2025年中考数学压轴题型模型方与技巧(通用版)专题01八类最值问题汇总(原卷版+解析)特训

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc184774582" 模块一：将军饮马等8类常见最值问题 PAGEREF _Tc184774582 \h 2
\l "_Tc184774583" 【题型1】两定一动型（线段和差最值问题） PAGEREF _Tc184774583 \h 8
\l "_Tc184774584" 【题型2】 双动点最值问题（两次对称） PAGEREF _Tc184774584 \h 14
\l "_Tc184774585" 【题型3】动线段问题：造桥选址（构造平行四边形） PAGEREF _Tc184774585 \h 19
\l "_Tc184774586" 【题型4】垂线段最短 PAGEREF _Tc184774586 \h 24
\l "_Tc184774587" 【题型5】相对运动平移型将军饮马 PAGEREF _Tc184774587 \h 28
\l "_Tc184774588" 【题型6】化斜为直，斜大于直 PAGEREF _Tc184774588 \h 36
\l "_Tc184774589" 【题型7】构造二次函数模型求最值 PAGEREF _Tc184774589 \h 41
\l "_Tc184774590" 【题型8】通过瓜豆得出轨迹后将军饮马 PAGEREF _Tc184774590 \h 46
\l "_Tc184774591" 模块二：阿氏圆与胡不归最值问题 PAGEREF _Tc184774591 \h 51
\l "_Tc184774592" 【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线 PAGEREF _Tc184774592 \h 52
\l "_Tc184774593" 【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线 PAGEREF _Tc184774593 \h 59
\l "_Tc184774594" 模块三：阿氏圆与胡不归最值问题 PAGEREF _Tc184774594 \h 64
\l "_Tc184774595" 【题型1】两定点在圆外：向内取点（系数小于1） PAGEREF _Tc184774595 \h 66
\l "_Tc184774596" 【题型2】两点在圆内：向外取点（系数大于1） PAGEREF _Tc184774596 \h 74
\l "_Tc184774597" 【题型3】一内一外提系数 PAGEREF _Tc184774597 \h 76
\l "_Tc184774598" 【题型4】隐圆+阿氏圆 PAGEREF _Tc184774598 \h 78
\l "_Tc184774599" 模块四：线段拼接最值问题（逆等线模型） PAGEREF _Tc184774599 \h 85
\l "_Tc184774600" 【题型1】平移，对称或构造平行四边形 PAGEREF _Tc184774600 \h 86
\l "_Tc184774601" 【题型2】构造SAS型全等拼接线段 PAGEREF _Tc184774601 \h 91
\l "_Tc184774602" 【题型3】加权逆等线 PAGEREF _Tc184774602 \h 97
\l "_Tc184774603" 【题型4】取到最小值时对其它量进行计算 PAGEREF _Tc184774603 \h 107
\l "_Tc184774604" 模块五：构造旋转相似求最值（瓜豆模型） PAGEREF _Tc184774604 \h 112
\l "_Tc184774605" 【题型1】构造中位线 PAGEREF _Tc184774605 \h 122
\l "_Tc184774606" 【题型2】直线型轨迹（三种解题策略） PAGEREF _Tc184774606 \h 127
\l "_Tc184774607" 【题型3】线段和 PAGEREF _Tc184774607 \h 139
\l "_Tc184774608" 【题型4】圆弧型轨迹 PAGEREF _Tc184774608 \h 142
\l "_Tc184774609" 【题型5】加权线段和 PAGEREF _Tc184774609 \h 147
\l "_Tc184774610" 【题型6】路径长度类问题 PAGEREF _Tc184774610 \h 152
\l "_Tc184774611" 【题型7】取到最值时求其它量 PAGEREF _Tc184774611 \h 157
\l "_Tc184774612" 模块六：费马点最值问题 PAGEREF _Tc184774612 \h 163
\l "_Tc184774613" 【题型1】普通费马点最值问题 PAGEREF _Tc184774613 \h 173
\l "_Tc184774614" 【题型2】 加权费马点·单系数型 PAGEREF _Tc184774614 \h 183
