直角坐标系，求抛物线（石块运动轨迹）的解析式；
②进攻方的石块能飞进防守方的城墙吗？若能，城墙应加建多高以上，才能让进攻方的石块飞不进防守方城墙；若不能，请说明理由．
(2)问：石块初发点与的距离在什么范围内，防守方无须加高城墙？
【答案】(1)①抛物线的解析式为；②进攻方的石块能飞进防守方的城墙，城墙应加建以上
(2)当时，防守方无须加高城墙
【分析】本题考查了二次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
（1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，
则，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可；
②令，求出值，即可判断进攻方的石块能飞进防守方的城墙，用求出的值减去城墙高度即可得到城墙应加建多高；
（2）设抛物线的解析式为，，则，得到，抛物线的解析式为，根据题意可得：当时，，即可求解．
【详解】（1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，
，，
，
设抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
②进攻方的石块能飞进防守方的城墙，
，，
，
令，则，
，
进攻方的石块能飞进防守方的城墙，
，
城墙应加建以上；
（2）设抛物线的解析式为，，则，
将代入抛物线解析式得：，
，
抛物线的解析式为，
当时，，
解得：，
当时，防守方无须加高城墙．
【题型8】 与物理结合的跨学科问题（如变速运动，电阻等）
【例题1】（24-25九年级上·江西赣州·期末）【课题学习】
学习主题：探究电流最值
课题背景：数学在电工电子中有着广泛的应用，可以帮助工程师进行电路设计和分析，控制系统设计，信号处理等工作，这些工作需要遵循物理学的规律，我们知道函数是描述变化规律的一种数学模型，欧潭数学探究小组受电流和电压间关系式的启发，以探究“探究电流最值”为主题展开项目式学习．
学习素材：
研究步骤：
1.画出电路图．在如图1所示的电路中，，，滑动变阻器的最大电阻，其等效电路图如图2所示，其中．
2.根据电路图连结实验器材，图略．
3.闭合开关，在滑片从端滑到端的过程中，观察电流表的示数，记录相关数据．

