广东省珠海市第五中学2024-2025学年八年级下学期期中 数学试卷（含解析）

这是一份广东省珠海市第五中学2024-2025学年八年级下学期期中 数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了全卷共4页等内容，欢迎下载使用。
说明：
1．全卷共4页．满分120分，考试用时120分钟．
2．答案写在答题卷上，在试卷上作答无效．
3．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卷上，不能用铅笔和红色字迹的笔．
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡对应题目所选的选项涂黑．
1. 下列各式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：A．是最简二次根式，符合同意；
B．不最简二次根式，不符合同意；
C．不是最简二次根式，不符合同意；
D．不是最简二次根式，不符合同意；
故选A．
【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的加减、乘除法则计算，判断即可．
【详解】A、，的被开方数不一样，不能合并，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项正确；
D、，故D选项错误．
故选：C
【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算．注意二次根式的加减可以类比合并同类项法则，化简后只有被开方数相同才能进行合并．
3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A. 1，3，5B. 2，3，4C. 4，5，6D. 5，12，13
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据三角形中三条边满足较短两边的平方和等于长的一边的平方，这样的三角形叫做直角三角形，逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、，1，3，5不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、，2，3，4不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、，4，5，6不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、，5，12，13能构成直角三角形，故符合题意；
故选：D．
4. 如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段的同侧取一点C，连结并延长至点D，连结并延长至点E，使得A、B分别是的中点，若，则线段的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查三角形中位线定理，熟练掌握中位线的性质是解题的关键．根据题意得到即可得到答案．
【详解】解： A、B分别是中点，
是的中位线，
，
故选C．
5. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是、、，则顶点D的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形对边平行且相等的性质作答．
【详解】，
又，
故选D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解决本题的关键是将平行四边形的性质与坐标系中点的坐标相结合．
6. 如图，的两个顶点，均在数轴上，且，，若点表示的数是，点表示的数是，那么以点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，两点间的距离求出的长，勾股定理求出的长，再利用两点间的距离求出点D 表示的数即可．
【详解】解：∵点 A 表示的数是，点 C表示的数是，
∴，
∵
∴，，
由作图可知：，
∴点 D表示的数是；
故选：A．
7. 下列条件中不能判定一定是平行四边形的有（ ）
A. 一组对角相等，另一组对角也相等
B. 两组对边分别相等
C. 一组对边平行，且另一组对边也平行
D. 一组对边平行，另一组对边相等
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定方法进行解题即可．
【详解】A、一组对角相等，另一组对角也相等的四边形是平行四边形，选项说法正确，不符合题意；
B、两组对边分别相等四边形是平行四边形，选项说法正确，不符合题意；
C、一组对边平行，且另一组对边也平行四边形是平行四边形，选项说法正确，不符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等不一定是平行四边形，选项说法错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定方法，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．
8. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简．先根据数轴判断出a、b和的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可．
【详解】解：由数轴可知：，，，
∴
，
故选：B．
9. 把一个长方形的纸片按图甲、图乙对折两次，然后剪下图丙中的①部分，为了得到一个锐角为的菱形，剪口与第一次折痕所成的角的度数应为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了剪纸问题，翻折的性质，菱形的性质．根据翻折的性质和菱形的性质可得答案．
【详解】解：为了得到一个锐角为的菱形，
菱形的内角度数为或，
根据菱形的对角线平分每一组对角得，或，
故选：D．
10. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以的三条边为边长向外作正方形、正方形、正方形，连接．若，，则的长为（ ）
A. B. 8C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，先求出，，作交的延长线于，得出，，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴（负值舍去，不符合题意），
∵，
∴，
∴（负值舍去，不符合题意），
如图：作交的延长线于，
则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解得．
故答案为：．
12. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______．
【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
【解析】
【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可．
【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
13. 如图，在中，为线段的中点，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解答本题的关键要明确：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．先运用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出的长．
【详解】解：在中，，，，
由勾股定理得：
又为的中点，
，
故答案为：．
14. 电流通过导线时会产生热量．电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足：．已知导线的电阻，1s的时间导线产生30J的热量，则电流为______A．（结果用二次根式表示）
【答案】
【解析】
【分析】将已知量代入物理公式，即可求得电流的值．
【详解】解：电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足：，
将，，代入，得，
解得：或（负值，舍去）
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是将已知量代入公式计算，比较简单．
15. 如图，在四边形ABCD中，，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向B点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动APD点也随之停止运动．从运动开始，经过______秒时，．
【答案】4或6
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形性质，一元一次方程的应用．根据，一种情况是：四边形为平行四边形，可得方程，一种情况是：四边形为等腰梯形，可求得当，即时，解方程即可求得答案．
【详解】解：根据题意得：，，则，
若要，分为两种情况：
①当四边形为平行四边形时，
即，
，
解得：；
②当四边形为等腰梯形时，
即，
，
解得：，
即当或时，，
故答案为：4或6．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
16. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据二次根式的性质，分母有理化，利用平方差公式计算求值即可．
【详解】解：
．
17. 如图，在中，，分别是边和上的点，连接，，且．求证：