\l "_Tc184774615" 【题型3】加权费马点·多系数型 PAGEREF _Tc184774615 \h 186
\l "_Tc184774616" 模块七：隐圆最值问题 PAGEREF _Tc184774616 \h 198
\l "_Tc184774617" 【题型1】定点定长得圆 PAGEREF _Tc184774617 \h 203
\l "_Tc184774618" 【题型2】直角的对边是直径 PAGEREF _Tc184774618 \h 209
\l "_Tc184774619" 【题型3】对角互补得圆 PAGEREF _Tc184774619 \h 214
\l "_Tc184774620" 【题型4】定弦定角得圆 PAGEREF _Tc184774620 \h 220
\l "_Tc184774621" 【题型5】四点共圆 PAGEREF _Tc184774621 \h 225
\l "_Tc184774622" 【题型6】相切时取到最值 PAGEREF _Tc184774622 \h 227
\l "_Tc184774623" 【题型7】定角定高面积最小、周长最小问题 PAGEREF _Tc184774623 \h 231
\l "_Tc184774624" 【题型8】米勒角（最大张角）模型 PAGEREF _Tc184774624 \h 236
\l "_Tc184774625" 模块八：二次函数中的最值问题 PAGEREF _Tc184774625 \h 241
\l "_Tc184774626" 一题可破万题山——二次函数最值常见模型小结，一题20问 PAGEREF _Tc184774626 \h 241
\l "_Tc184774627" 【题型1】铅垂高最值 PAGEREF _Tc184774627 \h 252
\l "_Tc184774628" 【题型2】构造二次函数模型求最值 PAGEREF _Tc184774628 \h 256
\l "_Tc184774629" 【题型3】几何构造求最值 PAGEREF _Tc184774629 \h 263
题型汇编
知识梳理与常考题型
模块一：将军饮马等8类常见最值问题
一、单动点问题
【问题1】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小
问题解决：连接AB，与l交点即为P，两点之间线段最短PA＋PB最小值为AB
【问题2】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小
问题解决：作B关于l的对称点B'⇒PB＝PB'，则PA＋PB＝PA＋PB'，当A，P，B'共线时取最小，原理：两点之间线段最短，即PA＋PB最小值为AB'
【问题3】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大
问题解决：连接AB，当A，B，P共线时取最大
原理：三角形两边之和大于第三边，在△AB'P中，|PA－PB'|≤AB'
【问题4】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大
问题解决：作B关于直线l的对称点B'⇒PB＝PB'，|PA－PB|＝|PA－PB'|
原理：三角形两边之和大于第三边，连接AB'，在△AB'P中|PA－PB'|≤AB'
二、双动点问题（作两次对称）
【问题5】在直线，上分别求点M，N，使△PMN周长最小
问题解决：分别作点P关于两直线的对称点P’和P''，PM＝P'M，PN＝P''N，
原理：两点之间线段最短，P'，P''，与两直线交点即为M，N，则AM＋MN＋PN的最小值为线段P'P''的长
【问题6】P，Q为定点，在直线，上分别求点M，N，使四边形PQMN周长最小
问题解决：分别作点P，Q关于直线，的对称点P’和Q'，PM＝P'M，QN＝Q'N
原理：两点之间线段最短，连接P'Q'，与两直线交点即为M，N，则PM＋MN＋QN的最小值为线段P'Q'的长，周长最小值为P'Q'＋PQ
【问题7】A，B分别为，上的定点，M，N分别为，上的动点，求最小值
问题解决：分别作，关于，的对称点，，则，，即所求
原理：两点之间距离最短，A'，N，M，B'共线时取最小，则AN＋MN＋BM＝A'N＋MN＋B'M≤A'B'
三、动线段问题（造桥选址）
【问题8】直线m∥n，在m，n上分别求点M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋BN的最小值
问题解决：将点B向上平移MN的长度单位得B'，连接B'M，当AB'M共线时有最小值
原理：通过构造平行四边形转换成普通将军饮马，AM＋MN＋BN＝AM＋MN＋B'M≤AB'＋MN
【问题9】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求的最小值
问题解决：将B点向左移动a个单位长度，再作B'关于直线l的对称点B''，当共线有最小值
原理：通过平移构造平行四边，

