河北省保定市第十七中学2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份河北省保定市第十七中学2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版），共34页。
注意事项：
1、本试卷共8页，总分120分，考试时间60分钟．
2、请将正确答案清晰工整地写在答题纸上．
3、答案须用黑色字迹的钢笔或签字笔书写．
卷Ⅰ选择题（共40分）
一、选择题（每小题2分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. “纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据0.00000117用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
2. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ）
A. 旭日东升B. 画饼充饥C. 守株待兔D. 竹篮打水
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B 经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
D. 在同一平面上，不重合的两条直线，如果它们不相交，那么就一定平行
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 数学课上，老师让小明准备三根木棒用来研究三角形三条边之间的关系，小明已经准备了和的木棒．若第三根木棒能够和已经准备了的木棒构成三角形，则第三根木棒的长度可以是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列各图中，不是同位角的是（ ）
A. B. C. D.
7. 下列条件中，能确定△ABC是直角三角形的是（ ）
A. ∠A=∠C-∠BB. ∠A:∠B:∠C=1:3:5C. ∠A=90°+∠BD. ∠B-∠C=90°
8. 下列图形中，线段的长度表示点到直线距离的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 有五条线段长度分别为1，3，5，7，9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（ ）
A B. C. D.
10. 如图，点在线段上，，．若，则下列说法错误是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知，则用可以表示为（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，点，，分别在的边，，上的点，连接，，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
13. 下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
14. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）．
A B. C. D. 以上都有可能
15. 等腰三角形的两边满足，则该等腰三角形的周长是（ ）
A. B. C. D. 或
16. 如图，小亮在一次创新性实验课上，用张类正方形卡片，张类正方形卡片和张类长方形卡片，拼成了一个大正方形，则拼成的大正方形的边长是（ ）
A. B. C. D.
17. 如图，已知，从下列条件中补充一个条件后，仍不能证明的是（ ）
A. B. C. D.
18. 如图，已知，，则（ ）
A. B. C. D.
19. 如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为秒，连接，．当与全等时，的值为（ ）
A. B. C. 或D. 或
20. 设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为，依此类推，则的值为（ ）
A. B. C. D.
卷Ⅱ（非选择题，共80分）
二、填空题（每空2分，共12分）
21. 一个盒子中装有a个白球和6个红球，这些球除颜色外完全相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在，估计a的值为______．
22. 计算：______．
23. 若是一个完全平方式，则的值为______．
24. 将如图①的长方形纸片沿折叠得到图②，折叠后与相交于点P，如果，则的度数为_______．
25. 已知 ，则的值是____________．
26. 如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则______．
三、解答题（共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
27. 计算与化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
（5）（运用乘法公式进行简便计算）．
（6）（运用乘法公式进行简便计算）．
（7）先化简，再求值：，其中．
28. 如图，已知点在直线外．
（1）作直线，使经过点，且（要求：尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）为什么平行？请说明理由．
29. 如图，现有一个转盘被均分成六等份，分别标有数字1，2，3，4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．
（1）随机转动转盘15次，其中3次转出数字“5”，则这15次中转出数字“5”的频率是______；
（2）小明和小亮一起做游戏，转出的数字是2的倍数，小明获胜，转出的数字是3的倍数，小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由．
30. 完成下面的推理填空：科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进快递自动分拣流水线，如图①所示，图②将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．
如图②，，平分，平分．
试说明：．
阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）
证明：∵（已知），
∴______（______），
∵平分（已知），
∴______（______），
同理，，
∴（______），
∴______（______），
∴（______）．
31. 【发现问题】
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论．
【提出问题】
（）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：；
公式②：．
图对应公式______；图对应公式______．
【解决问题】
（）如图，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形且对角线时，若，正方形和正方形的面积和为，请求出阴影部分的面积．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是）
【能力拓展】
（）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？已知，则______．
（）已知，则______．
32. （1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、关系为______；
（2）探究问题：如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，直线PQ经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若、，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时．求此时的值．（直接写出结果）
