2025年中考数学压轴专题汇编(江苏专用)压轴专题02二次函数(特殊三角形存在性问题)(原卷版+解析)特训

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例题1 （24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)若点P为线段上的一点（不与B、C重合），轴，且交抛物线于点M，交x轴于点N，当线段的长度最大时，求点M的坐标；
(3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点Q，使得为直角三角形，直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)，，
(2)
(3)或或或
【分析】（1）在抛物线解析式中，令可求得点坐标，令则可求得、的坐标；
（2）由、的坐标可求得直线的解析式为，设点的坐标，则可表示出点坐标，从而可用表示出的长，再利用二次函数的性质求得线段的长度最大时的值，可求得点坐标；
（3）由（2）可知点坐标，设点坐标为，则可用分别表示出、及，分点为直角顶点、点为直角顶点和点为直角顶点三种情况，分别根据勾股定理可得到关于的方程，可求出的值，可求得点坐标．
【详解】（1）解：对于，令，则，
，
令，则，
解得：，，
，；
（2）解：设的表达式为，则，
解得，
直线的表达式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
∴时，最大，
此时点坐标；
（3）解：，
抛物线的对称轴为直线，
设，
∵，，
，，
，
为直角三角形，
分点为直角顶点、点为直角顶点和点为直角顶点三种情况，
①当点为直角顶点时，则有
即，
解得：，
此时点坐标为，
②当点为直角顶点时，则有，
即，
解得：，，
此时点坐标为或，
③当点为直角顶点时，则有，
即，
解得：，
此时点坐标为，
综上所述，点坐标为或或或．
例题2
如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、C两点，二次函数的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线
(1)求该二次函数表达式；
(2)在对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点P的坐标为：或或或或
【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，两点之间距离公式，分类讨论是本题求解的关键．
（1）分别求出点，点的坐标，根据对称轴求出另一交点，再根据交点式得出答案；
（2）分、、三种情况，利用线段长度相等，列出等式求解即可．
【详解】（1）解：对于，当时，，即点，
令，则，即点.
∵抛物线的对称轴为直线，则点，
设二次函数表达式为：，
∵抛物线过点，
则，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：存在，理由：
根据题意对称轴，设点，
由点A、C、P的坐标得：，，，
当时，则，
解得：，
即点P的坐标为：或；
当时，则，
解得：，
即点；
当时，则，
解得：，
即点P的坐标为：或．
综上，点P的坐标为：或或或或．
例题3
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
(1)请直接写出点A，C，D的坐标；
(2)若P是第二象限的抛物线上的一个动点（不与D重合），过点P作轴交于点E，求线段长度的最大值；
(3)若F为直线上的动点，在抛物线上是否存在点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，求出Q坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)或
【分析】（1）令抛物线解析式中，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标；
（2）先求出直线的解析式，设，则，可求，然后根据二次函数的性质求解即可；
（3）假设存在，设点，分、和三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点Q的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点Q坐标中即可得出结论．
【详解】（1）解：令，则，
解得，，
∴，，
令，则，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴，
设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
（3）解：假设存在，设点，为等腰直角三角形，分三种情况：
①当时，设与x轴交于G，，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴
∵点Q在抛物线上，
∴，
解得：（舍去），，
此时点Q的坐标为；
②当时，
为等腰直角三角形，
，
又，
∴在上，
过F作于F，
则，
，
，
∴，
，
∵点Q在抛物线，
∴，
解得：（舍去），，
此时点Q的坐标为；
③当时，，
，
∵点Q在抛物线上，
∴，
解得：（舍去），，
此时点Q的坐标为，，
∴．
综上可知：在抛物线上存在点Q，使得为等腰直角三角形，点Q的坐标为或．

1．（24-25九年级下·江苏徐州·阶段练习）如图①，二次函数与x轴交于点A、C，且点A在点C的右侧，与y轴交于点B，连接．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)求直线的解析式；
