2025年中考数学总复习讲义（山东专用）26 第一部分 第四章 第六节 相似三角形（无答案）

这是一份2025年中考数学总复习讲义（山东专用）26 第一部分 第四章 第六节 相似三角形（无答案），共7页。

考点一 比例线段
1．比例线段定义：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即ab＝cd，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
2．比例的基本性质
(1)基本性质：ab＝cd⇔ad＝________．(b，d≠0)．
(2)合比性质：ab＝cd⇔a±bb＝c±dd．(b，d≠0)．
(3)等比性质：ab＝cd＝…＝mn(b，d，…，n≠0)⇔a+c+…+mb+d+…+n＝ab(b＋d＋…＋n≠0)．
3．黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB＝BCAC＝5-12≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
考点二 平行线分线段成比例定理
1．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．如图所示，若l3∥ l4∥ l5，则ABBC＝DEEF．
2．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．如图所示，若AB∥ CD，则OAOD＝OBOC．
考点三 相似三角形的性质和判定
1．相似三角形的判定
(1)定义：三角分别________，三边________的两个三角形相似．对应线段的比叫做________．
(2)预备定理：________于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
(3)判定定理
①________分别相等的两个三角形相似．
②两边________且________相等的两个三角形相似．
③三边________的两个三角形相似．
2．相似三角形的性质
(1)相似三角形的对应角________，对应边成________．
(2)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于________．
(3)相似三角形周长的比等于________，面积的比等于________．
考点四 图形的位似
1．定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点A，A′的连线都经过同一个点O，且有OA′＝k·OA(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心．实际上，k就是这两个相似多边形的相似比．
2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于________．

1．(鲁教版八下P87习题9.1T2改编)下列长度的线段中，不能构成比例的是( )
A．3，4，6，2B．4，5，6，10
C．1，3，6，2D．4，12，9，3
2．若x-2yy＝25，则xy等于( )
A．45B．54
C．125D．512
3．如图，a∥b∥c，AB＝3，BC＝2，CD＝1，那么下列式子中不成立的是( )
A．EC∶CG＝5∶1
B．EF∶FC＝1∶1
C．EF∶FC＝3∶2
D．EF∶EC＝3∶5
4．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与图中△ABC相似的是( )
A．B．
C．D．
5．(鲁教版八下P124例改编)如图，按如下方法将△ABC的三边缩小为原来的12．任取一点O，连接OA，OB，OC．
并取它们的中点D，E，F，得△EDF，下列说法：
①△ABC与△DEF是位似图形；
②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF的周长之比为2∶1；
④△ABC与△DEF的面积比为4∶1．
其中正确的有________．
命题点1 比例线段
【典例1】 若a5＝b3，则a-ba+b的值等于( )
A．14 B．13
C．12 D．1
[听课记录]


已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解．
【典例2】 如图，AD∥BE∥CF，若AB＝4，BC＝8，DE＝3，则DF的长是( )
A．1.5B．6
C．9D．12
[听课记录]


应用平行线分线段成比例定理解决问题的方法：(1)若已知条件中有平行，求两条线段的比，常考虑应用平行线分线段成比例性质求解；(2)应用时，看清平行线组，找准平行线组截得的对应线段和对应边．
[对点演练]
1．若a2＝3b，则ab＝( )
A．6B．32
C．1D．23
2．已知ab＝cd＝ef＝12，则a-3c+2eb-3d+2f＝( )
A．12B．13
C．14D．15
3．(浙教版九上例题)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4，求AC的长．






命题点2 相似三角形的性质和判定
【典例3】 (2023·泰安)如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，EF⊥AD．
(1)当AF＝DF时，求∠AED；
(2)求证：△EHG∽△ADG；
(3)求证：AEEH＝ACHC．
[听课记录]






[对点演练]
1．(2024·重庆)若两个相似三角形的相似比是1∶3，则这两个相似三角形的面积比是( )
A．1∶3B．1∶4
C．1∶6D．1∶9
2．(2023·泰安)如图，在△ABC中，AC＝BC＝16，点D在AB上，点E在BC上，点B关于直线DE的轴对称点为点B′，连接DB′，EB′，分别与AC相交于F点，G点，若AF＝8，DF＝7，B′F＝4，则CG的长度为________．
3．(2022·泰安)如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．
(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；
(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；
(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．




命题点3 图形的位似
【典例4】 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1∶2，点A是位似中心．若已知点A(2，0)，点C(a，b)，∠C＝90°，则点C′的坐标为________．(结果用含a，b的式子表示)
[听课记录]





在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．
[对点演练]
1．(2024·四川凉山州)如图，一块面积为60 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB∶BB1＝2∶3，则△A1B1C1的面积是( )
A．90 cm2B．135 cm2
C．150 cm2D．375 cm2
2．[易错题]△AOB三个顶点的坐标分别为A(5，0)，O(0，0)，B(3，6)，以原点O为位似中心，相似比为23，将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是 ________．