2025届中考复习专题：八类最值问题汇总（原卷版+解析版）练习-【重难点突破】备考2025届中考数学中档及压轴题型模型·方法·技巧专题

这是一份2025届中考复习专题：八类最值问题汇总（原卷版+解析版）练习-【重难点突破】备考2025届中考数学中档及压轴题型模型·方法·技巧专题，文件包含2025届中考复习专题八类最值问题汇总原卷版docx、2025届中考复习专题八类最值问题汇总原卷版pdf、2025届中考复习专题八类最值问题汇总解析版docx等3份试卷配套教学资源，其中试卷共442页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc184774582" 模块一：将军饮马等8类常见最值问题 PAGEREF _Tc184774582 \h 2
\l "_Tc184774583" 【题型1】两定一动型（线段和差最值问题） PAGEREF _Tc184774583 \h 8
\l "_Tc184774584" 【题型2】 双动点最值问题（两次对称） PAGEREF _Tc184774584 \h 10
\l "_Tc184774585" 【题型3】动线段问题：造桥选址（构造平行四边形） PAGEREF _Tc184774585 \h 11
\l "_Tc184774586" 【题型4】垂线段最短 PAGEREF _Tc184774586 \h 12
\l "_Tc184774587" 【题型5】相对运动平移型将军饮马 PAGEREF _Tc184774587 \h 14
\l "_Tc184774588" 【题型6】化斜为直，斜大于直 PAGEREF _Tc184774588 \h 15
\l "_Tc184774589" 【题型7】构造二次函数模型求最值 PAGEREF _Tc184774589 \h 17
\l "_Tc184774590" 【题型8】通过瓜豆得出轨迹后将军饮马 PAGEREF _Tc184774590 \h 18
\l "_Tc184774591" 模块二：阿氏圆与胡不归最值问题 PAGEREF _Tc184774591 \h 20
\l "_Tc184774592" 【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线 PAGEREF _Tc184774592 \h 20
\l "_Tc184774593" 【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线 PAGEREF _Tc184774593 \h 22
\l "_Tc184774594" 模块三：阿氏圆与胡不归最值问题 PAGEREF _Tc184774594 \h 23
\l "_Tc184774595" 【题型1】两定点在圆外：向内取点（系数小于1） PAGEREF _Tc184774595 \h 24
\l "_Tc184774596" 【题型2】两点在圆内：向外取点（系数大于1） PAGEREF _Tc184774596 \h 27
\l "_Tc184774597" 【题型3】一内一外提系数 PAGEREF _Tc184774597 \h 28
\l "_Tc184774598" 【题型4】隐圆+阿氏圆 PAGEREF _Tc184774598 \h 29
\l "_Tc184774599" 模块四：线段拼接最值问题（逆等线模型） PAGEREF _Tc184774599 \h 30
\l "_Tc184774600" 【题型1】平移，对称或构造平行四边形 PAGEREF _Tc184774600 \h 33
\l "_Tc184774601" 【题型2】构造SAS型全等拼接线段 PAGEREF _Tc184774601 \h 34
\l "_Tc184774602" 【题型3】加权逆等线 PAGEREF _Tc184774602 \h 36
\l "_Tc184774603" 【题型4】取到最小值时对其它量进行计算 PAGEREF _Tc184774603 \h 38
\l "_Tc184774604" 模块五：构造旋转相似求最值（瓜豆模型） PAGEREF _Tc184774604 \h 40
\l "_Tc184774605" 【题型1】构造中位线 PAGEREF _Tc184774605 \h 48
\l "_Tc184774606" 【题型2】直线型轨迹（三种解题策略） PAGEREF _Tc184774606 \h 50
\l "_Tc184774607" 【题型3】线段和 PAGEREF _Tc184774607 \h 52
\l "_Tc184774608" 【题型4】圆弧型轨迹 PAGEREF _Tc184774608 \h 53
\l "_Tc184774609" 【题型5】加权线段和 PAGEREF _Tc184774609 \h 55
\l "_Tc184774610" 【题型6】路径长度类问题 PAGEREF _Tc184774610 \h 56
\l "_Tc184774611" 【题型7】取到最值时求其它量 PAGEREF _Tc184774611 \h 57
\l "_Tc184774612" 模块六：费马点最值问题 PAGEREF _Tc184774612 \h 58
\l "_Tc184774613" 【题型1】普通费马点最值问题 PAGEREF _Tc184774613 \h 65
\l "_Tc184774614" 【题型2】 加权费马点·单系数型 PAGEREF _Tc184774614 \h 68
\l "_Tc184774615" 【题型3】加权费马点·多系数型 PAGEREF _Tc184774615 \h 69
\l "_Tc184774616" 模块七：隐圆最值问题 PAGEREF _Tc184774616 \h 71
\l "_Tc184774617" 【题型1】定点定长得圆 PAGEREF _Tc184774617 \h 76
\l "_Tc184774618" 【题型2】直角的对边是直径 PAGEREF _Tc184774618 \h 77
\l "_Tc184774619" 【题型3】对角互补得圆 PAGEREF _Tc184774619 \h 79
\l "_Tc184774620" 【题型4】定弦定角得圆 PAGEREF _Tc184774620 \h 80
\l "_Tc184774621" 【题型5】四点共圆 PAGEREF _Tc184774621 \h 81
\l "_Tc184774622" 【题型6】相切时取到最值 PAGEREF _Tc184774622 \h 82
\l "_Tc184774623" 【题型7】定角定高面积最小、周长最小问题 PAGEREF _Tc184774623 \h 83
\l "_Tc184774624" 【题型8】米勒角（最大张角）模型 PAGEREF _Tc184774624 \h 85
\l "_Tc184774625" 模块八：二次函数中的最值问题 PAGEREF _Tc184774625 \h 86
\l "_Tc184774626" 一题可破万题山——二次函数最值常见模型小结，一题20问 PAGEREF _Tc184774626 \h 86
\l "_Tc184774627" 【题型1】铅垂高最值 PAGEREF _Tc184774627 \h 96
\l "_Tc184774628" 【题型2】构造二次函数模型求最值 PAGEREF _Tc184774628 \h 98
\l "_Tc184774629" 【题型3】几何构造求最值 PAGEREF _Tc184774629 \h 100
题型汇编
知识梳理与常考题型
模块一：将军饮马等8类常见最值问题
一、单动点问题
【问题1】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小
问题解决：连接AB，与l交点即为P，两点之间线段最短PA＋PB最小值为AB
【问题2】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小
问题解决：作B关于l的对称点B'⇒PB＝PB'，则PA＋PB＝PA＋PB'，当A，P，B'共线时取最小，原理：两点之间线段最短，即PA＋PB最小值为AB'
【问题3】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大
问题解决：连接AB，当A，B，P共线时取最大
原理：三角形两边之和大于第三边，在△AB'P中，|PA－PB'|≤AB'
【问题4】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大
问题解决：作B关于直线l的对称点B'⇒PB＝PB'，|PA－PB|＝|PA－PB'|
原理：三角形两边之和大于第三边，连接AB'，在△AB'P中|PA－PB'|≤AB'
二、双动点问题（作两次对称）
【问题5】在直线，上分别求点M，N，使△PMN周长最小
问题解决：分别作点P关于两直线的对称点P’和P''，PM＝P'M，PN＝P''N，
原理：两点之间线段最短，P'，P''，与两直线交点即为M，N，则AM＋MN＋PN的最小值为线段P'P''的长
【问题6】P，Q为定点，在直线，上分别求点M，N，使四边形PQMN周长最小
问题解决：分别作点P，Q关于直线，的对称点P’和Q'，PM＝P'M，QN＝Q'N
原理：两点之间线段最短，连接P'Q'，与两直线交点即为M，N，则PM＋MN＋QN的最小值为线段P'Q'的长，周长最小值为P'Q'＋PQ
【问题7】A，B分别为，上的定点，M，N分别为，上的动点，求最小值
问题解决：分别作，关于，的对称点，，则，，即所求
原理：两点之间距离最短，A'，N，M，B'共线时取最小，则AN＋MN＋BM＝A'N＋MN＋B'M≤A'B'
三、动线段问题（造桥选址）
【问题8】直线m∥n，在m，n上分别求点M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋BN的最小值
问题解决：将点B向上平移MN的长度单位得B'，连接B'M，当AB'M共线时有最小值
原理：通过构造平行四边形转换成普通将军饮马，AM＋MN＋BN＝AM＋MN＋B'M≤AB'＋MN
【问题9】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求的最小值
问题解决：将B点向左移动a个单位长度，再作B'关于直线l的对称点B''，当共线有最小值
原理：通过平移构造平行四边，