解决问题：
(1)在素材1中，当 时，场地的面积最大；
(2)推测素材2中哪个式子的积最大，并用函数知识说明理由；
(3)电流表表示数是否存在最小值，若存在，求出电流表示数的最小值．若不存在请说明理由．
【答案】(1)15
(2)和的积最大，理由见解析
(3)存在，，最小值为
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，正确列出二次函数解析式是解题关键．
（1）根据题意，矩形一边长，则另一边长为，则有，结合二次函数的性质即可获得答案；
（2）设其中一个因数为，则另一个因数为，所以（，且为正整数），结合二次函数的性质即可获得答案；
（3）设，则，总电流为，则有，由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小，再设，，结合二次函数的性质即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意，矩形一边长，则另一边长为，
所以，，
所以，当，场地的面积最大，最大为225平方米；
故答案为：15；
（2）和的积最大，理由如下：
设其中一个因数为，则另一个因数为，
则（，且为正整数），
对称轴为，因为是正整数，且，
所以取50或51时，y最大为2550；
（3）设，则，，设总电流为，
则，
由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小，
设，
∵，则抛物线开口向下，且，
∴当时，取最大值为25，
此时取最小值为，两支路电阻分别为和，两支路电阻相等，
∴当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，最小值为2．
【巩固练习1】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）
【答案】任务一：；任务二：；任务三：车速不超过时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生．
【分析】任务一：根据列式表示即可；
任务二：把代入任务一所得函数解析式计算即可求解；
任务三：把代入任务一所得函数解析式计算即可求解；
本题考查了二次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键．
【详解】解：任务一：由题意得，，
故答案为：；
任务二：当时，；
任务三：把代入得，，
解得（不合，舍去），，
答：车速不超过时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生．
【巩固练习2】（2024·广东深圳·二模）【项目化学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用.
实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据．
任务一：数据收集
记录的数据如下：
根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中作出v与x的函数图象、y与x的函数图象：
（1）请在图（b）中画出v与x的函数图象：
任务二：观察分析
（2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中v与x的函数关系为一次函数关系，图（c）中y与x的函数关系为二次函数关系．请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式：（不要求写出自变量的取值范围）
任务三：问题解决
（3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离：
（4）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以2的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，则n的取值范围应为______．
【答案】
（1）作图见详解
（2）；
（3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离
（4）
【分析】（1）利用描点法解答即可；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）令，求得小球停下来的时间，再将代入与的函数关系式解答即可；
（4）假定经过秒小球追上小电动车得到关于的一元二次方程，令，得到关于的不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】解：（1）画出与的函数图象如下：
（2）由（b）中图象可知：与的函数关系为一次函数关系，
设，代入，得：
，
解得：，
与的函数关系为；
设代入，得：
，
所得：，
与的函数关系式为；
（3）当时，
解得：．
将代入得：
．
当黑球在水平木板停下来时，此时黑球的滑行距离．
（4）假定经过秒小球追上小电动车，
，
．
由题意：，
．
若黑球不能撞上小车，则的取值范围为．
故答案为：．
【巩固练习3】（24-25九年级·广东深圳·阶段练习）【项目式学习】
项目主题：高铁建设与运营中的数学挑战
项目背景：随着中国经济的快速发展，高速铁路网络已经覆盖了全国大部分地区．假设某城市计划建设一条新的高铁线路，以缩短与邻近城市的旅行时间．数学小组的同学在查阅相关资料的情况下，开展了相关探究．
素材一：为了保证安全，高铁列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止，都需要一定的时间，假设加速度和减速度都是常数且加减速过程中，列车速度随时间变化的关系为：，其中是最终速度，是初始速度，是加速度（或减速度），是时间．
素材二：列车将保持以最高速度匀速行驶一段距离，已知列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止所需的路程相同，均为千米，时间也相同，均为秒．
素材三：匀加速（即加速度不变）或匀减速过程中，在单向行驶时，路程与运动时间的关系为：，其中：是路程，是初始速度，是加速度（或减速度），是时间．
任务—：理解与计算
（1）如果高铁列车的最高速度千米/小时，加速度米/秒，则从静止加速到最高速度所需的时间__________秒．
（2）在（1）的条件下，列车从静止加速到最高速度所需的最小路程__________千米．
任务二：应用与推理
（3）在（1）的条件下，假设高铁线路全程千米中，除去两端的加减速路程，列车以最高速度行驶的距离为，请直接写出列车全程行驶的时间的表达式．（单位：小时）
任务三：设计与分析
（4）假设距某站台千米有一辆高铁正以千米/小时的速度驶来，由于某人从站台跳入轨道捡手机，列车需紧急停车，若减速度米/秒，列车能否安全停车？分析计算后的答案，结合现实，说说你的想法．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）列车不能安全停车，理由见解析．
【分析】本题考查二次函数的应用，
（1）根据素材一得，将数据代入计算即可；
（2）根据素材三和素材二，将数据代入求出，即可得到；
（3）根据“速度＝路程÷时间”建立函数关系式即可；
（4）求出安全停车的路程，再与千米比较即可；
正解理解题意，确定各数量的关系是解题的关键．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，千米/小时米/秒，米/秒，
∴（秒），
∴从静止加速到最高速度所需的时间秒，
故答案为：；
（2）由（1）知：，，，
∴（米），
∵米千米
∴列车从静止加速到最高速度所需的最小路程千米，
故答案为：；
（3）∵加速和减速时间都是秒且加减速路程都是千米，
∴加速和减速的总时间为秒小时，
∴匀速行驶的时间为小时，匀速行驶的路程为千米，速度为千米/小时，
∴，
∴，
∴列车全程行驶的时间的表达式为；
（4）∵，千米/小时米/秒， 米/秒，
∴（秒），
∴（米）（千米），
∵千米千米
∴列车不能安全停车．
【题型9】 新定义问题
【例题1】（2024·广东深圳·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)①点的“纵横值”为 ；
②求出函数的“最优纵横值”；
(2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
(3)若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
【答案】(1)①8；②2
(2)4
(3)5或
【分析】本题以新定义题型为背景，考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解最优纵横值的定义是解题的关键．
（1）①根据定义直接求解即可；②根据定义先求出，即可求解；
（2）先确定函数的解析式为，再由的最优纵横值为5，得到，即可求解；
（3）先求，再分类讨论若，若，两种情况即可求解；
【详解】（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为，
故答案为：
②，
∵，
∴
∴函数的“最优纵横值”为2
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：
∴
∴
∵最优纵横值为5，
∴
∴
（3）解：
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
【例题2】（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．
【背景】已知二次函数（c为常数），
(1)若记“三倍点”D的横坐标为t，则点D的坐标可表示为______；
(2)若该函数经过点，求出该函数图象上的“三倍点”坐标；
(3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，直接写出c的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据“三倍点”的定义即可得解；
（2）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将代入函数解析式计算即可得解；
（3）由题意可得，“三倍点”所在的直线为，再将问题转化为在的范围内，二次函数与至少有一个交点，求解即可．
【详解】（1）解：由“三倍点”的定义可得，点D的坐标可表示为；
（2）解：将代入得，
解得：，
∴，
将代入得，
解得：，
∴该函数图象上的“三倍点”坐标为；
（3）解：由题意可得，“三倍点”所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，即在的范围内，二次函数与至少有一个交点，
令，
整理得：，
则，
解得：，
把代入得，代入得，
∴，
解得：，
把代入得，代入得，
∴，
解得：，
综上所述，的取值范围为．
【巩固练习1】（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）综合与实践
【生成概念】
抛物线 L：与 y轴交于点 A，若抛物线上的点和抛物线 L上的点关于点 A 中心对称，则称 是 L的“兄弟抛物线 ”．
【感知特例】
（1）已知抛物线 ，写出 L 的“兄弟抛物线”的解析式，并画出抛物线 L和．
【代数推理】
通过代数推理证明抛物线 L图象的性质：从特定的条件开始，利用代数的定义、公式、运算 法则，以及等式和不等式的性质，进行逻辑推理，以验证已知的结果或得出结论，这一过程称为代数推理．我 们不妨来试试．
运用代数推理证明：抛物线 的图象是轴对称图形，对称轴是直线 x =﹣1．证明：在抛物线 L 上任取一点，则
点 M 关于直线x =﹣1对称的点 ，
∵＝＝b，
∴点 N 也在抛物线 的图象上，
∵点 是抛物线 上的任意一点，它关于直线对称的点 都在抛物线 的图象上，
∴抛物线 的图象是轴对称图形，对称轴是直线．
（2）仿照上述方法，运用代数推理证明：抛物线 与L的“兄弟抛物线”关于点A中心对称．
【拓展延伸】
（3）智慧小组发现抛物线 L：和 L的“兄弟抛物线”这两抛物线的顶点所连直线 l 和 m，n有一定的关系，请你求出直线 l 与 x 轴正半轴夹角 θ 的正切值（可用 m 、n 表示）．
【答案】（1）；图象见解析（2）见解析（3）
【分析】本题主要考查了中心对称的性质、二次函数的图象与性质、二次函数上点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识和理解题意是解题关键．
（1）根据定义直接写出即可，然后列表、描点、连线画图即可；
（2）在L任取一点M，写出M关于对称的点的坐标，证明其在上即可；
（3）根据前面思路分别写出两顶点坐标，再将坐标转化为线段长度求解即可．
【详解】解：L的“兄弟抛物线”的解析式为，图象如图所示：
（2）运用代数推理证明：抛物线与L的“兄弟抛物线”关于点A中心对称，
证明：在抛物线L上任取一点，则，
点M关于点成中心对称的，的解析式为，
∵，
∴点N在抛物线的图象上，
∵点是抛物线上的任意一点，它关于点中心对称的点都在抛物线的图象上，
∴抛物线的图象上的任意一点关于点中心对称的点都在抛物线的图象上．
同理，抛物线的图象上的任意一点关于点中心对称的点都在抛物线的图象上．
∴抛物线与L的“兄弟抛物线”关于点A中心对称．
（3）∵抛物线的顶点坐标为，点，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴.
【巩固练习2】（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）二次函数的图象交x轴于原点O及点A．
【感知特例】
（1）当时，如图1，抛物线上的点B，O，C，A，D分别关于点A中心对称的点为、、、、，如表：
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．
【形成概念】
我们发现形如（1）中的图像上的点和拋物线L上的点关于点A中心对称，则称是L的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线L的“孔像抛物线”．
【探究问题】
（2）①当时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为________；
②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是________（填“”或“”或“”或“”，其中）；
③若二次函数及它的“孔像拋物线”与直线有且只有三个交点，求m的值．
【答案】（1）①；②见解析；（2）①；②；③
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．
（1）①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；
（2）①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②结合（1）②的图象以及（2）①的图象即可回答；③根据“孔像抛物线”的性质求得图象L的顶点为，则图象的顶点为 ，再根据题意即可求解．
【详解】解：（1）①∵点与点关于点A中心对称，
∴点的坐标为，即，
补全表格如下：
②描点，连线，得到的图象如图1所示．