四、垂线段最短
【问题10】在直线，上分别求点A，B，使PB＋AB最小
问题解决：作关于的对称点，作于A，交于B，即所求
原理：点到直线，垂线段最短，
五、相对运动，平移型将军饮马
【问题11】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求AM＋AN的最小值
问题解决：相对运动或构造平行四边形
策略一：相对运动思想
过点A作MN的平行线，相对MN，点A在该平行线上运动，则可转化为普通饮马问题
策略二：构造平行四边形等量代换，同问题9.
六、瓜豆轨迹，手拉手藏轨迹
【问题12】如图，点P在直线BC上运动，将点P绕定点A逆时针旋转90°，得到点Q，求Q点轨迹？
问题解决：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．
原理：由手拉手可知，故,故Q点轨迹为直线
七、化斜为直，斜大于直
【问题13】已知：是斜边上的高
（1）求的最大值；（2）若，求的最大值
问题解决：取BC中点M，（1）则；（2）
八、构造二次函数求最值
这类问题一般无法通过纯几何方法来解决或几何方法比较复杂，需要通过面积法或者构造全等、相似建立等量关系，将待求的线段或图形的面积用含有自变量的式子来表示，一般是一个二次函数或者换元后是一个二次函数，然后通过配方得到最值．
【问题14】正方形的边长为6，点在边上，且，是边上一动点，连接，过点作交边于点，设的长为，则线段长度的最大值为 .
问题解决：根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到，进而根据相似比得到，利用二次函数求最值方法求解即可得到答案
【详解】易知，，
，，∴，，
∴，
，在时有最大值，最大值为
【题型1】两定一动型（线段和差最值问题）
【例题1】透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
【答案】13
【详解】∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3＋AE＝12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝＝13（cm）．
【例题2】如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点C作C关于OB的对称点C′，连接AC′与OB相交，根据轴对称确定最短路线得AC′与OB的交点即为所求的点P，PA+PC的最小值=AC′，过点C′作C′D⊥OA于D，求出CC′，∠OCC′=60°，再求出CD、C′D，然后求出AD，再根据勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点C作C关于OB的对称点C′，连接AC′与OB相交，
则AC′与OB的交点即所求的点P，PA+PC的最小值=AC′，
过点C′作C′D⊥OA于D，
∵点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°，
∴∠OCC′=90°-30°=60°，
OC=1，CC′=2×1×=1，
∴CD=，C′D=，
∵顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），∠OAB=90°，
∴AC=3-1=2，
∴AD=2+=，
在Rt△AC′D中，由勾股定理得，AC′===
【巩固练习1】如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（ ）
A．160B．150C．140D．130
【答案】A
【分析】作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，在根据勾股定理求出线段的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN于点，此时，由三角形三边关系可知，故当点P运动到时最大，过点B作由勾股定理求出AB的长就是的最大值，代入计算即可得．
【详解】解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，
∵，，，
∴，，，
在中，根据勾股定理得，
∴，
即PA+PB的最小值是；
如图所示，延长AB交MN于点，
∵，，
∴当点P运动到点时，最大，
过点B作，则，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
∴，
即，∴
【巩固练习2】如图，在矩形中，，，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，相交于点，则的最小值为 ．

【答案】10
【分析】过点作直线，分别交、于点，过点作直线，分别交、于点，易知四边形、、为矩形，证明，由相似三角形的性质可得；设两点运动时间为，则，，易得，；作点关于直线的对称点，由轴对称的性质可得，故当三点共线时，的值最小，即取最小值，此时，在中，由勾股定理求得的值，即可获得答案．
【详解】解：如下图，过点作直线，分别交、于点，过点作直线，分别交、于点，

易知四边形、、为矩形，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设两点运动时间为，则，，
则有，即，
∵，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，
作点关于直线的对称点，如图，
则，，
由轴对称的性质可得，
当三点共线时，的值最小，即取最小值，
此时，在中，，
∴的最小值为
【巩固练习3】探究式子的最小值.小胖同学运用“数形结合”的思想：如图，取，作于．于，且，，点在上，设，则，于是，，，因此，可求得的最小值为 ，已知，则的最大值是 ．

