江苏省南京市玄武区外国语学校、科利华中学联考2024-2025学年七年级下学期期中 数学试卷（含解析）

这是一份江苏省南京市玄武区外国语学校、科利华中学联考2024-2025学年七年级下学期期中 数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（ ）
A．轴对称，平移，旋转B．旋转，轴对称，平移
C．轴对称，旋转，平移D．平移，旋转，轴对称
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．若可以用平方差公式进行计算，则横线上的代数式可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．的正整数解有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．无数组
5．在平移、旋转和轴对称这些图形变换下，它们共同具有的特征是（ ）
A．图形的形状、大小没有改变，对应线段平行且相等
B．图形的形状、大小没有改变，对应线段垂直，对应角相等
C．图形的形状、大小都发生了改变，对应线段相等，对应角相等
D．图形的形状、大小没有改变，对应线段相等，对应角相等
6．如图，长方形公园，长，宽．该公园中有3条宽均为1的小路（阴影部分），其余部分均种上小草，则该公园小草的面积为（ ）
A．B．
C．D．
7．跨学科整合是新课程的重要理念之一．仔细观察会发现各门学科都与数学有着密切的联系．小明在学习了《第9章图形的变换》后，把26个英语字母分为5类：①；②；③；④；⑤．剩下的6个英语字母归类为（ ）
A．①③④①③④B．⑤③①①③④
C．④③①①⑤④D．④③⑤①①①
8．某交易市场每玉米可兑换大米，小明用 玉米（含篮子重量）换了小红大米（含篮子重量），交换后谁吃亏（ ）
A．都不吃亏B．小明吃亏
C．小红吃亏D．不确定
二、填空题（本大题共3小题）
9．“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”是唐代诗人岑参描写雪花最新奇的诗句．据悉单片雪花很轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可以表示为 ．
10．； ．
11．若，，则的值为 ．
三、单选题（本大题共1小题）
12．如图，在中，D是边AC上的一点，将沿所在的直线折叠，使得点A落在下方的点处，与相交于点E．若，，则的度数为 ．
四、填空题（本大题共6小题）
13．若关于x，y的方程组的解互为相反数，则m的值为 ．
14．若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为 ．
15．若的展开式中不含和项，则的值为 ．
16．若，则 ．
17．若方程组的解是，则方程组的解是 ．
18．如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
五、解答题（本大题共8小题）
19．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．先化简，再求值：．其中，．
21．解方程组：
(1)
(2)
22．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F均为格点（网格线的交点），请按下列要求作图，并标出相应的字母．
(1)①在图1中，画出线段关于直线对称的线段．连接，线段和直线的关系为______；
②在图1中，将线段AB向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，画出线段．连接、，线段和线段的关系为______；
(2)在图2中，线段与线段存在旋转变换关系．画出旋转中心O．
23．在数学领域，幂运算和整式乘法构建起了代数运算的重要基石，灵活运用幂的运算性质，能成为破题的关键所在．
类型一：简便计算
（1）______；
类型二：代数式求值
（2）若，，则______；
类型三：解方程
（3）解关于x的方程：．
24．如图，已知．
(1)在图1中，作出边上的垂直平分线l，交于点O．
下列说法正确的是______（填写序号）；
①点O是线段的中点； ②点B和点C关于l对称；
③点B和点C关于点O中心对称； ④点B绕点O旋转与点C重合．
(2)在图2中，用两种不同的方法作∠B的角平分线．
要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹．
25．【阅读材料】
数形结合是一种重要的数学思想方法，在中学阶段，数形结合应用大致分为两种情形：借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．
【初步感受】
【拓展研究】
（3）从“数”和“形”两个角度，当时，求代数式的最大值．
26．在中，，，点P在边上．
(1)如图1，用直尺和圆规作出点P的关于的对称点、，（不写作法，保留作图痕迹）．连接，若，则点与点之间的距离为______；