（2）①当时，抛物线为，对称轴为，
它的“孔像抛物线”的解析式为，对称轴为．
画出草图如图2所示：

∴抛物线L与它的“孔像抛物线”的函数值都随着x的增大而减小．
则x的取值范围为．
②画出草如图3所示．

由图象知，这条抛物线的解析式只能是．故答案为．
③，设顶点为，
过点作轴于点，“孔像抛物线”的顶点为，过点作⊥x轴于点，

由题意，可知．得，
∴．
∵抛物线及“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，
∴或．
解得或0．
当时，与只有一个交点，不合题意，舍去．
∴．
【巩固练习3】（24-25九年级·辽宁沈阳）经验回顾：
初中阶段，我们先后学习了一次函数，反比例函数和二次函数的有关知识．在研究每一种函数的图象和性质时，都运用了数形结合思想，通过画图，观察，分析，对比等方式，经历了由“特殊”到“一般”的探究过程．
请你运用所学知识和方法解决下列问题：
阅读理解：
二次函数中，具有这样图象特征：开口方向和形状都相同，且顶点在同一直线上的所有函数统称为“同线函数”．例如：同线函数C：（c是常数）中的函数如的图象的开口方向和形状都相同，且顶点都在y轴上．
问题解决：
已知：同线函数M：（m是常数）．
(1)填表，特例分析：
(2)根据（1）特例分析，求函数（m是常数）的图象顶点所在直线的表达式；
(3)已知同线函数K（k是常数）中的一个函数的图象顶点在第二象限内，将该函数沿坐标轴方向平移7个单位后与同线函数M中的一个函数重合，求函数的表达式；
(4)若满足（3）中条件且时，将函数的图象在上方的部分沿直线向下翻折后，得到新函数Q．当直线与新函数Q的图象恰有3个公共点时，请直接写出b的值．
【答案】(1)
(2)
(3)（或顶点式）
(4)或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）配成顶点式求顶点坐标；
（2）先求出顶点，列出顶点和之间的关系即可得解；
（3）分类讨论，沿轴左右平移或轴上下平移讨论，将新顶点坐标代入中求即可得解；
（4）根据题意得，先求出与的交点坐标，画出图形，分类讨论求解即可．
【详解】（1），顶点为，
，顶点为，
，顶点为，
故答案为：；
（2），
∴顶点为，
即，
∴顶点所在直线的表达式为；
（3）∵同线函数，
∴顶点坐标为，
∵顶点在第二象限，
，
由题意可知，平移后的顶点在直线上，
①沿轴向右平移7个单位，
此时顶点坐标为，
，
∴函数的解析式为；
②沿轴向左平移7个单位，
此时顶点坐标为，
，与题意矛盾，故舍去；
③沿轴向上平移7个单位，此时顶点坐标为，
，
解得，与题意矛盾，故舍去；
④沿轴向下平移7个单位，此时顶点坐标为，
，
解得，
，
∴函数的解析式为；
综上，函数的表达式为或；
（4）∵，
∴函数的表达式为，
令，
解得或6，
如图，，
当直线经过点时，则直线与图象有3个交点，
此时，
，
当直线与在下方的部分只有一个交点时，则直线与图象有3个交点，
令
即
解得；
综上，的值为或．
【巩固练习4】（24-25九年级上·江西吉安·期末）定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且顶点的横、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的伴随函数．如与互为伴随函数．
(1)的伴随函数的表达式为 ；
(2)若的图像的顶点为，且过它的伴随函数的图像顶点．
求证：这两个函数图像的交点为；
如图，点是在之间的图像的动点，轴交的图像于点，求长度的最大值．
【答案】(1)；
(2)详见解析；最大值为．
【分析】（）根据“伴随函数”的定义和二次函数的定义即可求解；
（）由，则顶点，求出它的伴随抛物线解析式为，然后当时，，则点在图象上，当时，，从而求证；
设，则， 故有，然后根据二次函数的性质即可求解；
本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
【详解】（1）解：，
∴顶点为，
∴伴随抛物线的顶点为，
∴伴随抛物线的解析式为；
（2）证明：∵，
∴顶点，
∴它的伴随抛物线的顶点为，
∴，
当时，，
∴点在图象上，
当时，，
∴点在图象上，
∴这两个函数图像的交点为，；
解：由可知：，，，，
设，
∵轴交的图像于点，
∴，
∴，
∵点在，之间，
∴，
当时，值最大，最大值为．
【题型10】 抛物线中的平移、翻折抛问题
【例题1】（24-25九年级·江苏宿迁·阶段练习）定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数互为“友好同轴二次函数”．例如：的友好同轴二次函数为，已知：与互为“友好同轴二次函数”．
(1)求：的“友好同轴二次函数”的表达式；
(2)若点，在的图象上，且，求m的取值范围；
(3)抛物线，交于A，B两点，点B在点A的右侧，若直线以每秒2个单位长度的速度沿y轴向下运动，当直线与抛物线，共有4个交点时，求直线平移时间t的范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质；
（1）设的表达式为，根据“友好同轴二次函数”得定义求解即可；
（2）求出当时，得到，再结合图象可知，当时，；
（3）先求出，，再画出函数图象，结合函数图象求解即可．
【详解】（1）解：设的表达式为，
根据题意可得，，
解得，
∴：的“友好同轴二次函数”的表达式为：；
（2）解：由（1）知图象的对称轴为直线，抛物线图象如图所示，
当时，则，
解得，
结合图象可知，当时，；
（3）解：联立，
解得或，
∵抛物线，交于A，B两点，点B在点A的右侧，
∴，，
抛物线，函数图象如图，
由图象可得，若直线以每秒2个单位长度的速度沿y轴向下运动，则平移距离为，当直线与抛物线，共有4个交点时，，解得，
∴直线平移时间t的范围为．
【例题2】（2024·广东深圳·三模）【项目式学习】
项目主题：建筑学中“拱”的建造及装饰
项目背景：拱结构由于其美观且坚固的特点，在古代建筑中得到了广泛的应用，并在现代建筑中也有不少应用．目前已知对拱最早的使用是公元前年美索不达米亚地区的砖拱，公园前年两河流域（现在伊拉克中部）王朝的近似抛物线型砖拱已经横跨近米、高米了（如图）．（注：抛物线拱，就是由截面均为抛物线形状弧构成的拱．）
项目素材：
素材：某地在进行景观改造过程中模拟建设了一座与王朝的砖拱同样跨度（即图中的地面米）和高度（最高点离地面米）的抛物线拱（图（）为其中一处抛物线拱截面）．
在图（）的抛物线拱截面距离地面米高的墙面上安装有一根用于灯光布置的横梁．
