2025年中考数学压轴专题汇编(江苏专用)压轴专题06二次函数(与圆结合问题)(原卷版+解析)特训

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例题1 （2024·江苏·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点．
(1)求，的值；
(2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值．
例题2如图，顶点在轴上的抛物线与直线相交于，两点，且点在轴上，点的横坐标为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接．判断点是否在以为直径的圆上，并说明理由；
(3)以点为圆心，为半径画，与相切于点．求直线的函数表达式．

1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）二次函数的图像与x轴分别交于点、，与y轴交于点C，点P是这个函数图像的一个动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，当点P在直线下方时，过点P作，垂足为M，求的最大值；
(3)如图2，当点P在x轴上方时，连接、，直线l是二次函数图像的对称轴，过点P作，垂足为N，以点N为圆心作圆，与相切，切点为T．若以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，试说明的半径是常量．
2、对于平面直角坐标系中的点P和图形W，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．给出如下定义：若在图形W上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于，则称P为图形W的“伴随关联点”．
(1)如图1，图形W是半径为2的．
①图形W上任意两点间的距离的最大值d为 ；
②在点，，中，的“伴随关联点”是 ；
(2)如图2，图形W是中心在原点的正方形，点．若直线上存在正方形的“伴随关联点”，求t的取值范围；
(3)点为x轴上的动点，直线与x轴、y轴分别交于两点，点P为线段MN上的任意一点，均为半径为4的的“伴随关联点”，直接写出t的取值范围．
在平面直角坐标系中，若将点P沿x轴折叠得到点，再将点绕点R顺时针旋转得到，则称点是点P关于x轴-点R的折旋点．
例如：点关于x轴-点O的折旋点是点．
(1)如图1，点．
若点B是点A关于x轴-点的折旋点，则点B的坐标为___________；
若点是点A关于x轴-点E的折旋点，则点E的坐标为___________；
(2)如图2，的半径为2，若上存在点M，使得点是点M关于x轴-点的折旋点，且点在直线上，求b的取值范围；
(3)是y轴上的动点，的半径为2，若上存在点N，使得点是点N关于x轴-点的折旋点，且点在直线上，直接写出t的取值范围．
4、如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，对称轴轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线AC上一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作，当与坐标轴相切时，求的半径；
(3)直线与抛物线交于M，N两点，求面积的最小值．
5．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图1抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C顶点为D，对称轴交x轴于点Q，过C、D两点作直线CD．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，连接CQ、CB，点P是抛物线上一点，当∠DCP=∠BCQ时，求点P的坐标；
(3)若点M是抛物线的对称轴上的一点，以点M为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点M的坐标．
6、在平面直角坐标系xOy中，直线（）分别与x轴、y轴相交于A、B两点．⊙G经过A、B、O三点，C为⊙G在直线上方的弧上的一个动点．
(1)求⊙G的半径长（用含m的式子表示）；
(2)已知弧AC、弧BC的中点分别为点P、Q，连接OP，OQ．问：∠POQ的度数是否为定值？如果是，请求出它的度数；如果不是，请说明理由；
(3)在（2）条件下，连接AC，BC，OP分别交AB、AC于M、E点，OQ分别交AB、BC于N、F．连接EF．对
于每一个确定的m的值，都有一个点C，使得S△ACB取最大值，对于此时的C，记以AM、MN、BN为三边的三角形的外接圆面积为S1，△CEF外接圆的面积为S2，求的最小值．
7、在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”．
(1)如图1，的半径为1，当时，直接写出直线关于的“圆截距”；
(2)点M的坐标为，
①如图2，若的半径为1，当时，直线关于的“圆截距”小于，求k的取值范围；
②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值．
8、定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．
(1)已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；
(2)已知二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；
(3)已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连接PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．
9、如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，过点C作轴交抛物线于点E，且顶点为D，连．已知P是抛物线上一动点，且点P的横坐标大于0小于4．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）直线交直线于点Q．．求点P的横坐标．
（3）过C，E，P三点作，过点P作，垂足为G，交于点F．在点P的运动过程中，线段的长是否变化，若有变化，求出的取值范围：若不变，求的长．
10、如图，抛物线y=ax2－2ax+c与x轴分别交于点A、B(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C，连接BC，点(，a－3)在抛物线上．