（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）证明四边形是平行四边形即可；
（2）用证明即可．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，
又．
四边形是平行四边形．
平行四边形对角相等
【小问2详解】
四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定，熟练掌握平行四边形性质是解本题的关键．
18. x，y分别是的整数部分和小数部分，
（1）________，_______；
（2）求的值．
【答案】（1）2；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了估算无理数的大小和二次根式的混合运算，正确的估算出的大小是解题的关键．
（1）先求出范围，即可求出x、y；
（2）把x、y的值代入求出即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，；
故答案为：2；；
【小问2详解】
解：
．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19. 如图，矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．
（1）写出折叠后的图形中的等腰三角形：______；
（2）求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到，进而得出是等腰三角形；
（2）设，则，，依据勾股定理即可得到的值．
【小问1详解】
解：由折叠可得，，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
故答案为：．
【小问2详解】
设，
∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴，，是直角三角形，
∴中，，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查折叠问题，考查了折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理．解题的关键是通过设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
20. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=AC，连接AE交OD于点F，连接CE、OE，
（1）求证：四边形OCED为矩形：
（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，求AE的长.
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）由菱形中，且，易证得四边形是平行四边形，于是得到结论；
（2）由菱形的对角线互相垂直，可证得四边形是矩形，根据菱形的性质得出，再根据勾股定理得出的长度即可．
【小问1详解】
证明：四边形是菱形，
，，
且，
，
四边形、四边形都是平行四边形，
，
四边形是矩形；
【小问2详解】
解：在菱形中，，
为等边三角形
，
在矩形中，．
在中，．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用．注意证得四边形是平行四边形，四边形是矩形是关键．
21. 校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道上确定点D，使CD与垂直，测得CD的长等于24米，在上点D的同侧取点A、B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．
（1）求AB的长（结果保留根号）；
（2）已知本路段对校车限速为45千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．（参考数据：≈1.7，≈1.4）
【答案】（1）AB的长为米；（2）这辆校车超速，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）先在中，利用正切三角函数可求出AD的长，再在中，利用正切三角函数可求出BD的长然后根据线段的和差即可得；
（2）先利用“速度路程时间”求出这辆校车的速度，然后与45进行比较即可得．
【详解】（1）由题意得：米，
在中，，即，
解得（米），
在中，，即，
解得（米），
则（米），
答：AB长为米；
（2）（千米），
校车从A到B用时为（小时），
则这辆校车的速度约为（千米/小时），
因为，
所以这辆校车超速．
【点睛】本题考查了正切三角函数等知识点，掌握利用正切三角函数解直角三角形是解题关键．
五、解答题（三）（本大题2小题，其中第22题13分，第23题14分，共27分）
22. 阅读下列材料：
；
．
请回答下列问题：
（1）观察上面的解题过程，请写出：
①________；②______；
（2）请化简：；
（3）若，，比较a，b的大小，并说明理由．
【答案】（1）①；②
（2）
（3）．理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算；
（1）①根据例题进行计算即可求解；②根据题中的算式，直接得出规律即可；
（2）利用（1）中规律展开，然后去括号合并即可．
（3）根据（1）的结论，分子有理化，即可求解．
【小问1详解】
解：①，
故答案为：．
②，
故答案为：；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：，理由如下，
根据（2）中的规律可得：，，
∵，
∴．
23. 如图，已知四边形正方形．E为对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接．
（1）如图1，求证：矩形是正方形；
（2）如图2，已知正方形的边长为2，当时，
①求的长；
②记的面积为，的面积为，则________．
【答案】（1）见解析 （2）①；②
【解析】
【分析】（1）过E作于M点，过E作于N点，即可得到，然后判断，得到，求得，即可证明矩形是正方形；
（2）①证明，求得，，推出是等腰直角三角形，设，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可；
②同①求得，分别求得和的值，据此即可求解．
【小问1详解】
证明：过E作于M点，过E作于N点，如图所示：

∵四边形是正方形，，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
又，
∴，
∴；
∴矩形是正方形；
【小问2详解】
解：①作于点，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴；
②作于点，过E作于M点，过E作于N点，
由（1）知四边形为正方形，
同理可证，
∴，，
同理可证，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理的综合运用，二次根式的混合运算．解本题的关键是作出辅助线，构造三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得出结论．