湖南省湘潭市益智中学2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份湖南省湘潭市益智中学2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 满分：120分
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A
2. 点关于坐标原点O成中心对称的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了关于原点成中心对称的点坐标的特征．熟练掌握关于原点成中心对称的点坐标的横、纵坐标均互为相反数是解题的关键．
根据关于原点成中心对称的点坐标的横、纵坐标均互为相反数判断作答即可．
【详解】解：由题意知，点关于坐标原点O成中心对称的对应点的坐标是，
故选：A．
3. 如图，在菱形中，对角线相交于点，下列结论中不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质．根据菱形的性质对边互相平行、对角线互相垂直且平分的性质逐项分析即可．
【详解】解：A、根据菱形性质四条边相等，可知正确；
B、根据菱形对角线互相垂直，可知正确；
C、根据菱形的对角线平分每一组对角，可知正确；
D、根据菱形的性质，可知不一定正确．
故选：D．
4. 如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若，，则，两点间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理以及斜边上的中线等于斜边的一半．先根据勾股定理，得出，结合斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可作答．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
即点D，C两点间的距离为．
故选：B
5. 如图，在中，对角线，相交于点，点是边的中点．已知，则（ ）
A. 4B. 5C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线的性质，掌握中位线的性质是解题的关键．
根据平行四边形的性质可得，从而得到是是的中位线，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点是边的中点，
∴是是的中位线，
∵，
∴．
故选：B
6. 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【详解】过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
故选：C．
7. 若点M（a﹣2，2a+3）是y轴上的点，则a的值是（ ）
A. 2B. ﹣C. ﹣2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据y轴上点的坐标特征（0，y）可解．
【详解】∵点M（a-2，2a+3）是y轴上的点．
∴a-2=0
解得：a=2
故选A
【点睛】本题主要考查了坐标轴上点的坐标特征，准确掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键．
8. 木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ）
A. 测量两组对边是否相等B. 测量一组邻边是否相等
C. 测量对角线是否相等D. 测量对角线是否互相垂直
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可．本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法，是关键．
【详解】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量对角线是否相等；
故选C．
9. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少？若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的运用， 根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键．
【详解】解：设门的对角线长为x尺，则可列方程为：
，
故选：B．
10. 在矩形中，，，现将矩形折叠使点与点重合，则折痕的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键，也是本题的突破口．
根据矩形的性质，可得，，再由折叠的性质可得：，，然后在中，根据勾股定理可得，，再证得，过点E作于点H，则，在根据勾股定理解答，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠的性质得：，，
在中，，，，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，过点E作于点H，则，
∴，
∴．
故选：D
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 将点向上平移2个单位得到点，则点的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据平移规律求解即可．
【详解】解：将点向上平移2个单位得到点，则点的坐标是，即，
故答案为
12. 如图，在正五边形中，过点C作于点F，那么的度数为________．
【答案】##18度
【解析】
【分析】根据多边形的外角和及正多边形的性质求得的度数，再利用三角形的内角和即可求得答案．本题考查多边形的外角和，正多边形的性质及三角形的内角和，结合已知条件求得的度数是解题的关键．
【详解】解：五边形是正五边形，
，
，
，
故答案为：．
13. 如图，在矩形中，，，对角线交于O点，则的周长为_____．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．由矩形的性质得出，，，，由勾股定理得出，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴；
∴的周长为；
故答案为：．
14. 在中，，则的面积等于___________．
【答案】30
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再利用面积公式求解．
【详解】解：，，，即，
为直角三角形，
直角边为，，
根据三角形的面积公式有：
故答案为：30．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的知识，需要学生利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形的和直角三角形的面积公式结合求解．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
15. 如图，已知正方形，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要查了正方形的性质，勾股定理．熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键．
根据正方形的性质可得是等腰直角三角形，再由勾股定理解答，即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
16. 如图，菱形的对角线，，则菱形的面积为______．
【答案】48
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于菱形对角线长度乘积的一半是解题的关键．
根据菱形的面积等于菱形对角线长度乘积的一半，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，且对角线，，
∴菱形的面积为．
故答案为：48
17. 如图，在中，于点E，于点F，∠EBF＝60°，则∠C=________．
【答案】60°
【解析】
【分析】根据四边形的内角和等于360°即可求出∠D，再根据平行四边形的邻角互补即可求出∠C．
【详解】∵BE⊥CD，BF⊥AD，
∴∠BED＝∠BFD＝90°，
在四边形BEDF中，∠D＝360°−∠BED −∠BFD −∠EBF＝360°−90°−90°−60°＝120°，
在▱ABCD中，∠C＝180°−∠D＝180°−120°＝60°．
故答案为：60°.
