福建省福州市长乐区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

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（全卷共4页．满分：150分．考试时间：120分钟）
友情提示：请将答案写在答题卡规定位置上，不得错位、越界答题．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了最简二次根式的判断，被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式是最简二次根式，根据定义判断．
【详解】解：．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
．是最简二次根式，故该选项符合题意；
．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
故选：B．
2. 如图，湖边栈道，互相垂直，栈道的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M，C两点间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本考考查了直角三角形斜边上的中线性质，由已知条件可得出，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出．
【详解】解：∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
故选：A．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算法则，掌握二次根式加减乘除的运算法则是本题的关键．利用二次根式的运算法则，对每个选项进行计算即可找出正确答案．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故A选项错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，故B选项错误，不符合题意；
C、，故C选项正确，符合题意；
D、，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
4. 如图，已知，用尺规进行如下操作：
①以点B为圆心，长为半径画弧；
②以点D为圆心，长为半径画弧；
③两弧在上方交于点C，连接，．
可直接判定四边形为平行四边形的依据是（ ）
A. 两组对边分别相等四边形是平行四边形B. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据圆的半径相等，得到，根据判定定理解答即可．
详解】解：根据作法得到，
则两组对边分别相等，
那么，四边形平行四边形，
故选：A．
5. 若式子的运算结果是有理数，则“”中的运算符号可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数的定义，二次根式的混合运算，将符号代入式子分别计算，再根据有理数的定义进行判断即可．
【详解】解：A、，是无理数，不符合题意；
B、，是有理数，符合题意；
C、，是无理数，不符合题意；
D、，是无理数，不符合题意；
故选：B．
6. 用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键．
在坐标系描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论．
【详解】解：根据表格数据描点，如图，
，
则点，，在同一直线上，点没在这条直线上，
故选：D.
7. 如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理求出可能的距离，即可得到答案．
【详解】解：∵在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，
∴任意两个格点间的距离有，
故任意两个格点间的距离不可能是，
故选：C．
8. 如图表示光从空气进入水中前与入水后的光路图，按下图建立平面直角坐标系，若设入水前与入水后光线所在直线的解析式分别为，，则关于与的关系，正确的是（ ）
A. ，B. ，C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得到比例系数的关系．利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解．
【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为的两个点A和B，
则，，
∵，
∴，
∵
∴
当取横坐标为正数时，同理可得，
综上所述，
故选：D
9. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角．要得到一个正方形，剪口与折痕所成的角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了剪纸问题、通过折叠变换考查正方形的有关知识及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案．
根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案．
【详解】解：为就可以得到一个正方形．
根据题目中的折叠方法，我们可知剪下的是一个四边相等的四边形，可以说一定是个菱形，
菱形里只要有一个角是就是正方形．
展开四边形后的角为：，即．
故选：C．
10. 图中有三个正方形，若两个小正方形的面积分别为和，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角都是等腰直角三角形，结合正方形的性质及勾股定理求出，，可得，，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，

∵四边形，四边形，四边形是正方形，是正方形的对角线，
∴，，
都是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 使代数式有意义的x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案．
【详解】解：代数式有意义，


