福建省福州市长乐区2023-2024学年八年级下学期期中考试(2)数学试卷（解析版）

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一、选择题
1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
．是最简二次根式，故该选项符合题意；
．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
故选：B．
2. 如图，湖边栈道，互相垂直，栈道的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M，C两点间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
故选：A．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、与不是同类项，不能合并，故A选项错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，故B选项错误，不符合题意；
C、，故C选项正确，符合题意；
D、，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
4. 如图，已知，用尺规进行如下操作：
①以点B为圆心，长为半径画弧；
②以点D为圆心，长为半径画弧；
③两弧在上方交于点C，连接，．
可直接判定四边形为平行四边形的依据是（ ）
A. 两组对边分别相等四边形是平行四边形
B. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
【答案】A
【解析】根据作法得到，
则两组对边分别相等，
那么，四边形平行四边形，
故选：A．
5. 若式子的运算结果是有理数，则“”中的运算符号可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A、，是无理数，不符合题意；
B、，是有理数，符合题意；
C、，是无理数，不符合题意；
D、，是无理数，不符合题意；
故选：B．
6. 用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据表格数据描点，如图，
则点，，在同一直线上，点没在这条直线上，
故选：D．
7. 如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，
∴任意两个格点间的距离有，
故任意两个格点间的距离不可能是，
故选：C．
8. 如图表示光从空气进入水中前与入水后的光路图，按下图建立平面直角坐标系，若设入水前与入水后光线所在直线的解析式分别为，，则关于与的关系，正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. D.
【答案】D
【解析】如图，在两个图象上分别取横坐标为的两个点A和B，
则，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
当取横坐标为正数时，同理可得，
综上所述，，
故选：D．
9. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角．要得到一个正方形，剪口与折痕所成的角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】为就可以得到一个正方形．根据题目中的折叠方法，我们可知剪下的是一个四边相等的四边形，可以说一定是个菱形，
菱形里只要有一个角是就是正方形．
展开四边形后的角为：，即．
故选：C．
10. 图中有三个正方形，若两个小正方形的面积分别为和，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，

∵四边形，四边形，四边形是正方形，是正方形的对角线，
∴，，
都是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
故选：B．
二、填空题
11. 使代数式有意义的x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】代数式有意义，
，
，
故答案为：．
12. 在矩形中，，，则的长为__________．
【答案】12
【解析】∵四边形是矩形，
∴，
在中，
，
∴，
故答案为：12．
13. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．若a，3，4是一组勾股数，则a的值为__________．
【答案】5
【解析】当4是直角边时，
∵，
∴，
当4是斜角边时，（不是整数，舍去），
故答案为：5．
14. 已知点，在一次函数的图象上，当时，有，则m的取值范围是__________．
【答案】
【解析】当，即，有，即，
∴一次函数随着x的增大而减小，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，某个函数的图象由线段AB和组成，其中点，，，则此函数的最小值为__________．
【答案】1
【解析】由图象可以看出，B点为最低点，B点的函数值最小，
∴B点的纵坐标即是最小的函数值为1．
故答案为：1．
16. 一次函数的图象经过点，且与y轴交于点A．将该直线绕点A顺时针旋转至直线l，则直线l的函数解析式为__________．
【答案】
【解析】设一次函数的图象与x轴交于点B，
∵一次函数的图象经过点，
∴，解得，
∴，
令，则，令，则，
∴，
∴，，
，
过作交于点，过点作轴于，过点作轴于，如图，
∵，，
∴，
∴，
，
，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
设直线l的解析式为：，点，
，，
，
∴，
即，
，
即，
或（舍去，不符合题意），
∴，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
故答案为：．
三、解答题
17. 计算：．
解：原式．
18. 如图，对角线，相交于点，，分别是，的中点，连接，．求证：．
证明：四边形是平行四边形，
，，
，分别是，的中点，
，，
，
，
．
19. 在平面直角坐标系中，用描点法画出一次函数的图象．
解：∵一次函数，
∴当时，，
当时，，
画一次函数图像如下：
20. 某学校组织学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．如图，这是某三角形零件的示意图，现准备沿将该零件切割成和两部分，，，求切割后的周长．
解：，，，
，
，
，
，
，
，
的周长为．
21. 如图，在中，．
（1）在的延长线上求作一点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，求证：四边形是矩形．
（1）解：如图所示，为所求作的点；（答案不唯一）
（2）证明：四边形是平行四边形，
，即，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
22. 在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，请证明这一结论．
求证：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
解：已知：如图，在和中，，，．求证：．
证明：在和中，，
根据勾股定理，得
，，
，，
，
．
23. 阅读材料，回答问题：
（1）补全帆帆同学证明过程中①②③所缺的内容；
（2）若，，，请用海伦-秦九韶公式求的面积；
（3）在（2）的条件下，设中边上的高为，边上的高为，求的值．
解：（1）如图，过点A作于点D，
则．
设，，
则．
∴，
解得，
∴
．
∵，
∴
．
∴．
故：①，②，③；
（2），，，
，
；
（3），
，
，，
．
24. 已知在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴正半轴，y轴正半轴于点A，B，且，直线交y轴于点C，且与直线交于点D，连接．
（1）求直线的解析式；
（2）如图1，平移直线，经过点C，交x轴于点F，连接，求的面积；
（3）如图2，P是线段上的一动点，连接交于E，当时，求点P的坐标．
解：（1），A，分别在轴正半轴，轴正半轴上，
，B0,3，
直线过点，B0,3，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）连接，
直线交轴于点，
，
平移直线，经过点，交轴于点，
直线解析式为，，
当时，，
，
，，
，
．
的面积为5．
（3）联立，
解得，
，
，
，
，
，，
，
，
设，
，
，
解得，
点在直线上，
，
点的坐标为．
25. 如图，在菱形中，，，，平分交延长线于点N，连接，．
（1）求的度数；（用含的式子表示）
（2）求证：是等腰三角形；
（3）求线段，，之间的数量关系．
（1）解：，，
．
四边形是菱形，
，
，
，
；
（2）证明：由（1）得，
平分，
，
．
，，
，
，，
，
为等边三角形，
，．
四边形是菱形，
，，
，
，
，
．
，，
，
，
，，
，
是等腰三角形；
（3）解：延长至点，使得，连接．
，，
，
，
，
，
．
过点A作于点，则，，
由（2）得，
，
，
，
，，
．
x
0
1
2
y
10
8
6
2
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，
那么这个三角形的面积．古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了公式和它的证明，这一公式称为海伦公式．帆帆同学对公式兴趣浓厚，以锐角三角形为例，证明过程如下：
如图，在锐角三角形中，，，．
求证：，其中．
证明：如图，过点A作于点D，则，
设，，则① ．
∴② ．
解得，
∴
，
∵，
∴
③ ．
∴．
中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，实质上是同一个公式，故这个公式又被称为海伦-秦九韶公式．