【点睛】本题考查四边形内角和以及平行四边形的性质，掌握四边形内角和为360°与平行四边形的性质是解题的关键．
18. 若一个直角三角形的三边长分别为3、4、，则__________．
【答案】或5##5或
【解析】
【分析】本题主要查了勾股定理．分两种情况解答，即可．
【详解】解：若斜边长为4，则；
若斜边长为x，则；
综上所述，x的值为或5．
故答案为：或5
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 如图，在中，，，，，求的长.
【答案】
【解析】
【分析】在求出BD的长，在中求出CD的长，利用BC=BD+CD可得出结果.
【详解】解：，
.
在中，
，
，
.
在中，
，
.
.
.
【点睛】本题主要考查勾股定理，以及含特殊角的直角三角形边之间的关系，掌握基本公式是解题关键.
20. 如图，在平行四边形中，，，平分交于点E，求的长．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，根据四边形为平行四边形可得，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，继而可得，然后根据已知可求得的长度．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
21. 如图，在菱形中，作于F，，求证：
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，依据菱形的性质即可得到，，再根据AAS即可判定≌，进而得出
详解】证明：菱形，
，，
，，
，
在与中，
，
，
22. 已知点．
（1）若点P在x轴上，求m的值；
（2）若点P在第二象限，求m取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
（1）根据点在x轴上，纵坐标为解题即可；
（2）根据点在第二象限，即满足，解不等式组即可解题．
【小问1详解】
∵点P在x轴上，
∴，
解得：，
∴若点P在x轴上，则m的值为；
【小问2详解】
∵点P在第二象限，
∴
解得：，
∴当m满足时，点P在第二象限．
23. 如图，在四边形中，P是对角线的中点，E，F是的中点，，求证：．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中位线，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．根据三角形中位线定理得到，，根据得到，等量代换可得结论．
【详解】证明：在中，P，F是的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴．
24. 如图所示，三个顶点的坐标分别为．
（1）作关于x轴的对称图形，并给出三个顶点的坐标；
（2）在x轴上存在点P，使得的面积，求出点P的坐标．
【答案】（1）图形见解析过程，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为
（2）或
【解析】
【分析】本题主要考查了作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质是解题的关键．
（1）分别作出点，点和点关于轴的对称点，并顺次连接，再按要求写出它们对称点的坐标即可．
（2）根据与的面积关系，可求出的长，再结合点的坐标即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求作的三角形．
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
【小问2详解】
解：由题知，
．
∵，
∴，
则，
则．
∵点的坐标为，
∴点的坐标为或．
25. 如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，动点P从点A开始沿边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿边向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒，求：
（1）t为何值时，四边形为平行四边形？
（2）t为何值时，四边形为矩形？
（3）四边形在某一时刻 填（会，不会）正方形．
【答案】（1）当秒时，四边形为平行四边形
（2）当秒时，四边形为矩形
（3）不会
【解析】
【分析】（1）四边形为平行四边形，即，列出等式求解；
（2）四边形为矩形,即，列出等式，即可求解；
（3）比较（2）中的大小，判断是否为正方形．
【小问1详解】
由题意得：，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
解得：，
∴当秒时，四边形为平行四边形；
【小问2详解】
由题意得：，
，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
解得：，
∴当秒时，四边形为矩形．
【小问3详解】
正方形是矩形的一种特殊情况，
故当秒时，，
故四边形不会是正方形；
故答案为：不会；
【点睛】本题主要考查了矩形、平行四边形的判定与性质应用，要求学生掌握对各种图形的认识，同时学会数形结合的数学解题思想．
26. 如图，在正方形中，点在射线上，点在射线上．
（1）连接，如图1，求证：；
（2）过点作交于点，如图2，求证：；
（3）点在射线上，点在射线上，若，，，直接写出的长；_______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）或
【解析】
分析】（1）利用“”证明即可得证；
（2）连接，作于，于，由（1）可得：，，由全等三角形的性质结合正方形的性质得出，证明四边形是矩形，是等腰直角三角形，得出，，证明出，由等腰三角形的性质得出，即可得解；
（3）分两种情况：当点在线段上时，此时点在线段上；当点在射线上时，此时点在射线上，作交的延长线于，交的延长线于，延长交于；分别求解即可得出答案．
【小问1详解】
证明：四边形是正方形，点在对角线上，
，，
，
，
；
【小问2详解】
证明：如图，连接，作于，于，
，
由（1）可得：，，
，
四边形是正方形，
，，
，即，
，，
，
四边形是矩形，是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图，当点在线段上时，此时点在线段上，
，
四边形是正方形，，
，
，
，
由（2）可得，
，
；
如图，当点在射线上时，此时点在射线上，作交的延长线于，交的延长线于，延长交于，
，
四边形是正方形，，
，，，
，
，
，，
，
四边形是矩形，四边形是矩形，是等腰直角三角形，
，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，，
，
，
；
综上所述，或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．