素材：图（）为另一处抛物线拱截面．景点要求工人师傅在抛物线拱上做一个正方形（）装饰品，要求两点在抛物线上（在的左侧），是抛物线的顶点，且与地面垂直．
素材：如图（），景点管理公司利用素材1中的横梁安装了一个半径为米的圆形灯光饰品，后来为了美观，公司要求安装灯光的师傅将圆形灯光饰品改装成月牙形的灯光饰品，安装师傅于是将原圆形灯光饰品的一段劣弧沿一条直线翻折，交于点．
项目任务：
任务：素材中横梁的长度是多少米?（结果若有根号则保留根号）
任务：素材中工人师傅的安装计划若能实现，那么点距离地面的高度是 米．
任务：在素材中，经测量发现，．请直接写出两月牙尖的距离．
【答案】任务：（米）；任务：；任务：两月牙尖的距离为米
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、求函数解析式、正方形的性质、圆周角定理等知识点，正确建立直角坐标系成为解题的关键．
任务：如图（a）建立直角坐标系：则，然后运用待定系数法求出函数解析式，再令求得，进而确定即可解答；
任务2：如图连接交y轴于E，根据正方形的性质可得，设，则，然后将代入计算求出点C的坐标即可；
任务3：如图：设圆的圆心为O，连接,作于I，先说明为圆O的直径，再根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，进而可得、，先用勾股定理可得，最后再运用勾股定理即可解答．
【详解】解：任务：如图（a）建立直角坐标系：则，
设抛物线的解析式为：，
∴，解得：，
∴，
令，则有，解得：,
∴，
∴（米）．
任务2：如图连接交y轴于E，
由题意可得：，
设，则，
∵抛物线解析式为，
∴，解得：或0（舍弃）
∴，
∴点距离地面的高度是米．
故答案为．
任务3：如图：设圆的圆心为O，连接,作于I，
∵，，
∴，
∵半径为米的圆形灯光饰品，
∴为圆O的直径，
∴,
∵所对的圆周角相等，即等于，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴（米）．
【巩固练习1】（2024·广东深圳·模拟预测）数学活动：如何提高篮球运动罚球命中率—以小华同学为例活动背景：某学校体育节进行班级篮球比赛，在训练过程中发现小华同学罚球命中率较低，为帮助小华同学提高罚球命中率，该班数学小组拍摄了如下图片并测量了相应的数据（图片标注的是近似值）．
(1)模型建立：如图所示，直线AE是地平线，A为小华罚球时脚的位置，篮球在运动过程中B、D、F为篮球的三个不同位置，B点为球出手时候的位置．已知，篮球运动轨迹是抛物线的一部分，数学小组以A、B、C、D、E、F中的某一点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，计算出篮球的运动轨迹对应的抛物线解析式为，根据解析式，请你判断该数学小组是以点 （填A、B、C、D、E、F中的一个）作为坐标原点．
(2)问题解决：已知篮球框与罚球线水平距离为4米，距离地面为3米，请问在（1）的情况下，小华的这次罚球能否罚进？并说明理由．
(3)模型应用：如下图所示为抛物线的一部分函数图象，抛物线外一点，试通过计算说明在不改变抛物线形状的情况下，把原抛物线向上平移多少个单位，能使平移后的抛物线经过点P．
【答案】(1)B
(2)不能罚进，理由见解析
(3)个单位
【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键．
（1）由抛物线解析式中常数项为0可得抛物线经过坐标原点，假设以点B为坐标原点，计算出点D和点F的坐标，判断点D和点F是否在抛物线上即可，若不在，再假设点D或F为坐标原点；
（2）先表示出篮球框所在位置的坐标，再判断该坐标是否在抛物线上即可；
（3）原抛物线向上平移m个单位后的解析式为，将代入求出m的值即可．
【详解】（1）解：抛物线解析式为，
抛物线经过坐标原点，
B、D、F可能为坐标原点，
，
当以点B为坐标原点时，点D的坐标为，即，
点F的坐标为，即，
当时，，
当时，，
点D和点F在抛物线上，
该数学小组是以点B为坐标原点，
故答案为：B．
（2）解：不能罚进，理由如下：
在（1）的情况下，篮球框所在位置的坐标为，即，
当时，，
点不在抛物线上，
小华的这次罚球不能罚进．
（3）解：设原抛物线向上平移m个单位，能使平移后的抛物线经过点P．
则平移后的抛物线解析式为，
将代入，得：，
解得，
即原抛物线向上平移个单位，能使平移后的抛物线经过点P．
【巩固练习2】（24-25九年级下·吉林·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交于点点．、在抛物线上，其横坐标分别为．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)若，当点、的纵坐标之差为1时，求点的坐标；
(3)该抛物线在点、之间的部分〔包括、两点）记作图像．设图像上的点的纵坐标为，当时，求的值；
(4)过点作直线轴，将该抛物线在点右侧的部分沿直线翻折，得到的图像与该抛物线在点及点左侧的图像组成一个新图像记作图像．当直线与图像有三个公共点时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)或
【分析】（1）根据抛物线关于直线对称和与y轴交于点即可求得b、c的值，从而求得抛物线对应的函数表达式；
（2）根据点B横坐标求得点B纵坐标，根据点A、B的纵坐标之差为1，列方程，解方程即可求解；
（3）根据抛物线关于直线对称可得其顶点坐标为，开口向下，故其纵坐标不会，要，则只需要B、C纵坐标即可，根据B、C横坐标和抛物线函数表达式可求得B、C纵坐标，根据不等式，结合一元二次方程求解，即可解题；
（4）根据抛物线的图象和翻折与对称轴的性质可知，要直线与图象N有三个公共点，故点B坐标不能为抛物线顶点，考虑点B在直线两侧的情况，结合二次函数与一元二次方程及不等式求解，即可解题．
【详解】（1）解：物线（b、c为常数）的对称轴为直线，与y轴交于点，
，，
，
抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：点、在抛物线上，其横坐标分别为，
将m其代入得：，
点B的纵坐标为：，
当，当点A、B的纵坐标之差为1时可得：
，解得：或（舍去），
当时，
点B的坐标为；
（3）解：由（1）可知，抛物线对应的函数表达式为，其对称轴为直线，
其函数图象开口向下，顶点为，
，，，
，
点B、C在抛物线上，其横坐标分别为m，，要使图象M上的点的纵坐标范围为，可得或，
当时，解得（舍去）或