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2024~2025学年度第二学期期中学业质量监测
七年级数学试题
注意事项：
1、本试卷共8页，总分120分，考试时间60分钟．
2、请将正确答案清晰工整地写在答题纸上．
3、答案须用黑色字迹的钢笔或签字笔书写．
卷Ⅰ选择题（共40分）
一、选择题（每小题2分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. “纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据0.00000117用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的个数所决定．确定a与n的值是解题的关键．这里的．
【详解】解：．
故选：A．
2. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ）
A. 旭日东升B. 画饼充饥C. 守株待兔D. 竹篮打水
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能会发生的事件是随机事件，据此判定即可求解，理解以上定义是解题的关键．
【详解】解：A. 旭日东升是必然事件；
B. 画饼充饥是不可能事件；
C. 守株待兔是随机事件；
D. 竹篮打水是不可能事件；
故选：C．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B. 经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
D. 在同一平面上，不重合的两条直线，如果它们不相交，那么就一定平行
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行公理，垂线的性质，点到直线的距离及直线和直线的位置关系，根据平行公理，垂线的性质，点到直线的距离的定义及直线和直线的位置关系逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该选项说法错误，不符合题意；
、在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，该选项说法错误，不符合题意；
、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，该选项说法错误，不符合题意；
、在同一平面上，不重合的两条直线，如果它们不相交，那么就一定平行，该选项说法正确，符合题意；
故选：．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的相乘，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的相除．熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
根据同底数幂的相乘法则计算并判定A；根据幂的乘方法则计算并判定B；根据同底数幂的相除法则计算并判定C；根据幂的乘方与积的乘方法则计算并判定D．
【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，正确，故此选项符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
5. 数学课上，老师让小明准备三根木棒用来研究三角形三条边之间的关系，小明已经准备了和的木棒．若第三根木棒能够和已经准备了的木棒构成三角形，则第三根木棒的长度可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系，求得第三边的范围，即可求解．
【详解】解：设第三根木棒的长度是，
则，
所以，
所以第三根木棒的长度可以是．
故选B．
6. 下列各图中，不是同位角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查识别同位角，熟练掌握同位角的定义是解决本题的关键， 在被截线同一侧，截线的同一方位的两个角互为同位角．
根据同位角的定义逐一判断，解决此题．
【详解】解：A．，是同位角，A故不合题意；
B．，是同位角，故B不合题意；
C．，是同位角，故C符合题意；
D．，不是同位角，故D不合题意．
故选：C．
7. 下列条件中，能确定△ABC是直角三角形的是（ ）
A. ∠A=∠C-∠BB. ∠A:∠B:∠C=1:3:5C. ∠A=90°+∠BD. ∠B-∠C=90°
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案
【详解】解：因为∠A=∠C-∠B，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；
因为∠A:∠B:∠C=1:3:5，设∠A＝x，则x＋3x＋5x＝180，x＝20°，∠C＝20°×5＝100°，所以△ABC不是直角三角形；
因为∠A=90°+∠B，所以三角形为钝角三角形；
因为∠B−∠C＝90°，则∠B＝90°＋∠C，所以三角形为钝角三角形．
故选A．
【点睛】此题考查三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°；理解三角形内若有一个内角为90°，则△ABC是直角三角形．
8. 下列图形中，线段的长度表示点到直线距离的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，注意从直线外一点引这条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离求解．
【详解】解：选项A，B，C中，与不垂直，故线段的长不能表示点A到直线距离，不合题意；
选项D中，于，则线段的长表示点到直线距离，符合题意．
故选：D．
9. 有五条线段长度分别为1，3，5，7，9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了列举法求概率，以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．试验发生包含的事件是从5条线段中取3条，满足条件的事件可以列举出共有3种，根据古典概型的公式得到结果．
【详解】解：∵试验发生包含的事件是从5条线段中取3条，有：，，，，，，，，，，共10种结果，
满足条件的事件是，，，共有3种，
∴根据古典概型的公式得到的概率是．
故选：B．
10. 如图，点在线段上，，．若，则下列说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，邻补角的性质，勾股定理，由得，，，即得，，即可判定；再根据邻补角的性质得，即可判定；进而由勾股定理可判定，综上即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，故正确，不合题意；
∵，
∴，故正确，不合题意；
∴，故错误，符合题意；
故选：．
11. 已知，则用可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用以及幂的乘方的逆用，掌握相关运算法则是解题关键．将变形为计算即可．
【详解】解：因为，
所以，
故选：D．
12. 如图，点，，分别在的边，，上的点，连接，，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定，掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解决问题的关键．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法进行判断即可．
【详解】解：A．，则（同位角相等，两直线平行），故A不符合题意；