四、垂线段最短
【问题10】在直线，上分别求点A，B，使PB＋AB最小
问题解决：作关于的对称点，作于A，交于B，即所求
原理：点到直线，垂线段最短，
五、相对运动，平移型将军饮马
【问题11】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求AM＋AN的最小值
问题解决：相对运动或构造平行四边形
策略一：相对运动思想
过点A作MN的平行线，相对MN，点A在该平行线上运动，则可转化为普通饮马问题
策略二：构造平行四边形等量代换，同问题9.
六、瓜豆轨迹，手拉手藏轨迹
【问题12】如图，点P在直线BC上运动，将点P绕定点A逆时针旋转90°，得到点Q，求Q点轨迹？
问题解决：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．
原理：由手拉手可知，故,故Q点轨迹为直线
七、化斜为直，斜大于直
【问题13】已知：是斜边上的高
（1）求的最大值；（2）若，求的最大值
问题解决：取BC中点M，（1）则；（2）
八、构造二次函数求最值
这类问题一般无法通过纯几何方法来解决或几何方法比较复杂，需要通过面积法或者构造全等、相似建立等量关系，将待求的线段或图形的面积用含有自变量的式子来表示，一般是一个二次函数或者换元后是一个二次函数，然后通过配方得到最值．
【问题14】正方形的边长为6，点在边上，且，是边上一动点，连接，过点作交边于点，设的长为，则线段长度的最大值为 .
问题解决：根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到，进而根据相似比得到，利用二次函数求最值方法求解即可得到答案
【详解】易知，，
，，∴，，
∴，
，在时有最大值，最大值为
【题型1】两定一动型（线段和差最值问题）
【例题1】透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
【例题2】如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习1】如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（ ）
A．160B．150C．140D．130
【巩固练习2】如图，在矩形中，，，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，相交于点，则的最小值为 ．

【巩固练习3】探究式子的最小值.小胖同学运用“数形结合”的思想：如图，取，作于．于，且，，点在上，设，则，于是，，，因此，可求得的最小值为 ，已知，则的最大值是 ．

【题型2】 双动点最值问题（两次对称）
【例题1】四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为 。
【例题2】如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时， °．
【巩固练习1】如图所示，E为边长是2的正方形ABCD的中点，M为BC上一点，N为CD上一点，连EM、MN、NA，则四边形AEMN周长的最小值为 。


【巩固练习2】如图，在四边形中，，，，，、分别是边、上的动点，连接，，，则周长的最小值为 ．

【巩固练习3】如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E、F分别是边上的点，连接，若，，，则周长的最小值是 ．

【题型3】动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）
【例题1】如图，在平面直角坐标系中，已知，在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持，线段在x轴上平移，当的值最小时，点C的坐标为 ．
【例题2】如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为 ．
【巩固练习1】如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为 ．

【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中有，两点．将直线：向上平移个单位长度得到直线，点在直线上，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，，，则折线的长的最小值为 ．
【题型4】垂线段最短
【例题1】如图，∠MON＝45°，OP平分∠MON，点A为射线OM上一点，OA＝4，点E，F别为射线OP，OM上的动点，连接AE，EF，则AE＋EF的最小值为_________．
M
F
O
A
E
N
P
【例题2】如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为 ．

【巩固练习1】如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为 ．
【巩固练习2】如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内，点N为线段CE上的动点，过点N作NP∥EM交MC于点P，则MN＋NP的最小值为_________．
M
D
C
B
A
P
N
E
【巩固练习3】如图，在矩形中，于点，，，、分别是、上的动点，则的最小值为 ．

【题型5】相对运动平移型将军饮马
【例题1】如图，在矩形中，，把边沿对角线平移，点分别对应点，的最小值为 ．

【例题2】如图，在菱形ABCD中，AB＝，∠BCD＝120°，M为对角线BD上一点（M不与点B、D重合），过点MN∥CD，使得MN＝CD，连接CM、AM、BN，连接AN，则AM＋AN的最小值是________．

【例题3】如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且．

将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为______，的最小值为______．
【巩固练习1】如图，已知点P（0，3），等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，BC在x轴上滑动时，PA+PB的最小值是 。

【巩固练习2】如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且ED＝OF，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是 。

【巩固练习3】如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿直线AC翻折，得到△AB′C，再将△AB′C在直线AC上平移，得到△A′B″C′，则△BB″C′的周长的最小值为 。
【题型6】化斜为直，斜大于直
【例题1】如图，直线，分别为直线上的动点，连接，线段交直线于点．设直线与之间的距离为m，直线与之间的距离为n，若，，且，则m＋n的最大值为_____．
【例题2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是 ．
【巩固练习1】如图，等边△ABC的边长为4，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则CE的最大值为_________．
A
F
B
D
E
C
【巩固练习2】如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则线段PQ长度的最小值为 。
【巩固练习3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，P是边AB上一动点，Q是边BC上一动点，且始终有∠CPQ＝90°，则线段CQ长的取值范围为 .