(3)如图②，点P是x轴下方、抛物线对称轴右侧图象上的一动点，连接，过点P作，与抛物线的另一个交点为Q，M、N为上的两点，且轴，轴．
①当为直角三角形时，求点P的坐标；
【答案】(1)直线
(2)
(3)①或
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线，代值即可求解；
（2）当时，当时，解方程即可求求出、的坐标，用待定系数法即可求
（3）①设点的横坐标为，则，，可求，（ⅰ）当时，，即可求解；（ⅱ）当时，，即可求解
【详解】（1）解：由题意得：
，
抛物线的对称轴为直线；
（2）解：当时，，
当时，
，
解得：，，
，；
设直线的解析式为，则：
，
解得，
直线的解析式为；
（3）解：①设点的横坐标为，
则，
，
；
（ⅰ）如图②，当时，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
；
（ⅱ）如图③，当时，
由（ⅰ）得：，
过作轴交于，
，
，
，
，（舍去），
，
，
综上所述：点的坐标为或
2．如图，已知：关于y的二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
(1)求二次函数的表达式．
(2)在y轴上是否存在一点P，使为直角三角形．若存在，请求出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质，面积的计算，分类求解是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）分，两种情况，列出等式，即可求解；
【详解】（1）解：由的坐标知，，
即抛物线的表达式为：，
将点A的坐标代入上式得：，
解得：，
则二次函数的表达式为：；
（2）解：令，则，
解得：或，
，抛物线对称轴是直线，
，
设P点坐标为，
则，，
当时，
则，即，
解得：，
则P点坐标为；
当时，
则，即，
解得：或6（舍去），
则P点坐标为；
综上所述，点P的坐标为：或．
3．如图，二次函数的图象交轴于，，交轴于．
(1)求二次函数的解析式；
(2)二次函数的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？如果存在，请直接写出答案，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或或或
【分析】（1）运用待定系数法解二次函数解析式即可求解；
（2）由抛物线解析式可求得其对称轴，则可设出点的坐标，则可表示出、和，分、和三种情况，分别根据勾股定理得到关于点坐标的方程，可求得点的坐标．
【详解】（1）解：二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，代入得：
，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）解：二次函数的对称轴上存在点，使是直角三角形；理由如下：
，
对称轴为，
可设点坐标为，
，，
，
为直角三角形，
有、和三种情况，
①当时，则有，
即，
解得或，
此时点坐标为或；
②当时，则有，
即，
解得，
此时点坐标为；
③当时，则有，
即，
解得，
此时点坐标为；
综上可知，二次函数的对称轴上存在点，使是直角三角形；点的坐标为或或或．
4．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P．
(1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式；
(2)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）根据抛物线求出点A，B的坐标，由抛物线与是“共根抛物线”，可设出抛物线的解析式，最后把点代入即可求解；
（2）设点P的坐标为，求得，，，分点P在x轴上方和点P在x轴下方，利用勾股定理列式，求得点P的坐标，据此即可求解．
【详解】（1）解：在抛物线中，
令，
则，
解得或，
即点，点，
根据题意，设抛物线的函数关系式为：，
将点代入得：，
解得：，
∴抛物线的函数关系式为：；
（2）解：假设存在，设点P的坐标为，
，，
，，，
当点P在x轴上方时，
由题意得，即，
解得，
即点P的坐标为，
将点代入得：，
解得：，
∴抛物线的函数关系式为：；
当点P在x轴下方时，
由题意得，
即，
解得，
即点P的坐标为，
将点代入得：，
解得：，
∴抛物线的函数关系式为：；
综上，抛物线L2的函数关系式为：
或．
5、（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的一个动点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使三角形是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）由题意得：结合二次函数的两点式，即，进行求解；
（2）当以点为直角顶点时，结合，得出，则，代入求出，再求出线的解析式为；根据当以点为直角顶点时，设直线与抛物线交于点，因为，
设直线的解析式为．把代入，求出直线的解析式为，即可作答．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴，
整理得
则抛物线的表达式为：；
（2）解：存在，理由如下：
的图象交轴于点，
，
，
，
当以点A为直角顶点时，设直线与抛物线交于点，过点作轴
则，
∵
∴，
即，
∴，
即，
设
则，
即点，
把代入，
解得，
解得或（舍去），
∴，
则，