B．，则（同旁内角互补，两直线平行），故B不符合题意；
C．，则（内错角相等，两直线平行），故C不符合题意；
D．，则（同位角相等，两直线平行），不能判定，故D符合题意；
故选：D．
13. 下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平方差公式，根据平方差公式的结构：，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、不能用平方差公式计算，不符合题意；
B、不能用平方差公式计算，不符合题意；
C、不能用平方差公式计算，不符合题意；
D、能用平方差公式计算，符合题意；
故选：D．
14. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）．
A. B. C. D. 以上都有可能
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质进行判断即可．
【详解】解：由图可知：是边长为的边的一个邻角，
∵两个三角形全等，
∴；
故选A．
15. 等腰三角形的两边满足，则该等腰三角形的周长是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，三角形的三边关系，由非负数的性质得，，进而根据三角形的三边关系得是等腰三角形的底，是等腰三角形的腰，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴是等腰三角形的底，是等腰三角形的腰，
∴该等腰三角形的周长为，
故选：．
16. 如图，小亮在一次创新性实验课上，用张类正方形卡片，张类正方形卡片和张类长方形卡片，拼成了一个大正方形，则拼成的大正方形的边长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了对完全平方公式几何意义的理解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式形式．
根据题意求出三类卡片的面积之和，根据完全平方公式进行整理即可求出答案．
【详解】解：根据题意，三类卡片的面积之和为：，
，
∴拼成的大正方形的边长为：．
故选：A．
17. 如图，已知，从下列条件中补充一个条件后，仍不能证明的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，全等三角形的判定定理有，，，（直角三角形还有）．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．由全等三角形的判定方法，即可判断．
【详解】解：，
，
为公共边，
、由判定，故不符合题意；
、由判定，故不符合题意；
、和，分别是和对角，不能判定，故符合题意；
、由判定，故不符合题意．
故选：．
18. 如图，已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行公理推论，平行线的性质，过作，则，根据平行线的性质得，，然后利用角度和差即可求解，掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：如图，过作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴,
故选：．
19. 如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为秒，连接，．当与全等时，的值为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，由题意可得，，，再分和两种情况解答即可，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是边长为的正方形，
∴，，
∵，
∴，
由题意得，，
∴，
当，时，，
∴，
∴；
当，时，，
∴，
∴；
综上，的值为或，
故选：．
20. 设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为，依此类推，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了图形的变化类规律、三角形的面积，解题的关键是得出．
由题意求得，根据点分别是的中点，得，，从而得出，同理可得：，，，…，
归纳出，代入n值即可得到答案．
【详解】解：由题意得：
，
∵点分别是的中点，
，，
，
同理可得：，
，
，
…，
．
．
故选：D．
卷Ⅱ（非选择题，共80分）
二、填空题（每空2分，共12分）
21. 一个盒子中装有a个白球和6个红球，这些球除颜色外完全相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在，估计a的值为______．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在得到比例关系，列出方程求解即可．
【详解】解：由题意可得，，
解得，
经检验，是分式方程解且符合题意，
故答案为：
22. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，利用积的乘方的逆运算法则计算即可求解，掌握积的乘方的逆运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
23. 若是一个完全平方式，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用完全平方公式的结构特征即可确定出m的值．
【详解】解：∵x2-2mx+36是一个完全平方式，
∴x2-2mx+36=(x±6)2，
∴m=±6．
故答案为：±6．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2是解答本题的关键．
24. 将如图①的长方形纸片沿折叠得到图②，折叠后与相交于点P，如果，则的度数为_______．
【答案】##65度
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据折痕为角平分线，以及平行线的性质，进行求解即可．
【详解】解：的长方形纸片沿折叠得到图②，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
25. 已知 ，则的值是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式，熟悉掌握完全平方公式是解题的关键．
利用完全平方公式变形运算出和的值后，再代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴；
故答案为：．
26. 如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则______．
【答案】
【解析】
【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得，同理得；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案．
【详解】根据题意，，与的平分线交于点
∴
∵
∴
∵
∴
同理，得；
；
；
…
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解．
三、解答题（共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
27. 计算与化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
（5）（运用乘法公式进行简便计算）．
（6）（运用乘法公式进行简便计算）．
（7）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7），
【解析】
【分析】（）根据积的乘方和单项式乘以单项式的运算法则先计算，再合并即可；
（）根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并即可；