【巩固练习4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D为AC边上一动点，过点D作DE⊥BD交AB于点E．当点D从点A运动到点C时，AE的最大值为_________，点E运动的路径长为_________．
C
D
B
E
A
【题型7】构造二次函数模型求最值
【例题1】如图，点，，P为x轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转 90°得到，连接．则的最小值是
【例题2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△ABC的面积是 ，△BDE面积的最大值为 ．
【巩固练习1】如图，中，，，为中点．、是边、上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止．当为 时，的面积最大．
【巩固练习2】如图，△ABC和△ABD是两个全等的直角三角形，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD＝eq \r(,3)，BC＝BD＝1．若P、Q分别是边AC、AD上的动点，且始终保持PC＝QA，连接PQ交AB于点M，则AM长度的最大值为_____________．
A
B
D
C
Q
P
M
【巩固练习3】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P是对角线AC上一点，AP＝ EQ \F(1, 4 ) AC，过点P的直线分别交边AB、AD于点E、F，连接CE、CF，则四边形AECF的面积的最小值为___________．
A
D
F
C
B
E
P
【巩固练习4】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，BC＝4，点D是AB边上的一个动点，连接CD，以CD为边向上作正方形CDEF，连接BE，则△BDE的面积的最大值为___________．
E
F
B
C
D
A
【题型8】通过瓜豆得出轨迹后将军饮马
【例题1】在中，斜边，，点D是AC边上的一个动点，连接BD，将线段BD绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接CE，则BE＋CE的最小值为 ．
【例题2】如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段绕点P逆时针旋转得到线段，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接、，则的最小值是（ ）

A．4B．C．8D．
【巩固练习1】等边边长为6，是中点，在上运动，连接，在下方作等边，则周长的最小值为 ．

【巩固练习2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，M为BC上一点，连接MA，将线段MA绕点M顺时针90°得到线段MN，连接CN、DN，则CN+DN的最小值为 ．
模块二：阿氏圆与胡不归最值问题
胡不归模型讲解
如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．
，记，即求BC＋kAC的最小值．
构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CH/AC＝k，CH＝kAC．
将问题转化为求BC＋CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC＋CH取到最小值，即BC＋kAC最小．
【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线
【例题1】如图，，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为 ．
【例题2】如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点．

（1） °；（2）的最小值为 ．
【例题3】如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．

【巩固练习1】如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ．
【巩固练习2】如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．

【巩固练习3】如图，二次函数与x轴交于点A，B，对称轴为直线l，顶点C到x轴的距离为．点P为直线l上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度的速度沿运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿运动到点A停止，则时间最短为 秒．
【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线
【例题1】如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．

【例题2】如图，，，，点为上一点，连接，则的最小值为 3 ．
【巩固练习1】如图所示，在中，，M为线段上一定点，P为线段上一动点．当点P在运动的过程中，满足的值最小时，则 ．
【巩固练习2】如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是
A．B．C．D．8
【巩固练习3】如图，是圆的直径，，弧，点是弦上的一个动点，那么的最小值为
A．B．C．D．
【巩固练习4】如图，在中，，，，点是斜边上的动点，则的最小值为 .

模块三：阿氏圆与胡不归最值问题
阿氏圆模型讲解
【模型来源】
所谓阿圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称为阿圆．其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似．
【模型建立】
如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点 A、B 都在⊙O 外 ，P为⊙O上一动点，已知R＝OB，
连接 PA、PB，则当“PA＋PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？

解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OC＝R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有PB＝PC。故本题求“PA＋PB”的最小值可以转化为“PA＋PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA＋PC”值最小。
【题型1】两定点在圆外：向内取点（系数小于1）
【例题1】如图，在中，，，，圆的半径为2，点为圆上一动点，连接，．
求①；②；③；④的最小值．
【例题2】如图，正方形ABCD边长为2 eq \r(2)，内切圆O上一动点P，连接AP、DP，则AP+eq \f( eq \r(2),2)PD的最小值为______．
【例题3】如图，为的直径，，点C与点D在的同侧，且，，，，点P是上的一动点，则的最小值为 ．
【巩固练习1】如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．
【巩固练习2】如图，为的直径，，点C与点D在的同侧，且，，，，点P是上的一动点，则的最小值为 ．
【巩固练习3】如图，等边三角形ABC边长为4 eq \r(3)，圆O是△ABC的内切圆，P是圆O上一动点，连接PB、PC，则BP＋eq \f(1,2)CP的最小值为______________．
【巩固练习4】如图，在平面直角坐标系中，M(6，3)，N(10，0)，A(5，0)，点P为以OA为半径的圆O上一动点，则PM＋eq \f(1,2)PN的最小值为_______________
【巩固练习5】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．

【题型2】两点在圆内：向外取点（系数大于1）
【例题1】如图，∠AOB=90°，OA=OB=1，圆O的半径为 eq \r(2)，P是圆O上一动点，PA+ eq \r(2)PB的最小值为________．
【巩固练习1】已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，2PA+PB的最小值为________．
【巩固练习2】如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ．
【题型3】一内一外提系数
【例题1】如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 ．
【巩固练习1】如图，正方形边长为4，是的中点，在上，的最大值是 ，的最小值是
【题型4】隐圆+阿氏圆
【例题1】如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E、F分别是上的两个动点，且，P是的中点，连接，若，则的最小值为 ．

【例题2】如图，在边长为6的正方形中，M为上一点，且，N为边上一动点．连接，将沿翻折得到，点P与点B对应，连接，则的最小值为 ．

【巩固练习1】如图，在中，，，，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，，则的最小值为 ．
【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中，、、、，是外部的第一象限内一动点，且，则的最小值是 ．
【巩固练习3】如图，在平面直角坐标系中，、、、，点P在第一象限，且，则的最小值为 ．

