广东省深圳实验学校2024-2025学年下学期八年级期中 数学试卷（含解析）

这是一份广东省深圳实验学校2024-2025学年下学期八年级期中 数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了 若分式的值等于0，则m的值是， 下列分解因式正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出来的，这些图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形及轴对称图形的概念即可解答．
【详解】选项A，是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
选项B，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
选项C，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
选项D，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了中心对称图形及轴对称图形的概念，熟练运用中心对称图形及轴对称图形的概念是解决问题的关键．
2. 若分式的值等于0，则m的值是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查分式的值为零，根据分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，进行求解即可．
【详解】解：由题意得，
∴，
故选：A．
3. 下列分解因式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查因式分解的定义，掌握因式分解定义是求解本题的关键．根据因式分解的定义判断即可．
【详解】解：、的右边不全是乘积形式，故该选项不符合题意；
、，故该选项不符合题意；
、，故该选项不符合题意；
、，故该选项符合题意．
故选：D．
4. 下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式．根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到未知数系数为负数，并且不等式的解为x≤5的即为所求．
【详解】解：A、，解得x≤5，未知数系数为正数，不符合题意；
B、，未知数系数为正数，不符合题意；
C、-2x≥-10，解得x≤5，符合题意；
D、-2x≤-10，解得x≥5，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
5. 在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（ ）
A. 顺时针旋转，向右平移
B. 逆时针旋转，向右平移
C. 顺时针旋转，向下平移
D. 逆时针旋转，向下平移
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查利用旋转设计图案，利用平移设计图案，根据平移和旋转性质即可得到结论．正确地识别图形是解题的关键．
【详解】解：①先顺时针旋转，
②∵俄罗斯方块会自动向下平移，
∴我们无需考虑向下平移，
∴向右平移．
故选：A．
6. 如图，已知的顶点，，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交于点G．则点G的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得，，，由勾股定理可得的长，由平行线的性质和角平分线的性质可得，即可求解．
【详解】解：由题意可得：平分，
∵的顶点，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴点，
故选：C．
【点睛】本题考查尺规作图-作角平分线、平行四边形的性质、平行线的性质、等角对等边、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
7. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】首先对原分式方程变形，其次解出分式方程的解，再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可．本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，，列不等式组是解题关键．
【详解】解：原分式方程可化为：，
去分母，得，
解得，
分式方程解是非负数，
，且，
的取值范围是：且，
故选：B
8. 如图，已知的面积为18，点D在线段上，点F在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】连接，过A作交的延长线于M，求出平行四边形，根据等底等高的三角形面积相等得出的面积和的面积相等，的面积和的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，求出的值即可．本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，主要考查学生的推理能力和转化能力，题目比较好，但是有一定的难度．
【详解】解：连接，过A作交的延长线于M，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵边上的高和的边上的高相同，
∴的面积和的面积相等，
同理的面积和的面积相等，
即阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，是
∵，
∴，
∵的面积是18，
∴
∴，
∴阴影部分的面积是．
故选：C．
9. 如图，在中，，，，点为上一点，，为射线上一动点，四边形为平行四边形，连接，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】延长到点G，使作直线，作于点H，由 得则求得则 ，所以再证明四边形是平行四边形，则可证明则而则 所以的最小值为于是得到问题的答案．
此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、平行四边形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：延长到点G， 使作直线，作于点H，如图：
∵
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
∴四边形是平行四边形，
∴点F在经过点G且与平行的直线上运动，
，
，
∴的最小值为
故选：C．
二．填空题（共5小题）
10. 将因式分解为______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法和平方差公式因式分解是解决此题的关键．先提公因式，然后再利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
故答案为：．
11. 若正多边形的内角和是，那么这个多边形一定是正_______ 边形．
【答案】五
【解析】
【分析】主要考查了多边形的内角和公式．要掌握该公式：多边形的内角和等于．直接利用多边形内角和公式求解即可．
【详解】解：设这个多边形是n边形，
则，
解得．
故这个多边形一定是正五边形．
故答案为：五．
12. 若=2，则=_____
【答案】
【解析】
【分析】由=2，得x+y=2xy，整体代入所求的式子化简即可．
【详解】=2，得x+y=2xy
则==，
故答案为：.
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题关键是用到了整体代入的思想．
13. 如图，在直角坐标系中，等边三角形的顶点A的坐标为，点B，C均在x轴上．将绕顶点A逆时针旋转得到，则点的坐标为______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质、解直角三角形、等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作轴交于点F，根据等边三角形的性质得到，利用余弦的定义求出的长，根据旋转的性质得到是等边三角形，利用三角函数的知识求出和的长，即可求出点的坐标．
【详解】解：如图，作轴交于点F，
由题意得：，
∵是等边三角形，，
∴是的角平分线，，
∴，
在中，，
∴，
由旋转的性质得，是等边三角形，，，
又∵轴，
∴，
∴，，
∴，
∴点坐标为．
故答案为：．
14. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，，，，点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动．连接并延长交于点，设点的运动时间为秒，在点的运动过程中，当是等腰三角形时，的值为______．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰梯形、等腰三角形的判定与性质、含角直角三角形的性质，正确分三种情况讨论是解题关键．
若是等腰三角形，分两种情况，第一种，第二种，第三种，分别计算即可求出点的运动时间．
【详解】解：如图所示，作点、、使得，，，
当点分别运动到点、、时，是等腰三角形，
①当点运动到点：
此时，
又，且，
四边形为等腰梯形，
，
②当点运动到点：
此时，
，
③当点运动到点：，
作交于点，
，
根据等腰三角形三线合一得：
，
．
故答案为：或或．
三．解答题（共6小题）
15. （1）解方程：
（2）解不等式组：，并写出它的所有正整数解．
【答案】（1）（2），所有正整数解为：1，2，3
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，求不等式组的整数解，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式的步骤，是解题的关键：
（1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【详解】解：（1），
，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的根；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∴该不等式组的所有正整数解为：1，2，3．
16. （1）化简：；
（2）请在以下四个数：，，1，3中，选择一个适当的数作为的值，求出（1）中代数式的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据分式的减法法则、除法法则把原式化简；
（2）根据分式有意义的条件确定的值，代入计算得到答案．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：（1）原式
；
（2）由题意得：，3，
当时，原式．
17. 如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．
（1）画出将围绕点A按顺时针方向旋转，得到的；
（2）画出将平移得到的，点B的对应点是点；
（3）在（1）过程中，直接写出点B到点所经过的路径长：______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，平移的性质，勾股定理，弧长公式等知识，解题的关键是：
（1）利用网格特点和旋转的性质画出点，，然后连线即可；
（2）利用网格特点和平移的性质画出点，，然后连线即可；
（3）利用勾股定理求出，然后利用弧长公式求解即可．
【小问1详解】
解∶如图， 即为所求，
；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
【小问3详解】
解：，
点B到点所经过的路径长为．
故答案为：．
18. 随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表：
（1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；
（2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量．
【答案】（1）单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个
（2）小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键；
（1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个列出分式方程，解方程，即可求解；
（2）先计算总花费为元，根据此次加购小区预备支出不超过元，列出不等式，解不等式，求最小整数解，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意可得
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元/个）
答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个；
【小问2详解】
解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个)
双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为(元/个)
设再次购进单枪新能源允电社个，则购进双枪新能源允电社个，总花费为元
∵此次加购小区预备支出不超过元
∴
解得
∴的最小值为
答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个．
19. 如图，在平面直角坐标系中，过点和的直线与直线相交于点C，直线与x轴相交于点D，点E在线段AB上，连接DE，的面积为．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点E的坐标；
（3）点M是直线CD上的动点，点N在y轴上，是否存在点M、N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）直线AB的表达式为
（2）
（3）存在，或或
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）联立方程组，求出C点坐标，设E（m，m+2），由，求出m的值即可求点E的坐标；
（3）设M（t，t+），N（0，y），利用平行四边形对角线互相平分分三种情况讨论即可．
【小问1详解】
设直线AB的解析式为
将，代入得.
解得.
直线AB的表达式为
【小问2详解】
当时，