设直线的解析式为，
，，
∴，
解得，
直线的解析式为．
当以点C为直角顶点时，设直线与抛物线交于点，
则，
∵，
∴，
设直线的解析式为．
把代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：（舍去）或3，
把代入，解得，
即点．
综上所述，，．
6．（24-25九年级上·江苏盐城 ·阶段练习）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m．
(1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数解析式．
(2)在点P的运动过程中，是否存在m使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，，
(2)存在，m的值为3或2
【分析】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质等知识：
（1）令，求出x的值，得点A，B的坐标，令，得y的值，可得点C坐标，再设直线的解析式为，把代入并求出k的值即可；
（2）分和两种情况利用勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：当时，，
解得或，
∴，，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
将点代入可得，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：存在m使得为等腰直角三角形，理由如下：
∵点P的横坐标为m，且，
∴点P的坐标为，
∴，，
∴，
，
；
∵，，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴，即，
解得或（舍）或（舍）；
当时，，
∴，
∴，即，
解得或（舍）；
综上所述：m的值为3或2．
7．综合与探究
如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，交轴于点，点为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交直线于点，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在直线下方的抛物线上运动时，求出长度的最大值；
(3)当以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时的值．
【答案】(1)
(2)的长度的最大值为；
(3)的值为6或或或3
【分析】（1）令即可得出点A的坐标，再根据点B的坐标利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）由点D的横坐标，可知点P和点D的坐标，再根据点在直线下方的抛物线上，即可表示解析式，并转化为顶点式就可得出答案；
（3）根据题意分别表示出，，，分当时，当时，当时三种情况分别求出m的值即可．
【详解】（1）解：对于，取，得，
∴．
将，代入，
得解得
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点的横坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∵点在直线下方的抛物线上，
∴
．
∵，
当时，线段的长度有最大值，最大值为；
（3）解：由，，，
得，，．
当为等腰三角形时，有三种情况：
①当时，，即，
解得（不合题意，舍去），；
②当时，，即，
解得，；
③当时，，即，
解得．
综上所述，的值为6或或或3．
【点睛】本题考查了待定系数求二次函数解析式、二次函数的最值、等腰三角形的性质，综合性比较强，需要注意的是求m的值时，等腰三角形要分情况讨论．
8．已知抛物线)交x轴于点和点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)如图，点P是抛物线上位于直线上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线于点D，当取最大值时，求点P的坐标；
(3)点P是抛物线上位于直线上方的动点，是以为腰的等腰三角形，求出P点坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)或
【分析】（1）将点，坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论；
（2）先求出，进而得出，进而判断出，即可得出当的长度最大时，取最大值，设出点坐标，表示出点坐标，建立，即可得出结论；
（3）根据，，表示出，，再根据或列方程求解即可．
【详解】（1）解：抛物线经过点，，
，
解得，，
抛物线的解析式为．
，
抛物线的解析式为，顶点坐标为．
（2）解：令得，，
，
．
，
，
，
．
平行于轴，平行于轴，
，，
，
，
，
，
当的长度最大时，取最大值．
设直线的函数关系式为，
把，代入，得，
解得，，
直线解析式为，
设，则，
．
，
当时，最大，此时取最大值，，
；
（3）解：∵是以为腰的等腰三角形，
∴或，
由（2）可得，，，，
∴，，
当时，，
∴，即
整理得，
∵
∴，此时；
当时，，
∵，
∴
∴，此时；
综上所述，是以为腰的等腰三角形时，P点坐标为或．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，二次函数的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键.