模块四：线段拼接最值问题（逆等线模型）
一、什么是逆等线段。
两个动点分别在直线上运动，且它们各自到某一定点的距离始终相等,那么这两条始终相等的线段称为逆等线段。
二、解题步骤:
1.找三角形。找一条逆等线段，一条动线段构成的三角形。(图中本身就有的三角形，不要添加辅助线以后构成的三角形)
2.确定该三角形的不变量。在动点移动过程中，该三角形有一个边长度不变，有一个角的大小不变。
3.从另一逆等线段的定点引一条线。使得线段长度等于第二步中的那个不变的边长，与这个逆等线段的夹角等于第二步中那个不变的角。
4.问题转化为将军饮马问题求最值。
【模型解读】
△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线，就是怎么别扭怎么来。
一般情况下，题目中有两个没有首尾相连的线段相等，即两定两动，也归为逆等线问题。
观察图形，我们很容易发现，AD和CE没有首尾相连，所以，一般通过平移或者作平行等方法构造全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题。
这样解释很笼统很枯燥，我们以具体例题来描述
如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC=8，AC=10，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。
分析思路：
① AD在△ADC中，那么我们就以CD为一边构造另一个三角形与之全等，这个
也叫做一边一角造全等。
② 即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）
③ 构造出△ADC≌△CEF ( SAS),证出EF=CD
④ CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求
此时，B、E、F三点共线，本题中，也可以利用三角形三边关系去求最值
⑤ 求BF
【题型1】平移，对称或构造平行四边形
【例题1】如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 ．
【例题2】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC，分别交对角线AC，直线BC于点O，F，则在点E移动的过程中，AF＋FE＋EC的最小值为_________．
A
D
B
C
F
E
O
【巩固练习1】如图，在矩形ABCD中，，，点P在边AD上，点Q在边BC上，且，连接CP，QD，则的最小值为 ．
【巩固练习2】如图，在矩形中，，点E在上，点F在上，且，连结，则的最小值为 ．

【巩固练习3】如图，正方形的边长为2，是的中点，是上的动点，过点作分别交，于点，．
（1）的长为 ；（2）的最小值为 ．
【题型2】构造SAS型全等拼接线段
【例题1】如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝3eq \r(,3)，点E、F分别是对角线AC和边CD上的动点，且AE＝CF，则BE＋BF的最小值是___________．
D
A
B
C
E
F
【例题2】如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为 ．
【巩固练习1】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，AB＝2，D、E分别是AC、AB上的动点，且AD＝BE，F是BC的中点，则BD＋EF的最小值为___________．
A
B
C
D
E
F
【巩固练习2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为边BC上一点，AE＝AD，M、N分别为线段AE、BE上的动点，且AM＝EN，连接DM、DN，则DM＋DN的最小值为___________．
A
B
C
D
N
E
M
【巩固练习3】如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE＋AF的最小值为___________．
A
D
B
C
E
F
【巩固练习4】如图，在平面直角坐标系中，等腰三个顶点在坐标轴上，，点D，E分别为上的两个动点，且．当的值最小时，则点D的坐标为 ．
【巩固练习5】如图，点是正方形内部一个动点，且，，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【巩固练习6】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D，E分别是AC，AB上的动点，且AD＝BE，连结BD，CE，则BD+CE的最小值为 ．


【题型3】加权逆等线
【例题1】如图，在中，，，．D，E分别是边，上的动点，且，则的最小值为 ．
【例题2】如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
(1)求BD的长；
(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=DF，当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．
【例题3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值．

【巩固练习1】如图，已知BC⊥AB，BC＝AB＝3，E为BC边上一动点，连接AE，D点在AB延长线上，且CE＝2BD，则AE＋2CD的最小值为________

【巩固练习2】如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝4，E，F分别是BD，BC上的一动点，且BF＝2DE，则AF+2AE的最小值是 。

【巩固练习3】如图，等腰直角△ABC中，斜边BC=2，点D、E分别为线段A B和B C上的动点， ，求的最小值.

【题型4】取到最小值时对其它量进行计算
【例题1】如图，已知直线AB：y＝分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD＝CE．当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为________

【例题2】如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是 ．
【巩固练习1】如图，为等边的高，M、N分别为线段上的动点，且，当取得最小值时， ．
【巩固练习2】如图，AH是正三角形ABC中BC边上的高，在点A，C处各有一只电子乌龟P和Q同时起步以相同的速度分别沿AH，CA向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到B点距离之和PB+QB最小时，∠PBQ的度数为 ．

【巩固练习3】如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，点M，N分别为CB，CA上的动点，且始终保持BM＝CN，则当AM+BN取最小值时，CN＝ ．
模块五：构造旋转相似求最值（瓜豆模型）
初中阶段如遇求轨迹长度仅有2种类型：“直线型”和“圆弧型”（两种类型中还会涉及点往返探究“往返型”），对于两大类型该如何断定，通常老师会让学生画图寻找3处以上的点来确定轨迹类型进而求出答案，对于填空选择题而言不外乎是个好方法，但如果要进行说理很多考生难以解释清楚
一、我们先来解释一下瓜豆原理：定角定比，主从联动
瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同．
只要满足：
则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。
1、两“动”，一“定”
2、两动点与定点的连线夹角是定角
3、两动点到定点的距离比值是定值
【例题1】三种处理策略
如图，D、E是边长为4的等边三角形ABC上的中点，P为中线AD上的动点，把线段PC绕C点逆时针旋转60°，得到P’，EP’的最小值
【分析】
结合这个例题我们再来熟悉一下瓜豆模型
第一层：点P’运动的轨迹是直线吗？

答：是直线，可以通过P在A，D时，即始末位置时P’对应的位置得到直线轨迹，对于选填题，可找出从动点的始末位置，从而快速定位轨迹，若要说理则需要构造手拉手证明.
第二层：点P’的运动长度和点P的运动长度相同吗？
答：因为点P’与点P到定点C的距离相等，则有运动路径长度相等，若要说理则同样需要构造手拉手结构，通过全等证明.
第三层：手拉手模型怎么构造？
答：以旋转中心C为顶点进行构造，其实只要再找一组对应的主从点即可，简单来说就是从P点的轨迹即线段AD中再找一个点进行与P点类似的的旋转，比如把线段AD中的点A绕C点逆时针旋转60°，即为点B，连接BP’即可得到一组手拉手模型，虽然前面说是任意点，但一般来说我们选择一个特殊位置的点进行旋转后的点位置也是比较容易确定的，比如说点D进行旋转也是比较方便．