当时，解得（舍去）或
综上所述，当时，或；
（4）解：点B在抛物线上，其横坐标分别为m，抛物线对应的函数表达式为，
点的坐标为，
要直线与图象N有三个公共点，则点B不在的顶点上，
当点B在抛物线的对称轴左侧时，则，
又顶点为，
∵，设关于对称的点为
则，即
∴
解不等式①得：或（舍去）
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
当点B在抛物线的对称轴右侧时，有，
此时有
解不等式③得：（舍去）或
解不等式④得：
∴不等式组的解集为：
综上所述，m的取值范围为或．
【巩固练习3】（24-25九年级上·湖北荆门·期中）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，直线经过两点．
(1)求出该二次函数的解析式；
(2)已知点为直线上的一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点．
①当时，求点的横坐标；
②当的长度随的增大而增大时，直接写出的取值范围．
(3)如图，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有个公共点时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①或或或；②或
(3)
【分析】（）利用一次函数求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解；
（）①由题意得，，即得，根据对称轴为直线，可得，即得，解方程即可求解；②由，分当或时和当时，结合二次函数的性质解答即可求解；
（）根据折叠可得翻折上来的部分抛物线解析式为，再分别求出直线与新图象恰好有个公共点时的值，进而即可求解．
【详解】（1）解：在中，令得，令得，
∴，，
将，代入 得，
，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：①如图，
∵点为直线上的一点，其横坐标为，
∴，，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵，
∴，
∴或 ，
解得或或或，
∴点横坐标为或或或，
②由①知，，
当或时，，
∴关于的抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，的长度随的增大而增大，
又∵或，
∴当时，的长度随的增大而增大；
当时，，
∴关于的抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，的长度随的增大而增大，
又∵，
∴时，的长度 随的增大而增大；
综上，当或时，的长度随的增大而增大；
（3）解：在中，令得，
解得或，
∴，，
∵，
∴抛物线的顶点为，
∴将抛物线的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，则翻折上来的部分抛物线顶点为，
∴翻折上来的部分抛物线解析式为，
直线向上平移个单位长度得到直线，
当直线经过点或与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点， 如图：
①当直线经过点时， 把代入得，，
解得；
②当直线与相切时，即直线与抛物线只有一个交点，此时方程只有一个解，
即方程的判别式，
∴，
解得；
综上，直线与这个新图象有个公共点时，的取值范围为．
【题型11】 其它问题
【例题1】（2023·广东深圳·中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；

