2025年中考数学总复习讲义（山东专用）25 第一部分 第四章 第五节 解直角三角形及其应用（无答案）

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考点一 锐角三角函数的定义
1．锐角三角函数基本定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．
(1)正弦：sin A＝∠A的对边斜边＝ac．
(2)余弦：cs A＝∠A的邻边斜边＝bc．
(3)正切：tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab．
2．特殊角的三角函数值
考点二 解直角三角形
1．解直角三角形：由直角三角形中__________的元素，求出其他所有__________元素的过程，叫做解直角三角形．
2．解直角三角形常用的关系
在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边分别为a，b，c．
(1)三边关系：__________；
(2)两锐角关系：__________；
(3)边角之间的关系：
sin A＝cs B＝_____，cs A＝sin B＝_____，tan A＝_____，tan B＝_____．
考点三 解直角三角形的应用
1．仰角与俯角
(1)仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．
(2)俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．
2．坡度和坡角
(1)坡度(坡比)：坡面的铅直高度h与水平宽度l的比，记作i，i＝_____．
(2)坡角：坡面与水平面的夹角，记作α，i＝__________．
3．方向角(或方位角)
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角．

1．(鲁教版九上P27习题2.1T1改编)在△ABC中，a＝12，b＝5，c＝13，则sin A的值为( )
A．513 B．1213
C．1312 D．135
2．计算tan 45ﾟ·cs 30ﾟ的结果等于( )
A．2B．1
C．32D．23
3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝60°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan ∠DAC的值为( )
A．33B．1
C．3D．23
4．(鲁教版九上P48习题2.9T2改编)如图，小文家所在居民楼高AB为56 m，从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角α是45°，大厦底部D的俯角β是37°，大厦的高度CD是 ________ m．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cs 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
命题点1 锐角三角函数及其应用
【典例1】 (2024·四川达州)如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，∠ABD＝120°，其中点A，B，C都在格点上，则tan ∠BCD的值为( )
A．2B．23
C．32 D．3
[听课记录]




三个锐角三角函数值都是直角三角形的两边之比，求三角函数值时一定要分清是哪两条边之比．
【典例2】 计算：(－1)2＋2sin 45°－cs 30°＋sin 60°＋tan260°．
[听课记录]




应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
[对点演练]
1．∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为( )
A．16B．15
C．13D．12
2．(人教版九下例题)求下列各式的值：
(1)cs260°＋sin260°；
(2)cs 45°sin45°－tan 45°．






命题点2 解直角三角形
【典例3】 如图，Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝32°，AB＝4，点D在BC边上，且∠CAD＝37°，求CD的长．(结果精确到0.1，参考数据：sin 37°≈0.60，cs 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 32°≈0.53，cs 32°≈0.85，tan 32°≈0.62)
[听课记录]




科学选择解直角三角形的方法口诀
已知斜边求直边，正弦余弦很方便；
已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；
已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；
已知直边求斜边，用除还需正余弦．
[对点演练]
1．如图，在△ABC中，AB＝30，∠A＝37°，∠C＝33°，则点A到直线BC的距离为( )
A．30sin 70°B．30cs 70°
C．30tan 70°D．30sin70°
2．如图，已知在△ABC中，AD⊥BC于点D，AC的中点是E，且BC＝AD＝8，sin B＝45．
求：(1)线段BD的长；
(2)∠EDC的正切值．








命题点3 解直角三角形的应用
【典例4】 (2024·泰安)在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度．他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机．如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC高12米(图中点A，B，C，P在同一平面内)．那么大汶河此河段的宽AB为 ________米．参考数据：sin40°≈35，sin63.6°≈910，tan50°≈65，tan63.6°≈2
[听课记录]




解直角三角形的基本模型
(1)母子型：
(2)背靠背型：
解题方法：这两种模型中都有一条公共的直角边，解题时，往往以这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解．
[对点演练]
1．[情境题](2021·泰安)如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A，B，C，D，E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1∶2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为(参考数据：3≈1.732)( )
A．136.6米B．86.7米
C．186.7米D．86.6米
2．(2023·泰安)在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为50°，后退60 m(CD＝60 m)到D处有一平台，在高2 m(DE＝2 m)的平台上的E处，测得B的仰角为26.6°．则该电视发射塔的高度AB为 ________m．(精确到1 m．参考数据：tan 50°≈1.2，tan 26.6°≈0.5)
3．(2022·泰安)如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC＝30°，已知窗户的高度AF＝2 m，窗台的高度CF＝1 m，窗外水平遮阳篷的宽AD＝0.8 m，则CP的长度为 ________(结果精确到0.1 m，参考数据：tan 30°≈0.58)．
α
30°
45°
60°
sin⁡α
_____
_____
_____
cs α
_____
_____
_____
tan α
_____
_____
_____