【答案】
【分析】作关于的对称点，连接交于，连接，利用勾股定理求的最小值即可；构造图形如图，过点作交于，求的最大值结合三角形的三边关系，根据矩形的性质，利用勾股定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，作关于的对称点，连接交于，连接，
，
则，，
此时的值最小为：，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，，
，
如图，，
，
则，
，
的最大值为的长度，
过点作交于，
则四边形为矩形，
，
，
，
的最大值为
【题型2】 双动点最值问题（两次对称）
【例题1】四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为 。
【答案】70
【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，
连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA＝BA′，MB⊥AB，
∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝125°，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝55°，
∴∠AMN+∠ANM＝2×55°＝110°．
∴∠MAN＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°
【例题2】如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时， °．
【答案】100
【分析】作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、，则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，则易得的大小．
【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、，
由对称性知：，，
，
∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小；
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
故答案为：．
【巩固练习1】如图所示，E为边长是2的正方形ABCD的中点，M为BC上一点，N为CD上一点，连EM、MN、NA，则四边形AEMN周长的最小值为 。

【答案】6
【解答】解：延长AD至A′，使AD＝DA′，延长AB至E′，使BE＝BE′，连接A′E′，
交BC于M，交DC于N，此时AN＝A′N，EM＝E′M，四边形AEMN周长＝AN+MN+ME+AE＝A′E′+AE，根据两点之间线段最短，A′E′+AE就是四边形AEMN周长的最小值；
∵AD＝2，AE＝BE＝1，
∴A′D＝AD＝2，BE＝BE′＝1，
∴AE′＝3，AA′＝4，
∴A′E′＝＝5，
∴四边形AEMN周长的最小值为5+1＝6．
【巩固练习2】如图，在四边形中，，，，，、分别是边、上的动点，连接，，，则周长的最小值为 ．

【答案】
【分析】如图，由，作关于对称的点，作关于对称的点，连接，与交点为，与交点为，连接，，由对称的性质可得，，，，则，可知当四点共线时，的周长最小为，如图，过作的延长线于，由，可得，则，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，由，作关于对称的点，作关于对称的点，连接，与交点为，与交点为，连接，，

由对称的性质可得，，，，
∴，
∴当四点共线时，的周长最小为，
如图，过作的延长线于，
∵，
∴，
∴，，
∴，由勾股定理得
【巩固练习3】如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E、F分别是边上的点，连接，若，，，则周长的最小值是 ．

【答案】
【分析】作点O关于的对称点M，点O关于的对称点N，连接，则的周长，故当四点共线时，即此时的周长最小，最小值为的长，证明是等边三角形，得到；过D作交直线于P，由平行四边形的性质得到，，由含30度角的直角三角形的性质得到，则，，即可得到点P与点B重合，则，由此即可得到答案．
【详解】解：作点O关于的对称点M，点O关于的对称点N，连接，
由作图得：，，
∴的周长，
∴当四点共线时，即此时的周长最小，最小值为的长，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
过D作交直线于P，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，，
∴，
∴点P与点B重合，
∴，
∴
∴的周长最小值为，

【题型3】动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）
【例题1】如图，在平面直角坐标系中，已知，在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持，线段在x轴上平移，当的值最小时，点C的坐标为 ．
【答案】（-1，0）
【分析】作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D坐标，从而可得点C坐标．
【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，
可知四边形B′B″DC为平行四边形，
则B′C=B″D，
由对称性质可得：BC=B′C，
∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，
则此时AB″最小，即AD+BC最小，
∵A（3，6），B（-2，2），
∴B′（-2，-2），
∴B″（-1，-2），
设直线AB″的表达式为：y=kx+b，
则，解得：，
∴直线AB″的表达式为：y=2x，
令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），
∴点C坐标为（-1，0），
故答案为：（-1，0）．
【例题2】如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为 ．
【答案】．
【详解】解：∵，，，，
∴，，
由平移的性质可知：,
∴四边形的周长为；
要使其周长最小，则应使的值最小；
设抛物线平移了a个单位，当a>0时，抛物线向右平移，当a