第四层：分析∠CAP和∠CBP’
答：由全等可知∠CAP＝∠CBP’，因为B为定点，所以得到P’轨迹为直线BP’
第五层：点P和点P’轨迹的夹角和旋转角的关系
答：不难得出本题主动点与从动点轨迹的夹角等于旋转角，要注意的是如果旋转角是钝角，那么主动点与从动点轨迹的夹角等于旋转角的补角，这个在后面的例题中会出现.
大气层：前面提到，如果是选填题，可以通过找从动点的始末位置快速定位轨迹线段，或者通过构造手拉手，通过全等或相似得出相等角然后得出轨迹，这两种方法都是先找出从动点P’的轨迹，再作垂线段并求出垂线段的长得到最小值，那么还有其他方法吗？
答：还可以对关键点进行旋转来构造手拉手模型，从而代换所求线段，构造如下．
将点EC绕点C顺时针旋转60°，构造手拉手模型(SAS全等型)，从而得到P’E＝PG，最小值即为点G到AD的距离．
要注意的是因为要代换P’E，所以E点的旋转方式应该是从P’P，所以是顺时针旋转，求轨迹时的旋转方式则是PP’，注意区分.

解析
策略一：找从动点轨迹
连接BP’，
由旋转可得，CP＝CP’，∠P’CP＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠ACB＝∠PCP’，
∴△ACP≌△BCP’(SAS)，
∴∠CBP’＝∠CAP，
∵边长为4的等边三角形ABC中，P是对称轴AD上的一个动点，
∴∠CAP＝30°，BD＝2，
∴∠CBP’＝30°，
即点P’的运动轨迹为直线BP’，
∴当D P’⊥B P’时，EP’最短，
此时，EP’＝EQ \F(1,2)BD+ED＝+2＝3
∴EP’的最小值是3
策略二：反向旋转关键点构造手拉手代换所求线段
将点E绕C点顺时针旋转60°得到点G，连接PG，CG，EP’
由旋转可得EC＝ CG， CP＝CP’，∠P’CP＝60°，∠ECG＝60°，
∴△ECG是等边三角形，EG＝2
∵∠PCP’＝∠ECG
∴∠PCG＝∠EC P’
∴△GCP≌△ECP’(SAS)，
∴EP’＝GP，
过点G作AD的垂线GH垂足为H，GH即为所求．
∵∠GEC＝∠ACD
∴HE∥DC
∵∠GHD＝∠ADC
∴HG∥DC
故G，E，H三点共线，则有HE∥DC
又E是AC中点，分线段成比例可知H是AD中点
∴HE＝
∴EP’的最小值是3
总共提到了3种处理方式：
1.找始末，定轨迹
2.在轨迹上找一点旋转，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹.
3.反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段，即逆向构造.
【例题2】饮马类瓜豆与加权线段和问题
已知点，点B是直线y＝－2上一个动点，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC.
角度1：反向旋转构造手拉手（不用求从动点轨迹，直接转换为垂线段最短）
（1）求OC的最小值
【简析】如图，构造等腰直角△AOE，由旋转相似可知
角度2：构造手拉手求从动点轨迹：（2）求的最小值
【简析】，求出C点轨迹，再将军饮马，如图，在B点轨迹上取一点，构造旋转相似，易知，可知C点轨迹为，作，，补充：此时加权线段和对应三边之比
角度3：构造旋转相似求加权线段和
（3）记，①求的最小值；②求的最小值
【简析】①由旋转相似可知，则
②，补充：此时加权线段和对应相似比
【瓜豆圆介绍】
如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点。当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？
考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2
【小结】
确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，
由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，
由Q为AP中点可得：AM=AO．
Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．
根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；
根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．
【题型1】构造中位线
【例题1】如图，正方形的边长是8，点E是边的中点，连接，点F是线段上不与点D，E重合的一个动点，连接，点G是线段的中点，则线段的最小值为 ．

【例题2】如图，正方形的边长是8，点E是边的中点，连接，点F是线段上不与点D，E重合的一个动点，连接，点G是线段的中点，则线段的最小值为 ．

【巩固练习1】（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为
【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）

A．3B．C．D．2
【巩固练习3】如图所示，，，以为底边向上构造等腰直角三角形，连接并延长至点P，使，则长的取值范围为 ________．
【题型2】直线型轨迹（三种解题策略）
【例题1】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．

【例题2】如图，已知点，点B在y轴正半轴上，将线段绕点A顺时针旋转到线段，若点C的坐标为，则 ．

【巩固练习1】如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是对角线AC上的动点,连接DP,将直线DP绕点P顺时针旋转,使∠1=∠2,且过点D作DG⊥PG,连接CG.则CG最小值为
【巩固练习2】如图，在平行四边形中，点E为射线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接，，，求的最小值．

【巩固练习3】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是 ．

【巩固练习4】如图，矩形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为 ．

【巩固练习5】如图，在中，，，对称轴交于点，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，则长的最小值为 ．

【巩固练习6】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．

【变式训练】双动点
如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，F为AB边上一点，连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角△EFG，连接CG，则AG的最小值为 ．

【题型3】线段和
【例题1】如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．

【巩固练习1】如图，在矩形中，，，是边上一点，，是直线上一动点，将线绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是 ．
【巩固练习2】如图，已知∠CAB＝30°，AB＝2，点D在射线AC上，以BD为边作正方形BDEF，连接AE、BE，则AE＋BE的最小值为___________．
C
A
B
D
E
F
【题型4】圆弧型轨迹
【例题1】如图，，为的中点，的半径为1，点是上一动点，以为直角边的等腰直角三角形（点、、按逆时针方向排列），则线段的长的取值范围为 ．
【例题2】如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值是_________．
D
A
B
C
【巩固练习1】如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．

【巩固练习2】如图，已知正方形的边长为4，以点A为圆心，2为半径作圆，E是上的任意一点，将线段绕点D顺时针方向旋转并缩短到原来的一半，得到线段，连接，则的最小值是 ．