(2)如图2，当点P是的中点时，用直尺和圆规作出关于点P的对称的三角形（不写作法，保留作图痕迹）．连接，，，且，则的取值范围______；
(3)如图3，已知，将绕着点P按每秒的速度逆时针旋转一周．同时，射线绕着点P按每秒的速度顺时针旋转（随旋转停止而停止），旋转过程中射线的位置不变．设旋转时间为t秒，当t为______秒时，射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线．
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可．
【详解】解：哪吒图片的变换顺序是轴对称平移旋转．
故选A．
2．【答案】D
【分析】根据运算法则逐项计算，即可判断出正确答案．
【详解】解：A、，故选项计算错误，不合题意；
B、，故选项计算错误，不合题意；
C、，故选项计算错误，不合题意；
D、，故选项计算正确，符合题意；
故选D．
3．【答案】C
【分析】逐一分析选项，看哪个选项与相乘时符合平方差公式的结构形式．
【详解】平方差公式为．
A、，这是完全平方的形式，不符合平方差公式结构，所以A选项错误；
B、，是完全平方的形式，不符合平方差公式结构，所以B选项错误；
C、，符合平方差公式（这里）的结构，所以C选项正确；
D、，两项中没有一项完全相同，另一项互为相反数的情况，不符合平方差公式结构，所以D选项错误．
故选C．
4．【答案】B
【分析】先将方程化为，再根据均为正整数进行分析即可得．
【详解】解：方程可化为，
∵均为正整数，
∴，且是的倍数，
，且为奇数，
则当时，，
当时，，
即方程的正整数解为，，共有2组，
故选B．
5．【答案】D
【分析】根据三种变换得到的图形都与原图形全等，进行分析．
【详解】由分析可得在平移、旋转和轴对称这些图形变换下，
它们共同具有的特征是图形的形状、大小没有改变，对应线段相等，对应角相等．
故选D．
6．【答案】B
【分析】利用平移法可得该公园种小草的部分是长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式列式，再利用多项式乘多项式的法则计算即可．
【详解】解：由题意可得：该公园种小草的部分是长为，宽为的矩形，
则该公园小草的面积．
故选B．
7．【答案】C
【分析】首先判断①②③④⑤的分类依据，再根据剩下的6个英语字母AEIORU的特征归类即可．
【详解】解：①有两条对称轴；
②是中心对称图形；
③有一条水平的对称轴；
④有一条竖直的对称轴；
⑤既不是轴对称图形，又不是中心对称图形．
A、U有一条竖直的对称轴，故归④；
E有一条水平的对称轴，故归③；
I、O有两条对称轴，故归①；
R既不是轴对称图形，又不是中心对称图形故归为⑤；
∴剩下的6个英语字母归类为④③①①⑤④，
故选C．
8．【答案】B
【分析】首先设篮子的重量为x千克，然后求出应换取的大米的千克数，然后与实际给的数量进行比较即可
【详解】解：设篮子重x千克，则玉米重千克，
则应换取的大米的重量为千克，实际得到的大米的重量为千克，
∵，
∴小明吃亏，
故选B
9．【答案】
【分析】根据科学记数法表示较小数的形式（其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定）来确定，其中n为负整数，据此可得0.00003的科学记数法表示形式，
【详解】0.00003，要使，则，
原数0.00003左边起第一个不为零的数字是3，它前面0的个数是5个，所以，
那么0.00003用科学记数法表示为
10．【答案】 1
【分析】分别根据零次幂及负指数幂可直接进行求解．
【详解】解：，
11．【答案】
【分析】根据题意得出，代入即可解答．
【详解】解：∵，，
∴．
12．【答案】
【分析】根据折叠的性质得到，再由三角形内角和定理求出，即可得到答案．
【详解】解：∵沿所在的直线折叠，使得点落在下方的点处，
，
，
13．【答案】
【分析】根据已知条件可知，然后把代入求出，从而求出，最后把，代入，求出即可．
【详解】解：关于，的方程组的解互为相反数，
，
把代入得：，
解得：，
，
把，代入得：
14．【答案】9或
【分析】根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】详解：∵，
，
解得9或
15．【答案】
【分析】根据题意，得，结合展开式中不含和项，得，解方程组即可．
【详解】解：根据题意，得
，
∵展开式中不含和项，
∴，
解得．
∴
16．【答案】14
【分析】先由得，再利用乘法得出，计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴即，
∴
∴，即，
∴
17．【答案】
【分析】利用已知方程组的解，把所求方程组进行转化，通过对比系数求出未知数的值．
【详解】已知方程组的解是，
将其代入原方程组可得，
把代入可得：
，
进一步变形为．
解得；，
所以方程组的解是
18．【答案】
【分析】利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可证是的垂直平分线，可得，根据两点之间线段最短可知，的最小值即为的最小值，再根据垂线段最短求解即可．