9．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）综合与探究
如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，是轴上的一个动点（不与点，，重合），过点作轴，分别交抛物线，直线于点，．设点的横坐标为．
(1)求抛物线的函数解析式及点的坐标，并直接写出直线的函数解析式．
(2)当点在线段上运动，且为的中点时，求的值．
(3)连接CD，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)存在，或或或．
【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的函数解析式，进而即可求得点的坐标，再利用待定系数法求得直线的函数解析式；
（2）根据题意，得．则，根据为的中点，构造方程，求解即可得解；
（3）分当点为顶角顶点时，，当点为顶角顶点时，，当点为顶角顶点时，，三种情况，利用勾股定理构造方程求解即可．
【详解】（1）解：把分别代入，得
，
解得，
∴抛物线的函数解析式为，
当x=0时，，
∴，
∴设直线为，
∵，
∴，解得，
∴直线的函数解析式为；
（2）解：根据题意，得．
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
综上所述，的值为；
（3）解：存在，点的坐标为或或或，
根据题意，得，
∴，
可分为以下三种情况讨论：
①当点为顶角顶点时，，即，
∴，
解得或舍去)，
∴，
②当点为顶角顶点时，，即，
∴，
解得或舍去)，
∴，
③当点为顶角顶点时，，即，
∴，
解得或，
∴或；
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，待定系数法求一次函数，二次函数的解析式，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的图像及性质，勾股定理是解题的关键．
10．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点D在抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点D在x轴上方抛物线上，的面积为3时，求点D的坐标；
(3)当点D在x轴上方抛物线上时，在对称轴上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，点P的坐标为或
【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求解析式，二次函数与面积问题，二次函数与等腰三角形；
（1）把，代入计算即可；
（2）设根据的面积为3列方程计算即可；
（3）设点P的坐标为，，由是以为斜边的等腰直角三角形可得，，据此列方程求解即可．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：设，
∵点D在x轴上方抛物线上，
∴到x轴的距离为，
∵的面积为3，
∴，即，
整理得：，
解得：，
∴点D的坐标为或；
（3）解：抛物线的对称轴为直线，
设，，
∴，，，
∵由是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，，
由，可得，
整理得，，
由，可得，
把代入得，
∴，
∵点D在x轴上方抛物线上，
∴，
∴，
∴，，
把代入得时，解得，
∴，
∴点P的坐标为或．
11．如图，抛物线过，两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线轴，交x轴于点H．
(1)求抛物线的表达式；
(2)直接写出点C的坐标，并求出的面积；
(3)点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当的面积为6时，求出点P的坐标；
(4)若点M在直线上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时点M的坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)
(4)点坐标为或或或
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可；
（2）求出抛物线的对称轴，再根据对称性求出点的坐标即可解决问题；
（3）设点，根据，建立方程求解即可；
（4）分别以点、、为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求的长即可．
【详解】（1）解：抛物线过，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解： ，
对称轴为直线，
，关于对称轴对称，，
，
，
．
（3）解：如图，过点P作于点H，设点，
根据题意，得：，，，
，
，
解得：，，
点是抛物线上一动点，且位于第四象限，
，
，，
；
（4）解：点在直线上，点在轴上，为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：
①以点为直角顶点且在轴上方时，如图2，，，
，
，
，
，
，，
；
②以点为直角顶点且在轴下方时，如图3，
过点作轴，过点作轴，过点作轴交于点，交于，
，，
，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
；
③以点为直角顶点且在轴左侧时，如图4，，，
过点作轴，过点作轴交的延长线于，
同理可得：，
，则，
∴，
；
④以点为直角顶点且在轴右侧时，如图5，
过点作轴，过点作轴交延长线于，
同理可得：，
，，
，
；
