2025年中考数学总复习讲义（山东专用）53 第二部分 题型八 新定义问题（无答案）

这是一份2025年中考数学总复习讲义（山东专用）53 第二部分 题型八 新定义问题（无答案），共8页。学案主要包含了问题提出，问题解决，迁移应用，学习新知，应用新知，拓展延伸等内容，欢迎下载使用。
类型一 定义新运算
【典例1】 定义一种新运算“a⊗b”：当a≥b时，a⊗b＝a＋2b；当a＜b时，a⊗b＝a－2b．例如：3⊗(－4)＝3＋(－8)＝－5，(－6)⊗12＝－6－24＝－30．
(1)填空：(－3)⊗(－2)＝________；
(2)若(3x－4)⊗(5＋x)＝(3x－4)＋2(5＋x)，则x的取值范围为________；
(3)已知(5x－7)⊗(－2x)＞1，求x的取值范围．
[听课记录]




对于运算的新定义问题，首先读懂定义公式或规则，然后根据公式或规则代入数值解答即可．
[对点演练]
【问题提出】
(1)数学课上王老师在黑板上写了如下式子：
a＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(22 048＋1)．
小丽同学想到刚学的平方差公式，她的方法是：
a＝1×(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(22 048＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(22 048＋1)，求出a＝________．
【问题解决】
(2)请借鉴小丽的方法求出b的值．
b＝(3＋1)(32＋1)(34＋1)…(31 024＋1)．
【迁移应用】
定义一种新运算：i2＝－1．
(3)(2＋3i)(2－3i)＝________．
(4)求[1＋(2i)2][1＋(2i)4][1＋(2i)8]…[1＋(2i)256][1＋(2i)512]的值．






类型二 定义新概念
【典例2】 定义：如图，点H，K把线段AB分割成AH，HK，KB，若以AH，HK，KB为边的三角形是一个直角三角形，则称点H，K是线段AB的勾股分割点．
(1)已知H，K把线段AB分割成AH，HK，KB，若AH＝4，HK＝6，KB＝5，点H，K是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
(2)已知点H，K是线段AB的勾股分割点，且AH为直角边，若AH＝8，AB＝24，求BK的长．
[听课记录]




[对点演练]
实践探究题
【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．
例如，如图1，AB⊥l1，线段AB的长度称为点A与直线l2之间的距离，当l2∥l1时，线段AB的长度也是l1与l2之间的距离．
【应用】
(1)如图2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E．若AB＝6，AD＝4，则DE与BC之间的距离是________；
(2)如图3，已知直线l3：y＝－x＋4与双曲线C1：y＝kx(x>0)交于A(1，m)与B两点，点A与点B之间的距离是________，点O与双曲线C1之间的距离是________；
【拓展】
(3)按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80 m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障(如图4)．有一条“东南—西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80 m．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为y＝－x，小区外延所在双曲线C2的函数表达式为y＝3 000x(x>0)，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？






【典例3】 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程x－1＝3的解为x＝4，而不等式组x-1>1，x-21，x-2x-1，3x-2-x≤4的“关联方程”是________；(填序号)
(2)若关于x的方程2x－k＝6是不等式组3x+12≥x，x-12≥2x+13-2的“关联方程”，求k的取值范围．
[听课记录]




[对点演练]
“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．
定义：方程cx2＋bx＋a＝0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的倒方程，其中a，b，c均不为0．请根据此定义解决下列问题：
(1)方程－12x2－x＋1＝0的倒方程是________．
(2)若x＝5是x2－3x＋c＝0的倒方程的解，求出c的值；
(3)若m，n是一元二次方程x2－5x－1＝0的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式2n2－mn－10m的值．






类型三 定义新方法
【典例4】 阅读下面的材料：
一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法，我国三国时期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法．
以x2＋10x＝39为例，花拉子米的几何解法步骤如下：
①如图1，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形；
②一方面大正方形的面积为(x＋________)2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为x2＋10x＝39，可得方程(x＋________)2＝39＋________，则方程的正数解是x＝________．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)补全花拉子米的解法步骤②；
(2)根据花拉子米的解法，在图2的两个构图①②中，能够得到方程x2－6x＝7的正数解的正确构图是________(填序号)．
[听课记录]




新方法的定义类问题，要仔细读题，研究出新方法的“新”，然后模仿其方法解答题目即可．
[对点演练]
阅读材料：
如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽(a)”，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：
S△ABC＝12ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
解答下列问题：
如图2，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B．
(1)求抛物线和直线AB的表达式；
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；
(3)抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝98S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．






【典例5】 阅读理解
【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．
①因式分解法求解特殊的三次方程：
将x3－5x＋2＝0变形为x3－(4＋1)x＋2＝0，
∴x3－4x－x＋2＝0．
∴(x3－4x)－(x－2)＝0．
∴x(x＋2)(x－2)－(x－2)＝0．
∴(x－2)(x2＋2x－1)＝0．
∴x－2＝0或x2＋2x－1＝0．
∴原方程有三个根：x1＝2，x2＝－1＋2，x3＝－1－2．
②换元法求解特殊的四次方程：
x4－5x2＋4＝0，
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4，
当y＝1，x2＝1时，∴x＝±1；
当y＝4，x2＝4时，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2．
【应用新知】(1)仿照以上方法，按照要求解方程：
①(因式分解法)x3－10x＋3＝0；
②(换元法)x4＋3x2－4＝0．
【拓展延伸】(2)已知：x2－2x－1＝0，且x＞0，请综合运用以上方法，通过“降次”求x4－2x3－3x的值．
[听课记录]




[对点演练]
阅读：
计算(－3x3＋5x2－7)＋(2x－3＋3x2)时，可列竖式：
-3x3+5x2-7
+) 3x2+2x-3-3x3+8x2+2x-10
小明认为，整式的加减实际上就是合并同类项，而合并同类项的关键是合并各同类项的系数，因此，可以把上题的竖式简化为：
-3+5+0-7
+) 0+3+2-3-3+8+2-10
所以，原式＝－3x3＋8x2＋2x－10．
根据阅读材料解答下列问题：
已知：A＝－2x－3x3＋1＋x4，B＝2x3－4x2＋x．
(1)将A按x的降幂排列：________；
(2)请仿照小明的方法计算：A－B；
(3)请写出一个多项式C：________，使其与B的和是二次三项式．