联立得

设点
.
.
【小问3详解】
存在点M、N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设M（t，t+），N（0，y），
①当BE为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴N（0，）；
②当BM为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴N（0，）；
③当BN为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴N（0，）；
综上所述：N点坐标为（0，）或（0，）或（0，）．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
20. 已知为等边三角形．
（1）如图1，点为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：；
（2）如图2，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点，连接，交于点．求证：；
（3）如图3，若，点是边上一定点且，若点为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，，求的最小值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，四边形的内角和，轴对称的性质，旋转的性质，三角形的三边性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质可得，再利用即可证明；
（2）由为等腰直角三角形可得，，进而得到，又根据为的中点，可得，即可得，在上取一点，使，可得是等边三角形，得到，故得，再证明，得到，即可求证；
（3）把绕点逆时针旋转得到，由旋转可得为等边三角形，得到点轨迹是射线，作点关于直线的对称点，连接，则有，根据即可求解．
【小问1详解】
解：证明：∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴平分，
∴，
∴，
在上取一点，使，连接，则是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：把绕点逆时针旋转得到，则，
∵，
∴，
∴，
∴三点共线，
又∵由旋转可得，，
∴为等边三角形，
∴，
∴点的轨迹是射线，
作点关于直线的对称点，连接，
则，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为．
单枪充电桩
双枪充电桩
花费：元
花费：元
单价：元/个
单价：元/个