⑤以为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；
综上所述，当为等腰直角三角形时，点坐标为或或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法、三角形的面积、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
12．如图，已知抛物线经过点A0,3、，过点作轴，交抛物线于点，的平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若动点在线段下方的地物线上连接、，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)将抛物线向上平移个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求的取值范围；
(4)若是抛物线的对称轴上的一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)存在，或
【分析】对于（1），将两个点的坐标代入关系式得出方程组，求出解可得答案；
对于（2），作轴，设点，根据等腰直角三角形的性质可得点E的坐标， 进而求出直线的关系式，再表示点G的坐标，可表示，然后根据
得出二次函数关系式，讨论最大值时点的坐标即可；
对于（3），先求出抛物线的对称轴是，顶点坐标是，可得抛物线向上平移h个单位长度后顶点坐标为，再设直线交于点M，交于点N，并得出两个点的坐标，然后结合点Q在内得出不等式组，求出解集即可；
对于（4），分两种情况讨论，根据全等三角形的对应边相等得出方程，求出解即可得出答案．
【详解】（1）∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴抛物线的关系式为；
（2）如图，过点P作轴交于点G，
设点，
∵平分，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
设直线的关系式为，
将点代入，得，
解得，
∴直线的关系式为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积最大，
此时，
∴；
（3）由抛物线，
∴抛物线的对称轴是，顶点坐标是．
抛物线向上平移h个单位长度后顶点坐标为．
设直线交于点M，交于点N，则．
如图，
∵直线的关系式为，
∴．
∵点Q在内，
∴，
解得；
（4）存在．设，分两种情况：
当点P在对称轴右侧，且在x轴下方时，
如图，过点P作，过点F作于点M，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即,
解得，
∵，不符合题意，舍去，
∴，
则，
∴；
当点P在对称轴右侧，且在x轴上方时，如图，
同理可得，
解得（舍），
∴点P的坐标是．
综上所述，点P的坐标是或．
【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了待定系数法求二次函数的关系式，二次函数与一元二次方程，等腰直角三角形的性质和判定，二次函数的顶点式及最大值，二次函数的平移等，理解数形结合思想是解题的关键．
13．在平面直角坐标系中，抛物线（b、c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点．点P在抛物线上，其横坐标为m．
(1)求该抛物线对应的函数表达式．
(2)若抛物线在P、A之间的部分（包含端点）满足，则m的取值范围是______．
(3)过点P作x轴垂线，交直线于点N．
①连结，当是以为底边的等腰三角形时，求m的值．
②点M在坐标平面内，坐标为，连结．当线段与抛物线有公共点时，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用二次函数的性质解答即可；
（3）①根据题意得到，先求出直线AB的解析式，得到点P，点N的坐标，再利用两点间距离公式求出，建立方程求解即可；②过点M作x轴垂线，交抛物线与点K，分点P在点A左侧和右侧两种情况讨论，求出的坐标，即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线（b、c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线对应的函数表达式为：；
（2）解：∵，且，
∴当x=−1时，函数有最小值，
令，
解得：，
∴当x=1或时，函数值为，
∵，
∴当时，；
（3）解：①根据题意：，
∵点P在抛物线上，其横坐标为m，
∴，
设直线AB的解析式为，则，
解得：，
∴直线AB的解析式为，
根据题意：，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴或，
解得：或（舍去）或（舍去）
∴当是以为底边的等腰三角形时，m的值为；
②如图，过点M作x轴垂线，交抛物线与点K，当点P在点A左侧时，
则，
∵，，，
∴，
∴，
当点重合时，则，即，
解得：（舍去）或，
当点重合时，则，
∴；
如图，当点P在点A右侧时，
同理，当点重合时，则，即，
解得：或（舍去），
当点重合时，则，
∴；
综上，m的取值范围为或．
14．如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，当的面积是3时，求点P的坐标；
(3)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）把，点代入二次函数中列方程组可解答；
（2）过点作与轴交于点；可求得的解析式为 ，得，再由列方程求出m即可解答
（3）作辅助线构建全等三角形，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，证明，得，列方程可解答．