（1）求c的值；
（2）已知点D与C关于原点O对称，作射线BD交抛物线于点E，若BD=DE，①求抛物线所对应的函数表达式 ；②过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，以的长为半径作⊙C，点T为⊙C上的一个动点，求TB+TF的最小值．
11、如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．
（1）请直接写出A，B，C三点的坐标，并求出过这三点的抛物线解析式；
（2）设（1）中抛物线解析式的顶点为E，
求证：直线EA与⊙M相切；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
12．（24-25·江苏·中考模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与轴交于点C，过动点H（0, ）作平行于轴的直线，直线与二次函数的图像相交于点D，E．
(1)写出点A,点B的坐标；
(2)若，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与轴相切时，求的值；
(3)直线上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
13．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图2，M是抛物线顶点，的外接圆与x轴的另一交点为D，与y轴的另一交点为E．
①求；
②若点N是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线上是否存在点P，使得与相似？如果存在，请求出点P的坐标；
(3)点Q是拋物线对称轴上一动点，若为锐角，且，请直接写出点Q纵坐标的取值范围．
14、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，连接，点P在第二象限的抛物线上，连接、，线段交线段于点E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；
(3)已知点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接，点H在x轴上，当时，
①求满足条件的所有点H的坐标
②当点H在线段上时，点Q是平面直角坐标系内一点，保持，连接，将线段绕着点Q顺时针旋转90°，得到线段，连接，请直接写出线段的取值范围．
15、我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”．如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．
(1)求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦CD的长；
(2)已知点E是“蛋圆”上的一点（不与点A，点B重合），点E关于x轴的对称点是点F，若点F也在“蛋圆”上，求点E坐标；
(3)点P是“蛋圆”外一点，满足∠BPC＝60°，当BP最大时，直接写出点P的坐标．
16、如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N，当点M运动到某一位置时，线段MN的长度最大，求此时点M的坐标及线段MN的长度；
（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰，使（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．
①将线段AB绕A点顺时针旋转90°，请直接写出B点的对应点的坐标；
②求FD长度的取值范围．
17、（24-25 江苏盐城阶段练习）已知抛物线与轴交于点、（点在点的右侧），与轴交于点．
（1）如图1，点为抛物线顶点，以点为圆心，1为半径作⊙A，点为⊙A上的动点，连接、，求的最小值；
（2）如图2，若点是直线与抛物线对称轴的交点，以为圆心，以1为半径作⊙H，点是⊙H上一动点，求的最小值；
（3）如图3，点是抛物线上的点，且横坐标为2，过点作轴于点，点是以为圆心，1为半径的⊙O上的动点，连接、，求的最大值．
知识考点与解题策略
策略一：相切求值等相关问题，需要结合相切的性质以及二次函数所给条件融合相似或三角函数知识点来完成。
策略二：涉及到最值模型的需要判断胡不归或阿氏圆模型
胡不归模型
条件：已知A，B为定点，其中点A在定直线m上，点P在直线m上一动点，求k•PA+PB（k＜1）的最小值.
图示：
解题步骤：
作射线AM使sin∠PAM= k（k＜1），且点M与点B位于直线m的两侧.
2）过点P作PC⊥AM于点C，则PC=k•PA，此时k•PA+PB=PC+BP.
3）过点B作BD⊥AM于点D，该垂线段长即为所求最小值，计算垂线段的
解题大招：即当B，P，C三点共线时，k•PA+PB取最小值，最小值为BD的长度.
模型总结：在求形如“k•PA+PB”的式子的最值问题中，关键是构造与k•PA相等的线段，将“k•PA+PB”型问题转化为“PC+PB”型. 而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到k•PA的等线段
注意：若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可.
【模型拓展】
对形如a•PA+b•PB(a>b)的式子，可以先将式子变形为，再求出的最小值，此时只需要构造,作垂线即可求出最小值.
阿氏圆模型
使用场景
已知两个定点A，B，动点P在定圆上，求PA+kPB的最小值
类型
点A，B均在圆外，r=kOB(k1)
图示
解题策略
第一步:在OB上取点D，使得OD=kr；
第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，则PD=kPB,此时PA+kPB=PA+PD;
第三步:连接AD，则AD的长即为PA+kPB的最小值.
第一步:在OB的延长线上取点D，使得OD=kr;
第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，则PD=kPB.此时PA+kPB=PA+PD;
第三步:连接AD，则AD的长即为PA+kPB的最小值
大招结论
AD的长即为PA+kPB的最小值
【模型总结】
对于阿氏圆而言：当系数k＜1的时候，一般情况下，考虑向内构造.
当系数k＞1的时候，一般情况下，考虑向外构造.
【注意事项】针对求PA+kPB的最小值问题时，当轨迹为直线时，运用“胡不归模型”求解；
当轨迹为圆形时，运用“阿氏圆模型”求解.