(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；

(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．

【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
（3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
∵四边形为矩形，为的中垂线，
∴，，
∵，
∴点，代入，得：
，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵四边形，四边形均为正方形，，
∴，
延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，

∴，
∴，
∵，当时，，解得：，
∴，，
∴，
∴；
（3）∵，垂直平分，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴，
∵太阳光为平行光，
设过点平行于的光线的解析式为，
由题意，得：与抛物线相切，
联立，整理得：，
则：，解得：；
∴，当时，，
∴，
∵，
∴．
【例题2】（2023·浙江衢州·中考真题）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．

(1)求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围），
(2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s．
①当时，求出此时龙舟划行的总路程，
②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标；
(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）．
【答案】(1)
(2)①龙舟划行的总路程为；②该龙舟队能达标．
(3)该龙舟队完成训练所需时间为
【分析】（1）把代入 得出的值，则可得出答案；
（2）①设，把代入，得出，求得，当时，求出，则可得出答案；
②把代入，求得，则可得出答案；
（3）由（1）可知，把代入，求得．求出，则可得出答案．
【详解】（1）把代入 得，
解得，
启航阶段总路程关于时间的函数表达式为；
（2）①设，把代入，得，
解得，
．
当时，．
当时，龙舟划行的总路程为．
②，
把代入，
得．
，
该龙舟队能达标．
（3）加速期：由（1）可知，
把代入，
得．
函数表达式为，
把代入，
解得．
，
．
答：该龙舟队完成训练所需时间为．
【巩固练习1】（2025九年级下·全国·专题练习）综合与实践
问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红；
第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
(1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
(2)求6米材料恰好用完时与的长．
【答案】(1)见解析，
(2)的长为4米，的长为2米
【分析】本题考查二次函数的实际应用：
（1）根据题意以点O为原点建立坐标系，根据垂直平分，得出，根据设抛物线的函数表达式为，将代入求出a的值即可；
（2）设点E的坐标为，可得，，，根据求出m的值即可．
【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，
∵所在直线是的垂直平分线，且，
∴．
∴点B的坐标为，
∵，
∴点P的坐标为，
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：．
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵点D，E在抛物线 上，
∴设点E的坐标为，
∵，交y轴于点F，
∴，，
∴．
∵在中，，
∴．
∴，
根据题息，得，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴．
∴，
答：的长为4米，的长为2米．
【巩固练习2】（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．

任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4：见解析
【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可；
任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解；
任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值；
（2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可；
任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素．
【详解】解：任务1：变化量分别为，；；
；；
任务2：设，
∵时，，时，；
∴
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为．
任务3：（1）当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴
．
（2）设，则
．
当时，w最小．
∴优化后的函数解析式为．
任务4：时间刻度方案要点：
①时间刻度的0刻度在水位最高处；
②刻度从上向下均匀变大；
③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）．
【巩固练习3】（24-25九年级上·江西南昌·期末）综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动：已知抛物线，点、是抛物线上不重合的两点，点的横坐标为，点的横坐标为（为常数）．抛物线上点、之间的部分（包括点、）为图像，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．
初步感知
（1）连接，当与轴平行时，则点坐标为______；
（2）当时，求与之间的函数关系式，并写出相应的取值范围；
延伸探究
（3）以原点为中心，边长为2构造正方形，正方形的边与坐标轴垂直或平行，当点在正方形的内部且图象在正方形的内部（包括边界）的部分的最高点与最低点的纵坐标之差等于，请直接写出的值．
【答案】（1）；（2）与之间的函数关系式；（3）的值为或或或
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正方形的性质，分类讨论思想等相关知识，根据题意进行正确的分类讨论是解题的关键．
（1）由于抛物线解析式为求出，，然后根据与轴平行得出一元二次方程∴，然后解方程即可；
（2）当时，则，结合二次函数的图象解得，或，此时图象的最高点与最低点分别为，那么，即可得到与之间的函数关系式；
（3）分类讨论，结合图形列出方程，解之即可．
【详解】解：（1）∵点是抛物线上不重合的两点，点的横坐标为，点的横坐标为，
∴当时，；当时，；
∴，，
∵与轴平行，
∴，解得：（舍去），，
∴；
（2）当时，则，
结合二次函数的图象解得，或，
当时，此时图象的最高点与最低点分别为，如图，
∴
此时图象的最高点与最低点分别为，如图，
∴
∴与之间的函数关系式为；
（3）如图，点在正方形的外部，点在正方形的内部，当时，解得：或，
∴正方形的内部（包括边界）的部分的最高点纵坐标为与最低点的纵坐标，
∴，解得：或，
如图，点，点在正方形的内部，当时，即时，
∴正方形的内部最高点为纵坐标，最低点为纵坐标，
∴，解得：（舍去）或；
如图，点，点在正方形的内部，当时，
∴正方形的内部最高点为纵坐标，最低点为纵坐标，
∴，无实数根；
如图，点，点在正方形的内部，即时，
∴正方形的内部最高点为纵坐标，最低点为抛物线解析式顶点，
∴，解得：（舍去）或（舍去）；
如图，点在正方形的外部，点在正方形的内部，当时，
∴正方形的内部（包括边界）的部分的最高点纵坐标为与最低点的纵坐标，
∴，解得：，
综上可知：的值为：或或或．
问题
芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品
查询信息
深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米．

