2025年中考数学总复习课件(山东省专用)34 第一部分 第六章 微专题六 辅助圆问题

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模型一　定点定长作圆[模型展示] 结论1：若P为动点，且AB＝AC＝AP，则B，C，P三点共圆，A为圆心，AB为半径．
[跟踪训练]1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠BAD＝140°，∠BDC＝50°，则∠DBC＝(　　)A．30°B．25°C．20°D．15°
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，点M是点A关于直线BE的对称点，连接MD，则MD的最小值是(　　)A．6B．5C．4D．3
模型二　定弦定角作圆[模型展示]   结论2：若有一固定线段AB，其所对应的∠C大小固定，则根据圆的知识可知C并不是唯一固定的点，它旋转的轨迹是圆(不含点A，B)或者圆弧，当CA＝CB时，点C到AB的距离最大．
【典例2】　如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP的长的最小值为(　　)A．2B．4C．5D．7
A　[如图所示．∵AB⊥BC，∴∠ABP＋∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP＋∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，当O，P，C三点共线时PC最小．
A　[设AB的中点为O，∵∠AFB＝90°，∴点F在以AB为直径的圆上，即点F在⊙O上，∵△ABC为等边三角形，AB＝AC＝4，∴∠ACB＝60°，AO＝2，∴点C在⊙O外，
3．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝8，AD＝12．点P是线段AD上一动点，点E为线段BP上一点，∠BCE＝∠ABP，则AE的最小值为(　　)A．4B．5C．6D．8
模型三　四点共圆[模型展示]   结论3：(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；(2)圆内接四边形的对角互补；(3)圆内接四边形的外角等于内对角．
2．如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．(1)小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为________；将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为____________________；
(2)小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；(3)在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写出AD的长．
[解]　(1)①如图1．∵∠BAC＝90°，且AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠ADB＝∠ACB＝45°．
(3)由(2)知，△CDA≌△BEA，∴∠CDA＝∠AEB，∵∠DEA＝45°，∴∠AEB＝180°－45°＝135°，∴∠CDA＝∠AEB＝135°，∴∠CDA＋∠ABC＝135°＋45°＝180°，∴A，B，C，D四点共圆，