【巩固练习3】如图，点P是正方形ABCD所在平面内一点，∠APB＝90°，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°得到线段DQ，连接AQ，若AB＝2，则线段AQ的最大值为___________．
A
D
B
C
P
Q
【题型5】加权线段和
【例题1】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，点E为边AD上一动点，以CE为边向右作直角三角形CEF，使∠CEF＝90°，∠CFE＝30°，连接BE，BF，求BE＋的最小值．
A
D
B
C
E
F
【巩固练习1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，），点P是x轴上的一动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转120°得到AQ，连接OQ，PQ，求＋PQ的最小值．
x
y
O
A
P
Q
【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为（ ）
A．B．4C．D．2
【题型6】路径长度类问题
【例题1】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，动点E从点A运动到点D，以CE为边在CE的右侧构造正方形CEFG，连接AF，则AF的最小值为_________，点F运动的路径长为_________．
F
D
A
G
C
E
B
【巩固练习1】如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，在点E从A到D的运动过程中，点G的运动路径= ，△CEF面积的最小值是 ．
【巩固练习2】如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P为边上的动点，连接，过点E作，交射线于点F，则 ．若点M是线段的中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为 ．

【题型7】取到最值时求其它量
【例题1】如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为 ； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为
【巩固练习1】如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，点为的中点，连接，当最小时，的面积为 ．

【巩固练习2】如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AB的延长线上，且BE＝CD，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转120°得到DF，连接CF，当CF取得最小值时，求的值．
A
F
D
C
B
E
【巩固练习3】如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．

(1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 ；
(2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长；
(3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值．
模块六：费马点最值问题
【常规费马点】
【问题提出】如图△ABC所有的内角都小于120度，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，
当的值最小时，求此时∠APB与∠APC的度数.
【问题处理】如图1，将△ACP绕着点C顺时针旋转60度得到△A’CP’，则△ACP≌△A’CP’，CP＝CP’，AP＝A’P’，又∵∠PCP’＝60°，∴△PCP’是等边三角形，∴PP’＝PC，PA＋PB＋PC＝P’A’＋PB＋PP’，
如图2，当且仅当点B、P、P’、A’共线时，PA＋PB＋PC最小，最小值为A’B，此时∠BPC＝∠APC＝∠APB＝120°
【问题归纳】如费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费马点结论：
对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心；
对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．
【如何作费马点】如图3，连接AA’，我们发现△ACA’为等边三角形，点P在A’B上，同理，我们可以得到等边△BAB’，点P也在CB’上，因此，我们可以以△ABC三角形任意两边为边向外构造等边三角形，相应连线的交点即为费马点。（最大角小于120°时）
【例1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值．
【答案】
【分析】如图，以AC为边构造等边△ACD，连接BD，BD的长即为PA+PB+PC的最小值．至于点P的位置？这不重要！
如何求BD？考虑到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于H点，根据勾股定理，即可得出结果．
【练习1】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．
【加权费马点】
如果所求最值中三条线段的系数有不为1的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，解决方法类似，也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法。
【类型一 单系数类】
当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，
一种是旋转特殊角度：对应旋转90°，对应旋转120°
另一种是旋转放缩，对应三角形三边之比
【例3】在等边三角形ABC中，边长为4，P为三角形ABC内部一点，求的最小值

【练习2】在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2，P为三角形ABC内部一点，求的最小值
【类型二 多系数类】
其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的。
以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选取旋转中心呢？我们总结了以下方法：
1. 将最小系数提到括号外；
2. 中间大小的系数确定放缩比例；
3. 最大系数确定旋转中心（例如最大系数在PA前面，就以A为旋转中心），旋转系数不为1的两条线段所在的三角形。
【例3】如图，在△ABC中，，，，在△ABC内部有一点P，连接，则（1）的最小值为________；（2）的最小值为________
【简答】（1）将最小系数提到括号外，得到
中间大小系数为，故放大倍数为倍，最大系数在PC前面，故以点C为旋转中心，旋转△PBC．
如图1，将△PBC绕点C逆时针旋转90°，并放大为倍，，．
．
（2）将最小系数提到括号外，得到，
如图2，将△APB绕点C逆时针旋转90°，并放大为倍，，．
【练习3】如图，在△ABC中，，，，在△ABC内部有一点P，连接，则的最小值为________．
【简答】将△PAC绕点C顺时针旋转90°并放大2倍，得到，
，，，
，，由勾股定理可得，的最小值为.
【题型1】普通费马点最值问题
【例题1】已知，在△ABC中，∠ACB＝30° ，AC＝4，AB＝点P是△ABC内一动点，则PA＋PB＋PC的最小值为________

【例题2】如图，在中，，点为内部一点，则点到三个顶点之和的最小值是 ．

【巩固练习1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P是△ABC内一点，则的最小值为_________．
C
A
B
P
【巩固练习2】1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，
如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，

由，可知为 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；

(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
【巩固练习3】背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．
(1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．
(2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．
(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．
(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值．
【题型2】 加权费马点·单系数型
【例题1】已知，如图在中，，，，在内部有一点D，连接DA、DB、DC．则的最小值是 ．
【巩固练习1】如图，中，，，点P为内一点，连接，则的最小值为 .
【巩固练习2】如图，矩形中，，，点是的中点，点是边上一动点．将沿着翻折，使得点落在点处，若点是矩形内一动点，连接、、，则的最小值为 ．

【题型3】加权费马点·多系数型
【例题1】在等边三角形ABC中，边长为4，P为三角形ABC内部一点，求3AP＋4BP＋PC的最小值
【巩固练习1】在边长为4的正△ABC中有一点P，连接PA、PB、PC，求（AP＋BP＋PC）²的最小值

【巩固练习2】如图，在中，，在内部有一点P，连接、、．（加权费马点）求：
（1）的最小值；
（2）的最小值
（3）的最小值；
（4）的最小值
（5）的最小值；
（6）的最小值
（7）的最小值；
（8）的最小值
【巩固练习3】在中，，，的角平分线交于，过作射线的垂线，垂足为，连接，当取大值时，在内部取点，则的最小值是 ．