（）利用完全平方公式先化简，再进行除法运算即可；
（）利用负整数指数幂、绝对值的性质、零指数幂分别计算，再合并即可；
（）利用平方差公式计算即可；
（）利用完全平方公式计算即可；
（）根据整式的运算法则先化简，再代入计算即可；
本题考查了整式的混合运算，实数的混合运算，掌握相关运算法则和乘法公式是解题的关键．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
；
小问3详解】
解：原式
；
【小问4详解】
解：原式
；
【小问5详解】
解：原式
；
【小问6详解】
解：原式
；
【小问7详解】
解：原式
，
当时，
原式
．
28. 如图，已知点在直线外．
（1）作直线，使经过点，且（要求：尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）为什么平行？请说明理由．
【答案】（1）作图见解析
（2）理由见解析
【解析】
【分析】本题考查尺规作图﹣作与一个角相等的角、平行线的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）在直线上任选一点，作直线，作，则直线即为所求；
（2）利用同位角相等，两直线平行判断即可．
【小问1详解】
解：如图所示：
直线即为所求；
【小问2详解】
解：理由如下：
由作图可知，
∴（同位角相等，两直线平行）．
29. 如图，现有一个转盘被均分成六等份，分别标有数字1，2，3，4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．
（1）随机转动转盘15次，其中3次转出数字“5”，则这15次中转出数字“5”的频率是______；
（2）小明和小亮一起做游戏，转出的数字是2的倍数，小明获胜，转出的数字是3的倍数，小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由．
【答案】（1）
（2）不公平，见解析
【解析】
【分析】（1）根据简单地概率公式计算解答即可；
（2）根据题意，转出的数字是2的倍数的可能性有3种，故小明获胜的概率为，转出的数字是3的倍数的可能性有2种，故小亮获胜．解得即可．
本题考查了简单的概率公式应用，熟练掌握公式是解题的关键．
【小问1详解】
解：根据题意，随机转动转盘15次，其中3次转出数字“5”，
则这15次中转出数字“5”的频率是．
故答案为：．
【小问2详解】
解：根据题意，转出的数字是2的倍数的可能性有3种，
故小明获胜的概率为，
转出的数字是3的倍数的可能性有2种，
故小亮获胜．
，
故游戏不公平．
30. 完成下面的推理填空：科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进快递自动分拣流水线，如图①所示，图②将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．
如图②，，平分，平分．
试说明：．
阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）
证明：∵（已知），
∴______（______），
∵平分（已知），
∴______（______），
同理，，
∴（______），
∴______（______），
∴（______）．
【答案】；两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，由角平分线的性质得，进而由角平分线的定义可得，即可求证，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵平分（已知），
∴（角平分线的定义），
同理，，
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：；两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
31. 【发现问题】
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论．
【提出问题】
（）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：；
公式②：．
图对应公式______；图对应公式______．
【解决问题】
（）如图，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形且对角线时，若，正方形和正方形的面积和为，请求出阴影部分的面积．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是）
【能力拓展】
（）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？已知，则______．
（）已知，则______．
【答案】（）②，①；（）；（）；（）
【解析】
【分析】（）根据图形即可求解；
（）设正方形的边长为，正方形的边长为， 可得，，进而由完全平方公式可得，最后根据即可求解；
（）利用完全平方公式的变形运算计算即可；
（）设，则，可得，即得，进而得到，再根据即可求解；
本题考查了完全平方公式与几何图形，完全平方公式的变形运算，熟练掌握完全平方公式的运用是解题的关键．
【详解】解：（）图对应公式是；图对应公式是，
故答案为：②，①；
（）设正方形的边长为，正方形的边长为，
由题意得，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（）∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（）设，则，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
故答案为：．
32. （1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、关系为______；
（2）探究问题：如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，直线PQ经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若、，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时．求此时的值．（直接写出结果）
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或或
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理．
（1）利用平角的定义即可求解；
（2）先证明出，得出，，即可得出结果；
（3）由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分类讨论，分别画出图形，结合图形列方程求解即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
∵直线l，直线l，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（3）当点移动到点时，，移动到点时，；
当点移动到点时，，移动到点时，；
分以下三种情况：
①当E在上，D在上时，即，如图，此时，，
∵以点D、M、C为顶点三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当E在上，D在上时，即，如图，此时，，
∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当E在上，D在上时，即，如图，此时，，
∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等，
∴，
∴，
∴，
∴，
不在范围内，不符合题意；
④当E到达A后，D在上时，即，如图，此时，，
∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．