处理信息
如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，，分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端，位于线段上，且．一根琴弦固定在拱的对称轴处，其余16根琴弦对称固定在两侧，每侧各8根．记离拱端最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，为第9根，
测量数据
测得上桥起点与拱端水平距离为20米，最靠近拱端的“琴弦” 高9米，与之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为米．
解决问题
任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
任务2：求琴弦与拱端的水平距离及的值．
任务3：若需要在琴弦与之间垂直安装一个如图所示高为的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？
小组
线段
线段
线段
第一小组
小组
测仰角
测仰角
第二小组
《观景拱桥的设计》
驱动问题
1、如何利用函数模型，刻画观景拱桥的横截面？
2、如何铺设台阶地毯，保证观景拱桥的实惠性？
3、如何安装脚手架，保证脚手架的安全性？
4、如何设计射灯位置，保障观景拱桥的采光性？
项目背景
某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示：

任务1
建立模型
（1）在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点（长度单位：m），直接写出抛物线的解析式：
任务2
利用模型
（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元，求购买地毯需多少元？
任务3
利用模型
（3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG．已知“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离.
任务4
分析计算
（4）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点O处12米的地面M、N处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在拱桥的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度）
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2
为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
素材1
如图1，空地上有两条互相垂直的小路，，中间有一正方形水池，已知水池的边长为4米，，，且与的距离为10米，与的距离为8米．

素材2
现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计．
任务1
任务2
小明同学按如图2的设计，若米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）．

若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．

项目反思
如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明．

制定加工方案
生产背景
背景1
◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式．
◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件．
◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
背景2
每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：
①“风”服装：24元/件；
②“正”服装：48元/件；
③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理
现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：
服装种类
加工人数（人）
每人每天加工量（件）
平均每件获利（元）
风
y
2
24
雅
x
1
正
1
48
探究任务
任务1
探寻变量关系
求x、y之间的数量关系．
任务2
建立数学模型
设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务3
拟定加工方案
制定使每天总利润最大的加工方案．
如何制定商店的销售定价方案
素材1
商品成本：100元/件，每天进货120件，并且全部卖出；商品有A，B两种包装，目前的售价和日销量如表：

A包装
B包装
售价（元/件）
112
108
日销售量（件）
40
80

素材2
为了增加盈利，该商店准备降低A包装商品的售价，同时提高B包装商品的售价．通过市场调研发现，在一定范围内，A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，B包装商品售价每提高1元就少卖出2件．商店发现若按照当前的总销量销售A，B两种包装商品，最大总利润为1264元．
素材3
销售一段时间后，商店发现若减少A，B两种包装商品的总销量，A，B两种包装商品的销售总利润反而有所增长．为进一步增加盈利，商店决定将A，B两种包装商品的总销量减少10件．
任务1
探究商品销量：设每件A包装商品售价降低x元（x为整数），则A包装商品每日的总销售量为 件；设每件B包装商品售价提高y元（y为整数），则B包装商品每日的总销售量为 件．
任务2
探究商品售价：在每日A，B两种包装商品的总销量为120件的前提下，为使总利润达到最大，试求出此时A，B两种包装商品的售价．
任务3
确定定价方案：请设计一种A，B两种包装商品的定价方案，使一天的销售总利润超过1430元．（直接写出方案即可）
草苺销售问题
素材1
草莓是一种具有丰富营养和独特风味的水果，被誉为“水果皇后”．近期，“富兴”草莓园的草苺已成熟，可以进行采摘销售．销售渠道除了直接销售到城区外，还可以让市民去草苺园区内采摘购买．
素材2
今年4月第三周，该草莓园在城区和园区内的销售价格分别是15元/千克和20元/千克，一共销售了1000千克，销售总收入为17000元．
素材3
为了促进销量，进而增加销售收入，该草苺园决定4月第四周将城区每千克售价降低
元，园区内每千克售价打9折，预计城区和园区内的销量将分别比第三周增加和．
问题解决
任务1
该草苺园今年4月第三周城区和园区内分别销售了多少千克草苺？
任务2
若该草苺园今年4月第四周销售总额为元，请你用含的代数式表示．
任务3
若预计该草苺园今年4月第四周销售收入为20280元，求的值．
如何制定销售方案？
素材1
某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天其他成本费用为600元（水费、电费和人工费用等），为了便于结算，每份套餐的售价设为（元），且为整数，该店每天的利润设为（元）．
素材2
试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．
素材3
经周边餐馆的考察，该快餐店决定套餐的最高价格不超过15元．
问题解决
任务1
分析数量关系
（1）若每份套餐售价不超过10元，直接写出与的函数关系式为________．
（2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价定为多少元时，既能保证利润，又能吸引顾客：若不能，说明理由．
任务2
制定最优销售方案
（3）若要使每天利润达到最高，又能吸引顾客，则每份套餐的售价定为多少元，并求出最高利润．
队员
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
身高
1.70
1.70
1.73
1.60
1.68
1.80
1.60
素材一
太阳光线与地面的夹角叫做太阳高度角．冬至是北半球各地白昼时间最短、黑夜最长的一天；夏至是北半球各地黑夜时间最短、白昼最长的一天．设冬至这天正午时刻太阳高度角为α，夏至这天正午时刻太阳高度角为β．
素材二
厂家设计了可伸缩抛物线型遮阳棚，其侧面示意图如图1所示．曲线为遮阳棚，为遮阳棚安装在窗户上方的支架，，线段的长度称为遮阳棚的跨度．已知遮阳棚所在的抛物线与抛物线的形状相同．
素材三
如图2，为小明家的朝南窗户，测得，，窗户的高度为1.5米．为能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，在安装遮阳棚时，需根据实际计算遮阳棚的跨度（的长）．
素材四
春节前期，小明想在遮阳棚顶部挂一盏高为0.3米的灯笼（如图3）．如图4，灯笼与窗户的水平距离为m米，灯笼的底端（点D）与窗户的上沿（点B）的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点C）与悬挂点（点N）的距离为d米．
解决问题
任务1
求小明家所需的遮阳棚的跨度．
任务2
当时，求m的值．
任务3
现要求且，求d的取值范围．
问题驱动
某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽，称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米．
设计方案
方案一
方案二
设计类型
圆弧型
抛物线型
任务一
设计成圆弧型，求该圆弧所在圆
的半径．
设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式．
任务二
如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两座桥梁．
水平距离x/
竖直高度y/
水平距离x（m）
0
1
1.5
竖直高度y（m）
10
10
6.25
水平距离
0
1
竖直高度
10
10
乒乓球发球机的运动路线
素材一
如图1所示，乒乓球台规格是矩形，长为米，宽为米，球网高度为米某品牌．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O处的正上方米处P．