故答案为：
12. 在矩形中，，，则的长为__________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理的应用，由矩形的性质得出，再利用勾股定理即可得出．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
在中，
，
∴，
故答案为：12．
13. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．若a，3，4是一组勾股数，则a的值为__________．
【答案】5
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若a，b，c是满足的三个正整数，则称a，b，c为勾股数．
【详解】解：当4是直角边时，
∵，
∴，
当4是斜角边时，
（不是整数，舍去），
故答案为：5．
14. 已知点，在一次函数的图象上，当时，有，则m的取值范围是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象性质：当，y随x增大而增大；当时，y将随x的增大而减小，熟悉相关性质是解题的关键．先根据当时，有，得到y随x的增大而减小，所以的比例系数小于0，即可求解．
【详解】解：当，即，
，即，
∴一次函数随着x的增大而减小，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，某个函数的图象由线段AB和组成，其中点，，，则此函数的最小值为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查函数图象，掌握函数图象的最低点的纵坐标即是最小的函数值是解题关键．观察函数图象可知B为最低点，由点B的坐标可确定出函数的最小值．
【详解】解：由图象可以看出，B点为最低点，B点的函数值最小，
∴B点的纵坐标即是最小的函数值，为1．
故答案为：1．
16. 一次函数的图象经过点，且与y轴交于点A．将该直线绕点A顺时针旋转至直线l，则直线l的函数解析式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质等知识，设一次函数的图象与x轴交于点B，根据待定系数法求得直线的解析式，进而即可求得、的坐标，求出，，过作交于点，过点作轴于，过点作轴于，通过证得，即可求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．
【详解】解：设一次函数的图象与x轴交于点B，
∵一次函数的图象经过点，
∴，解得，
∴，
令，则，令，则，
∴，
∴，，
，
过作交于点，过点作轴于，过点作轴于，如图，
∵，，
∴，
∴，
，
，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
设直线l的解析式为：，点，
，，
，
∴ ，即，
，即，
或（舍去，不符合题意），
∴ ，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．先根据二次根式的乘法和除法法则计算，然后化为最简二次根式，再合并即可．
【详解】解：原式
．
18. 如图，对角线，相交于点，，分别是，的中点，连接，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质可知，，结合，分别是，的中点和对顶角相等，即可由证明．
【详解】证明：四边形是平行四边形
，
，分别是，的中点
，
19. 在平面直角坐标系中，用描点法画出一次函数的图象．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了画一次函数图像，先分别求出当时，y的值，再求出当时，x的值，然后描点、连线画出函数的图象即可．
【详解】解：∵一次函数，
∴当时，，
当时，，
画一次函数图像如下：
20. 某学校组织学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．如图，这是某三角形零件的示意图，现准备沿将该零件切割成和两部分，，，，，求切割后的周长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股求出，即可解答．
【详解】解：，，
的周长为．
21. 如图，在中，．
（1）在的延长线上求作一点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了利用矩形的性质作图，证明四边形是矩形以及平行四边形的性质是解答的关键．
（1）已点C为圆心，长为半径画弧交延长线于点E，连接即可． 因为，即且，，所以四边形为矩形，则．
（2）利用平行四边形的性质可得出，再结合已知条件得出四边形是平行四边形，再加上即可证明四边形是矩形．
【小问1详解】
解：如图所示，为所求作的点；（答案不唯一）
【小问2详解】
证明：四边形是平行四边形
即
四边形是平行四边形
四边形是矩形．
22. 在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，请证明这一结论．
求证：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及勾股定理，解题的关键是根据全等三角形的判定方法解答．
根据全等三角形的判定方法解答即可；
【详解】解：已知：如图，在和中，，，．
求证：．
证明：在和中，，
根据勾股定理，得，，
，，
，
．
23. 阅读材料，回答问题：
（1）补全帆帆同学证明过程中①②③所缺的内容；
（2）若，，，请用海伦-秦九韶公式求的面积；
（3）在（2）的条件下，设中边上的高为，边上的高为，求的值．
【答案】（1）①，②，③
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的应用，勾股定理，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
（1）根据过程结合图形完善即可；
（2）将，，代入公式计算即可；
（3）利用三角形面积公式分别计算出，，即可解答．
【小问1详解】
解：如图，过点A作于点D，则
设，，则
∴
解得
∴
∵
∴
∴．
故：①，②，③；
【小问2详解】
解：，，
；
【小问3详解】
解：
，
．
24. 已知在平面直角坐标系中，直线∶分别交x轴正半轴，y轴正半轴于点A，B，且，直线交y轴于点C，且与直线交于点D，连接．
（1）求直线的解析式；
（2）如图1，平移直线，经过点C，交x轴于点F，连接，求的面积；
（3）如图2，P是线段上的一动点，连接交于E，当时，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）5 （3）
【解析】
【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数的性质及待定系数法求一次函数解析式，熟知一次函数图象与性质及待定系数法是解题的关键；
（1）根据，，分别在轴正半轴，轴正半轴上，求出两点坐标，再代入一次函数表达式即可求解；
（2）连接，根据直线交轴于点，求出点C坐标，根据平移直线，经过点，交轴于点，得出直线的解析式，求出，然后求出，即可求出答案；
（3）联立得到点D坐标，进而推出，再根据，，进而得到，设，根据得出m的值，代入，即可求出点P的坐标；
【小问1详解】
，，分别在轴正半轴，轴正半轴上，
，B0,3，
直线过点，B0,3，
解得
直线的解析式为；
【小问2详解】
连接，
直线交轴于点
平移直线，经过点，交轴于点，
直线解析式为，
当时，
，，
的面积为5；
【小问3详解】
联立
解得
，
设，
解得
点在直线上
点的坐标为．
25. 如图，在菱形中，，，，平分交延长线于点N，连接，．
（1）求的度数；（用含的式子表示）
（2）求证：是等腰三角形；
（3）求线段，，之间的数量关系．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由，得，由菱形的性质可得，再证，即可得的度数．
（2）在中，先求出，再证，则可得，，进而可得为等边三角形，则可得，．再证，则可得，又由得，由此可证是等腰三角形；
（3）延长至点，使得，连接，根据可得，则，过点A作于点，由（2）得，则可得，，，由可得．
【小问1详解】
解：，，
．
四边形是菱形，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：由（1）得，
平分，
，
．
，，
，
，，
，
为等边三角形，
，．
四边形是菱形，
，，
，
，
，
．
，，
，
，
，，
，
是等腰三角形；
【小问3详解】
解：延长至点，使得，连接．
，，
，
，
，
，
．
过点A作于点，则，，
由（2）得，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形判定和性质、等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理以及“直角三角形中角所对的边等于斜边一半”．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
x
0
1
2
y
10
8
6
2
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积．古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了公式和它的证明，这一公式称为海伦公式．帆帆同学对公式兴趣浓厚，以锐角三角形为例，证明过程如下：
如图，在锐角三角形中，，，．
求证：，其中．
证明：如图，过点A作于点D，则
设，，则①
∴②
解得
∴
∵
∴
③
∴．
中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，实质上是同一个公式，故这个公式又被称为海伦-秦九韶公式．