模块七：隐圆最值问题
一、定点定长得圆
在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算

二、直角的对边是直径
前世：在⊙O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90°
今生：若有AB是固定线段，且总有∠ACB＝90°，则C在以AB为直径径的圆上．(此类型本来属于定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类)
三、对角互补
前世：在⊙O上任意四点A，B，C，D所围成的四边形对角互补
今生：若四边形ABCD对角互补，则A，B，C，D四点共圆
四、定弦定角模型
定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算．
前世：在⊙O中，若弦AB长度固定则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)
今生：若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知C点并不是唯一固定的点，C在⊙O的优弧ACB上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则C在优弧上运动；等于90°，则C在半圆上运动；大于90°则C在劣弧运动)
五、四点共圆模型
前世:在⊙O中，ABCD是圆的内接四边形，则有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC~△APD(同理△BPA~△CPD)
今生:若四边形ABCD中有∠1=∠2(通常情况下∠5=∠6对顶角相等，故不需要∠3=∠4，实际应用中长用∠1=∠2，∠5=∠6)则ABCD四点(某些不能直接使用四点共圆的地区，可以通过证明两次三角形相似也可)，选填题可以直接使用
六、定角定高（探照灯模型）
什么叫定角定高，如右图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角。则△ABC的面积有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。

问题解决：如果顶角和高，都为定值，那么三角形ABC的外接圆的大小，也就是半径，是会随着A点的运动而发生变化的。从而弦BC的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高AD是定值，因此三角形ABC的面积就有一个最小值。
所谓定角定高是指三角形的一条边和这条边上的高是定值．一般是考查直角三角形，此时我们可以取斜边中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质及斜垂关系来解决面积最小值问题；通过构造平行线的对称点来解决周长最小值的问题．这类问题都是在等腰时取得最小值．
当定角不是直角时，通过构造平行线的对称点来解决周长最小值的方法仍然适用，而面积最小值可以通过构造三角形的外心或外接圆来解决．
七、米勒角（最大张角）问题
【问题提出】己知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的动点，当P在何处时，∠APB最大?
米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题.
米勒定理：
已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大。
知识铺垫：对于同一个圆来说，同弧所对的圆周角＞圆外角，即
问题解决
证明：在直线l上任取一点Q（不与P点重合），连接AQ、BQ，∠AQB即为圆O的圆外角
∴∠APB＞∠AQB，∠APB最大，∴当圆与直线l相切时，∠APB最大
【题型1】定点定长得圆
【例题1】如图 ，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E，F 分别为 AD、DC 边上的点，且 EF= 2，G 为 EF 的中点，P 为 BC 边上一动点，则 PA+PG 的最小值为？
【例题2】如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（ ）

A．B．C．D．
【巩固练习1】在矩形中，，将绕点B顺时针旋转α（）得到，连接，若的最小值为2，则的长为 ．

【巩固练习2】如图，正方形的边长为10，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是 ．
【巩固练习3】如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为 ．

【题型2】直角的对边是直径
【例题1】如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF，连接DE与AF交于点G，连接BG，则BG的最小值为_________．
C
B
G
D
A
E
F
【例题2】在中，，点分别是的中点，点是上的一个动点，连结，作交于点，连结． 点从点向点运动的过程中，的最小值为 ．

【巩固练习1】如图，在中，，，为上的一个动点，以为直径的与相切于点，交于点，则的最小值为 ．
【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝6，OC＝4，点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边作矩形CDEF，使得边EF经过点B，当点F到原点O的距离最大时，点F的坐标为___________．
x
B
A
O
D
C
y
E
F
【巩固练习3】如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．

【巩固练习4】如图，在矩形中，，，为边上一动点，为中点，为上一点，，则的最小值为 ．

【题型3】对角互补得圆
【例题1】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝__________.
【例题2】（2023·广东深圳·统考二模）如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习1】如图，点G是内的一点，且，是等边三角形，若，则的最大值为 ．
【巩固练习2】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 ．
【巩固练习3】如图，正方形的边长为4，点E是边上的动点，过点E作交于点F，点G在上，且，点M、N分别为、的中点，连接，则的最小值为 ．
【题型4】定弦定角得圆
【例题1】如图，在边长为的等边中，动点在边上（与点，均不重合），点在边上，且，与相交于点，连接当点在边上运动时，的最小值为 ．

【例题2】如图，在△ABC中，BC＝2，点D是BC的中点，∠DAC＝45°，则AB 2＋AC 2的最大值为___________．
D
B
C
A
【巩固练习1】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点D为BC边上一点，且BD＝3DC，若AD＝1，则△ABC的面积的最大值为____________．
A
B
C
D
【巩固练习2】如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝8，P是△ABC内一点，∠BPC＝120°，连接AP，则AP长的最小值为___________．
A
B
C
P
【巩固练习3】在菱形中，，点P是对角线上一动点，点Q是边上一动点，与始终相等，连结，交点为E，连结，则的最小值是 ．
【题型5】四点共圆
【例题1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是BC边上一动点，BE⊥AD交AD的延长线于点E，则 EQ \F(DE, AD ) 的最大值为___________．
C
A
B
E
D
【巩固练习1】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝eq \r(,3)，AD⊥AC交BC于点D，点E是AB边上一动点，过A、D、E三点的圆交EC于点F，连接AF，则AF的最小值是___________．
A
B
C
E
D
F
【巩固练习2】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上一点，BD＝2DC，点E、F分别是边AB、AC上的动点，且∠EDF＝120°，连接EF，则线段EF长的最小值为___________．
A
B
C
D
E
F
【题型6】相切时取到最值
【例题1】如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是CD边上一动点，BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，则AF的最大值为___________．
A
D
B
C
E
G
F
【巩固练习1】如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．