素材二
如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中线上，且球的运动路线是一条抛物线，且形状固定不变，在与P水平距离为1m的Q点正上方达到最高点，此时与桌面的高度为．并且乒乓球落在桌面的点M处，以O为原点，桌面中线所在直线为轴，建立平面直角坐标系．

素材三
如图3所示，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与O点的水平距离为3米的位置达到最高点，设球达到最高时距离桌面的高度为h米．
问题解决
任务一
研究乒乓球飞行轨迹及落点
（1）求出发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动的抛物线关系式，并求出点M与O的水平距离．
任务二
击球点的确定
（2）当时，运动员小亮想把球沿直线擦网击打到O点，他能不能实现，若能实现，请求出击球点位置的高度，若不能实现，请说明理由．
任务三
运动员移动的距离
（3）当时，运动员小亮的球拍A离点O的水平距离为，位于桌面上方，离桌面，且运动员挥拍的过程中，球拍的击打路线近似于一条直线，球拍与桌面的夹角为，如图3所示．当球飞行的高度在至时，小亮可以获得最佳击球效果．小亮想要成功击中乒乓球，球拍需要先向前平移，设球拍向前平移的距离为n，则n的取值范围为 ；
素材1
一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观在半径为2.1米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉（图1中的阴影部分）．
素材2
从喷泉口喷出的水柱成抛物线形，如图2是该喷泉时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为0.72米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为0.3米处离地面最高，高度为0.75米．
问题解决
任务1
建立模型
（1）以点为原点，OA所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式．
任务2
利用模型
（2）为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉．确定喷水口升高的最小值
任务3
分析计算
（3）喷泉口升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议．
绿化带灌溉车的操作方案
素材1
一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口0.9米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点．

素材2
路边的绿化带宽4米
素材3
绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人需要给树木“打针”．针一般打在离地面1.3米到2米的高度（不包含端点）．

问题解决
任务1
确定上边缘水流形状
建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式．
任务2
探究灌溉范围
灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请说明理由．
任务3
拟定设计方案
灌溉时，为了不影响行道树防治病虫害，喷洒水流不能喷到“打针”区段．那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针“是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给绿化部门建议，将行道树栽种在离绿化带右边沿的距离至少多少米才不影响行道树防治病虫害．
（参考数据）
素材
如图1，一个移动喷灌架射出的水流可以近似地看成抛物线． 图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是米． 当喷射出水流距离喷水头米时，达到最大高度米．
素材
现将喷灌架置于坡度为的坡地底部点处． 草坡的长度为米．
问题解决
任务
请在图中建立适当的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式．
任务
当喷灌架底部位于点处时，请通过计算说明水流能否喷灌到草坡最远处．
任务
草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的树需要被喷灌，当喷灌架底部仍然在点处时，请通过计算说明树能否被灌溉到．现将喷灌架向正后方向移动米，若要使树被喷灌到，求的取值范围．
（米）
0
1
2
3
4
（米）
（米）
0
1
2
3
4
（米）
飞行时间
0
2
4
6
8
…
飞行高度
0
10
16
18
16
…
水平距离
0
3
4
10
15
20
22
27
竖直高度
0
3.24
4.16
8
9
8
7.04
3.24
名称
内容
备注
素材1
用总长的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积随矩形一边长的变化而变化．
课本例题
素材2
观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大．
，，，，…，，
课本数学活动
素材3
串联电路的总电阻等于各串联电阻之和：
并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；
电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系．
物理学知识
安全驾驶：合理车距的保持艺术
背景
停车距离是指从司机观察到危险信号至车辆减速停下的过程中车辆行驶的距离，整个停车过程中车辆可看作匀速直线运动．
素材
司机观察到危险信号至踩下刹车的平均反应时间大约为秒，此反应距离满足；从司机踩下刹车到车辆完全停止，车辆可看作匀减速直线运动，车辆行驶的距离称为刹车距离，满足（其中为汽车制动加速度，在城市道路约为）整个停车距离为．
问题解决
任务一
认识研究对象
汽车的停车距离___（用含的代数式表示）
任务二
探索研究方法
若汽车行驶速度为，则求汽车的停车距离为多少米
任务三
尝试解决问题
某司机开车上班途中发现正前方米处发生追尾事故，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生．
运动时间
0
2
4
6
8
10
运动速度
10
9
8
7
6
5
滑行距离
0
19
36
51
64
75
…
A（________，________）
…
…
…
…
…
…
…
m的取值
（m是常数）
图象顶点坐标
（ ）
（ ）
（ ）
……
……
……
流水时间t/min
0
10
20
30
40
水面高度h/cm（观察值）
30
29
28.1
27
25.8