【详解】（1）解：把，点代入二次函数中得：
，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）设的解析式为：，过点作与轴交于点，
把和代入得：，
，
的解析式为：，
∵，
∴，，
∴
∵,
∴，即
解得：，
当，，即，
当，，即，
综上所述：
（3）如图2，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，
由题意得：，
，
抛物线对称轴是直线，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
（如图3），；
如图4，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，
同理可得：，
，
，
解得：，，
综上，的值是或．
15 ．如图①，已知抛物线：经过点A0,3，，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的关系式：
(2)若动点P在直线下方的抛物线上，连接，当面积最大时，求出P点坐标；
(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求h的取值范围；
(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点的坐标为
(3)
(4)存在，点的坐标为或或或
【分析】（1）将，的坐标代入解析式，利用待定系数法解答即可；
（2）过点作轴，交于点，设，利用的代数式表示出线段，再利用得到关于的二次函数解析式，利用二次函数的性质即可求得值，则结论可求；
（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与的交点坐标、与的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；
（4）由可知点的横坐标为2，设，抛物线的对称轴交轴于点，则，分四种情况：①当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的下方时，②当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的上方时，③当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的下方时，④当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的上方时，利用等腰直角三角形的性质结合全等三角形分别进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵已知抛物线经过点A0,3，，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵A0,3，，
∴，．
过点作轴，交于点，如图，

设，
∵平分，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴当时， 的面积最大，此时，
∴点的坐标为；
（3）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点为，
∴抛物线L向上平移h个单位长度，新的抛物线的顶点坐标为：．
设直线交于点M，交于点N，则，如图2，

∵平分，
∴直线为一三象限的角平分线，
∴直线的解析式为：，
∴，
∵点F在内（包括的边界），
∴，
∴；
（4）存在，点的坐标为或或或，理由如下：
∵，
∴抛物线的对称轴为直线：，
∵是抛物线的对称轴上的一点，
∴点的横坐标为2．
设，抛物线的对称轴交轴于点，则．
①当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的下方时，如图，

过点作轴于点，延长交抛物线的对称轴于点，则，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵为等腰直角三角形，则，，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
∴，
解得：（不合题意，舍去）或，
当时，，
∴点的坐标为；
②当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的上方时，如图，

过点作轴于点，延长交抛物线的对称轴于点，则，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
同上可得，
∴，
∴，
解得：（不合题意，舍去）或，
当时，，
∴点的坐标为；
③当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的下方时，如图，

过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，则，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵为等腰直角三角形，则，，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
当时，，
∴点的坐标为；
④当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的上方时，如图，

过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，则，
∴四边形为矩形，
∴，，
同上可得，
∴，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