【巩固练习2】△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝ °；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 ．
【巩固练习3】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，AB＝6，点D是BC边上一动点，过点D作DE⊥AD，交AB于点E，则线段AE长度的最小值为_________．
C
B
D
A
E
【题型7】定角定高面积最小、周长最小问题
【例题1】如图，点A是直线l外一点，AH⊥l于H，AH＝2，点B、C是直线l上的动点，且∠BAC＝90°，探究△ABC面积的最小值和周长的最小值，并说明理由．
A
B
C
H
l
【例题2】如图，正方形ABCD的边长为1，点E、F分别是边BC、CD上的动点，∠EAF＝60°，求△AEF面积的最小值．
A
D
B
C
E
F
【巩固练习1】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 ．
【巩固练习2】如图，点A是直线l外一点，点A到直线l的距离为2，点B、C是直线l上的两个动点，且∠BAC＝30°，求线段BC长度的最小值．
A
B
C
H
l
【巩固练习3】如图，平面直角坐标系中，为原点，点、分别在轴、轴的正半轴上．的两条外角平分线交于点，在反比例函数的图象上．的延长线交轴于点，的延长线交轴于点，连接．
（1）求的度数及点的坐标；
（2）的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
【题型8】米勒角（最大张角）模型
【例题1】如图，在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，当∠DPM的度数最大时，则BP＝ ．
【例题2】在直角坐标系中，给定两点M（1，4），N（﹣1，2），在x轴的正半轴上，求一点P，使∠MPN最大，则P点的坐标为
【巩固练习1】如图，A，B表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ACB就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上，当∠ACB最大时就是带球线路ED上的最佳射门角．若AB＝4，BD＝1，则当球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为（ ）
A．2B．3C．D．
【巩固练习2】如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是 米.
【巩固练习3】辅助圆之定角定高求解探究
（1）如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形；
（2）如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．
模块八：二次函数中的最值问题
一题可破万题山——二次函数最值常见模型小结，一题20问
母题：如图，已知抛物线过A（4，0）、B（0，4）、C（－2，0）三点，P是抛物线上一点
求抛物线解析式 【答案】
【铅垂高系列】
本来这个属于构造二次函数型最值问题，但是比较特殊所以单独拿出来
（☆）若P在直线AB上方，求四边形PBCA面积最大值，
【答案】16 补充二级结论
【思路分析】先分离出面积为定值的△ABC，△ABC面积为12
设P，
(上面的点减去下面的点)
当时，PH取最大值2，此时△APB面积为：(AO是△PBH，△PAH两个三角形高之和)
（☆）若P在直线AB上方，作PF⊥AB，F在线段AB上，求PF最大值
【答案】
【思路分析】过P作PH平行y轴，H在AB上
导角可知△PFH~△AOB为等腰直角三角形，PH取最大时，PF也取到最大
（★）若P在直线AB上方，作PF⊥AB，交线段AB于F，作PE∥y轴交AB于E，求△PEF周长和面积的最大值
【答案】2＋2和1
【思路分析】△PEF形状固定，
若P在直线AB上方，连接OP，交AB于D，求的最大值
【答案】
【思路分析】化斜为直，平行线，构造8字相似转换
（★☆）若P在直线AB上方，连接CP，交AB于D，△PDA面积为S1，△CDA面积为S2，求的最小值
【答案】
【思路分析】化斜为自
第一步：面积比转换为共线的边之比
第二步：构造，共线的边之比转换成平行边之比
（★☆）点D是点B关于关于x轴的对称点，连接CD，点P是第一象限上一点，求△PCD面积最大值
【答案】12
【思路分析】
过动点P作y轴平行线交对边(延长)于点H
推导过程如下：以PH为底，设△PHC的高为h1，△PDH的高为
【几何构造最值篇】
（☆）点E是对称轴与x轴交点，过E作一条任意直线l，（点B、C分别在直线l的异侧），设C、B两点到直线l的距离分别为m、n，求m＋n的最大值
【答案】2
【思路分析】
特殊位置时有最小值，大多数题目都是共线时有最值，所以要重点去分析共线时的情况
（☆）已知线段BC上有两点E(1，3)，F(3， 1)，试在x，y轴上有两动点M和N，使得四边形FMNE周长最小。
【答案】
【思路分析】作两次对称即可，普通将军饮马问题，
（★）若y轴上有两点M（0，a）和N（0，a＋2），求△CMN周长的最小值

【答案】
【思路分析】造桥选址问题，C点向上平移2个单位，得到平行四边形，
故，接下来就是常规的将军饮马了
（★☆）点D为抛物线顶点，直线AD上有一点Q，连接BQ，将△BDQ沿BQ折叠得△BD’Q，①求OD’的最小值；②连接OD’，M是线段OD’的中点，求AM的最小值
【答案】①4－；②
【思路分析】(1)D’轨迹为圆（2）把A点变为中点，则AM是中位线，点圆最值问题
（★★☆）（隐圆）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DE⊥x轴于点E，设△ADE的内心为I，试求BI的最小值．
【答案】
【思路分析】易知△ADI≌△AOI(SAS)，∠AID＝∠AIO＝135°，而OA为定线段
则点I在以OA为弦，所含的圆周角等于135°的圆弧上，设该圆的圆心为F，连接FO，FA，∠OFA＝90°，故，
【构造二次函数模型求最值】
（☆）P在第一象限，作PQ∥x轴交抛物线于Q，过P、Q作x轴垂线交x轴于H、G两点，求矩形PQGH周长的最大值
【答案】
【思路分析】设点坐标，用字母表示长和宽
设，则，而P和Q点到对称轴的距离为，则，PQGH的周长为：
（★）在线段AC上有一点D，AB上有一点E，且DE∥BC，求△BDE面积的最大值
【答案】3
【思路分析】易知△ADE∽△ACB，利用相似比得出高之比
设AD＝3m，则E点到x轴的距离为2m，△BDE的面积为：
（★★☆）P是第一象限上一点，线段PC交BC于点D，交y轴于点E，△ADP和△BDE的面积分别为S1、S2，求S1－S2的最大值
【答案】
设，
则
（★★☆）抛物线对称交抛物线于点D，交x轴于点E，M是线段DE上的动点，
N(n，0)为x轴上一点，且BM⊥NM．
求n的变化范围
当n取最大值时，将直线BN向上平移t个单位，使线段BN与抛物线有两个交点，求t的取值范围．
【答案】（1），（2）
【思路分析】①由勾股定理构造出关于n的函数模型，
【详解】①设M坐标为(1，m)
∵，
整理得：，由可知，
②⇒设平移后：
分析：向上平移当N点落在抛物线上时，恰好有2个交点，
此时N点坐标为，则
继续向上平移，当△＝0，此时只有一个交点
综上
【题型1】铅垂高最值
【巩固练习1】如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作//交于点Q．
(1)求该抛物线的解析式；(2)求面积的最大值，并求此时P点坐标．
【巩固练习2】如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．

(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．
【巩固练习3】如图，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．

(1)求抛物线的表达式；(2)如图，直线交于点，求的最大值；
【题型2】构造二次函数模型求最值
【巩固练习1】如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
【巩固练习2】在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．

(1)求抛物线的表达式．
(2)若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值．
【巩固练习3】已知：关于的函数．

(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．
①当点为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【巩固练习4】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．

(1)直接写出点的坐标；
(2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．
【题型3】几何构造求最值
【巩固练习1】已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B．
若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标．
【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；