当时，，
∴点的坐标为；
综上，存在，点的坐标为或或或．
16．如图、抛物线与轴交于点A−2,0和B4,0，与轴交于点，点是抛物线的顶点．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）将点A−2,0和B4,0代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可；
（2）设，，分两种情况：当时，当时，分别求得点的坐标即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点A−2,0和B4,0，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）∵抛物线与与轴交于点，点是抛物线的顶点，
当时，，
∴，
∵，
∴，
在轴上存在点，使得为直角三角形，理由如下：
设，
∵，，，
∴与轴不垂直，即，
，，，
当时，如图，轴，
∴；
当时，如图，
在中，，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，点的坐标为或．
17．如图，抛物线经过点，与y轴交于点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，若点P是y轴正半轴上一点，且是等腰三角形，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)点的坐标为或
【分析】本题考查了二次函数解析式的解析式以及等腰三角形的性质，本题解题的关键在于理解并应用二次函数的性质、几何知识、分类讨论的思想．
（1）将A点的坐标代入抛物线中，即可得出二次函数的解析式；
（2）本题要分两种情况进行讨论：先根据抛物线的解析式求出B点的坐标，即可得出的长进而可求出的长，①，由此可求出P点的坐标；②，此时P与B关于x轴对称，由此可求出P点的坐标．
【详解】（1）解：把代入，得，
解得．
抛物线的解析式为．
（2）解：当时，．
．
．
，
．
在中，由勾股定理，得．
点是轴正半轴上一点，
当时，P、B关于x轴对称，
；
当时，，
，
；
当时，点P在y轴负半轴上，不合题意．
综上，点的坐标为0,4或．
18．抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当面积最大时，求点的坐标及的最大值．
【答案】(1)；
(2)存在，点P的坐标为或或；
(3)，．
【分析】（1）由A、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）可设出P点坐标，则可表示出和的长，分、两种情况分别得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标；
（3）由B、C的坐标可求得直线的解析式，可设出E点坐标，则可表示出F点的坐标，从而可表示出的长，可表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点E的坐标．
【详解】（1）解：在抛物线上，
则，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）存在，
理由：，
∴抛物线对称轴为直线，
，且，
，
∵点P在对称轴上，
∴可设，
，
当时，则有，
解得，此时P点坐标为或；
当PC=CD时，则有，
解得（与D重合，舍去）或，
此时P点坐标为，
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为或或；
（3）当时，即，
解得或，
，，
设直线解析式为，
由题意可得，
解得，
∴直线解析式为，
∵点E是线段上的一个动点，
∴可设，则，
，
，
∴当时，S△CBF有最大值，最大值为，
此时，
，
∴当时，的面积最大，最大面积为4，此时E点坐标为．
19．在平面直角坐标系中，规定：抛物线的“伴随直线”为．
例如：抛物线的“伴随直线”为，即．
(1)在上面规定下，抛物线的顶点坐标为__________，“伴随直线”为__________．
(2)如图，顶点在第一象限的抛物线与其“伴随直线”相交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，．若为等腰三角形时，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，以及新定义，是解题的关键．
（1）由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式；
（2）联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点A、B的坐标，还可求得抛物线与x轴的交点C、D的坐标，从而可求得，根据图形可知为等腰三角形时，只能是，从而可求得a的值；
【详解】（1）解：的顶点坐标为，“伴随直线”为；
故答案为：，；
（2）解：的伴随直线为，即，
联立抛物线与伴随直线的解析式可得，
解得或，
，，
在中，令可解得或，
，，
，，
当为等腰三角形时，只存在一种可能为，如图所示，
，即，解得（抛物线开口向下，正值舍去）
若为等腰三角形时，a的值为．
20．如图, 一条抛物线经过点和原点O，连接，线段交y轴于点C．已知实数m，分别是方程的两个根．
(1)求m，n的值；
(2)求这条抛物线对应的函数解析式；
(3)若P为线段上的一个动点（不与点O，B重合），当为等腰三角形时，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)点的坐标为
【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用、待定系数法求函数解析式以及等腰三角形的性质等知识，同时考查了分类思想的应用．
（1）运用因式分解法解方程即可得出m，n的值；
（2）将A，B两点的坐标代入，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（3）首先求出的直线解析式以及解析式，再利用等腰三角形的性质得出当时，当时，点P在线段的中垂线上，当时分别求出x的值即可
【详解】（1）解：，
，
解得，，，
∵，
∴，；
（2）解：∵，，
∴
∵抛物线经过原点，
∴设抛物线的解析式为，
把代入解析式得，
，
解得，，
∴抛物线的解析式为；
（3）解：设直线的解析式为，
把代入解析式得，
，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点的坐标为；
∵直线过点，
∴直线的解析式为，
∵为等腰直角三角形，
∴或或，
设，
①当时，，
解得，，（舍去），
∴；
②当时，点在线段的垂直平分线上，
∴；
③当时，可得，
解得，（舍去），
∴；
综上，点的坐标为
21．已知：如图，抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为1,0，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点D，使，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由；
(3)若点E是x轴上一个动点，是否存在以A、C、E为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或或
(3)存在，或或或
【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与图形面积，二次函数与等腰三角形等知识，综合性强，有难度．
（1）由，，求出点C坐标，进而可将B、C的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）设，则，根据，可得，解方程即可；
（3）设，表示出三边，再根据等腰三角形分情况讨论，列方程求解即可．
【详解】（1）解：（1）∵，，
∴，
∴由图可得C0,−3，
把C0,−3，代入可得
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：令可得，
解得
∴A−4,0，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴或，
解得或或，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，与重合不合题意，
∴或或；
（3）解：∵点E是x轴上一个动点，
∴设，
∵A−4,0，C0,−3，
∴，，，
∵以A、C、E为顶点的三角形为等腰三角形，
∴当时，，则，解得，此时或；
当时，，则，解得，此时（时与重合，舍去）；
当时，，则，解得，此时；
综上所述，存在使以A、C、E为顶点的三角形为等腰三角形，或或或．
一、等腰三角形存在性问题解题策略
1. 分类讨论：
如图1，⑴ 若△ABC是锐角等腰三角形，那么有以下三种情况；
图1
图3
图2
① AB＝AC
② AB＝BC
③ AC＝BC
⑵ 如图2，若△ABC是直角等腰三角形，那么有以下一种情况；AB＝AC；
⑶ 如图3，若△ABC是钝角等腰三角形，那么有以下一种情况；AB＝AC；
2. 两圆一线模型：
图5
图4
如图4,线段AB,在平面内找一点C使得△ABC为等腰三角形.这样的点C如图5所示. 在分别以点A,B为圆心，AB为半径的圆和AB的垂直平分线上除了与AB在同一直线上的点外的以与点A,B构成等腰三角形,这个模型简称“两圆一线” ．
3. 相关公式：
⑴ 平面上两点间的距离公式：
如图6，已知点，，则点A，点B间的距离为AB＝．
图6
图7
⑵ 中点坐标公式：
如图7，已知点，，点C为线段AB的中点，则点C的坐标为．
方法总结：
几何法：⑴ 两圆一线作出点；⑵ 利用勾股，相似，三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．
代数法：⑴ 表示出三点A，B，C坐标；
⑵ 由点坐标表示出三条线段：AB，AC，BC；
⑶ 分类讨论 ① AB＝AC，② AB＝BC，③ AC＝BC ；
⑷ 列出方程求解.
二、直角三角形存在性问题解题策略
1. 直角三角形的定义：有一个内角为90°的三角形，叫直角三角形.
图1 图2 图3
若一个三角形为直角三角形，存在以下三种情况：
⑴ 如图1，若∠A＝90°，则
⑵ 如图2，若∠B＝90°，则
⑶ 如图3，若∠C＝90°，则
2. “两线一圆”模型
如图，线段AB，在平面内找一点C使得△ABC为直角三角形，这样的点C分别在：
⑴ 过点A，B作AB的垂线上；
⑵ 以AB的中点为圆心，AB为半径的圆上，这个模型简称“两线一圆”模型.
3. “一线三垂直” 模型
已知：当点C在线段DE上，∠D＝∠ACB＝∠E, 结论：△ADC∽△CEB
方法小结：
几何法：⑴ 两线一圆作出点；
⑵ ① 以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则
② 以已知线段为斜边时，构造“一线三垂直”模型，最后利用相似或三角函数求解.
代数法：⑴ 表示点A，B，C坐标；
⑵ 表示线段AB，AC，BC；
⑶ 分类讨论①；②；③；
⑷ 代入列方程，求解.
三、等腰直角三角形存在性问题解题策略
方法：【三垂直构造等腰直角三角形】
【模型呈现】
如图，在Rt△ADC，∠ADC=90°，将斜边AC绕点C顺时针旋转得到CB，过点B作DE⊥MN于点，∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
∴AD＝CE，CD＝BE，我们把这个数学模型成为“K型”．