【详解】解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，
，是的平分线，
，
是的垂直平分线，
，
，
当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值，
，
，
，
的最小值是
19．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先计算积的乘方运算和同底数幂的除法，然后计算加减法即可得到答案；
（2）先计算多项式乘以多项式、完全平方公式，然后合并同类项即可；
（3）根据平方差和完全平方公式计算即可；
（4）根据平方差和完全平方公式计算即可．
【详解】（1））解：原式
；
（2）解：原式
（3）解：原式
；
（4）原式
．
20．【答案】，
【分析】先根据相关公式和法则将原式展开，然后合并同类项进行化简，最后将a、b的值代入化简后的式子求值．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式
．
21．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过去分母等操作化简后消元求解；
（2）三元一次方程组通过方程间的加减消元逐步化为二元一次方程组再求解。
【详解】（1）解：，
，得：，
③，
，得：，
将代入③，得：，
解得：，
故方程组的解为；
（2）解：
得：，
得：，
，
得：，
解得：，
将代入④得：；
将代入③得：，
则方程组的解为．
22．【答案】(1)①见解析；直线垂直平分线段；②见解析；，；
(2)见解析
【分析】（1）①根据轴对称图形的性质即可得出结果；②根据图形的平移作图，然后由平移的性质即可求解；
（2）分别作对应点连线的垂直平分线，其交点即为旋转中心．
【详解】（1）①解：如图1，线段即为所求的线段．
直线垂直平分线段；
②解：如图1，线段即为所求的线段．
，；
（2）解：如图2，点和点即为所求的旋转中心．
23．【答案】（1）；（2）14；（3）
【分析】（1）利用积的乘方逆运算进行简便计算；
（2）先根据同底数幂加法法则对等式左边进行合并，再根据指数相等求出a、b的值；
（3），将方程中各项化为同底数幂，然后根据同底数幂的乘除运算法则化简方程，最后求解x．
【详解】（1）解：原式．
故答案为：．
（2）解：∵，，
∴，，
∴．
故答案为：14．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
24．【答案】(1)见解析；①②③④；
(2)见解析
【分析】（1）根据题意作出垂直平分线即可，然后利用垂直平分线的性质依次判断即可；
（2）根据作角平分线的方法作图即可．
【详解】（1）解：如图1，直线l即为所求的垂直平分线，
∵边上的垂直平分线l，交于点O，
∴点O是线段的中点，点B和点C关于l对称，点B和点C关于点O中心对称，点B绕点O旋转与点C重合，故①②③④正确；
故答案为：①②③④；
（2）解：如图2，射线BP即为所求的角平分线．（答案不唯一）
25．【答案】（1）见解析；（2）134；（3）的最大值为36，方法见解析
【分析】（1）根据所给卡片拼成大正方形，直观体现完全平方公式；
（2）设，，利用完全平方公式变形来求解式子的值；
（3）从数的角度通过求最值，从形的角度通过图形面积分析最值．
【详解】（1）解：由数”的角度可知，图2中正方形的边长为，
故答案为：；
（2）解：设，，则，，
∴，则，
∴，
故答案为：134；
（3）解：角度一：“数”的角度
方法一：，
∴代数式的最大值为36，
方法二：，
∴，
∴，
∴代数式的最大值为36；
角度二：“形”的角度，
当时，如图，阴影部分是边长为的正方形，
∴，
∴；
∴当时，的最大值为36，
当时，如图，阴影部分是边长为的正方形，
∴，
∴；
∴当时，的最大值为36，
综上所述，的最大值为36．
26．【答案】(1)6，见解析
(2)
(3)，2，11，
【分析】（1）根据尺规作图-作垂线及线段的方法步骤画图即可；结合图形及各角之间的关系得出点，与点A在同一条直线上，即可求解；
（2）连接并延长，然后截取相等线段即可；然后利用三角形三边关系即可得出结果；
（3）根据题意分四种情况，作出图形，列出方程依次求解即可．
【详解】（1）解：点、即为所求的点．
∵、是点P关于的对称点，
∴，，，，
∵，即，
∴，
∴，即，
∴点，与点A在同一条直线上，
∵，
∴．
故答案为：6．
（2）解：即为所求的三角形．
∵，关于点P中心对称，
∴，，，
∵，
∴，即．
故答案为：．
（3）解：如图①：平分，则，
解得：；
如图②：平分，则，
解得：；
如图③：平分，则，
解得：；
如图④：平分，则，
解得：；
答：t的值为，2，11，．
故答案为：，2，11，．
“形”的角度
“数”的角度
（1）选取图1中，1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，可以拼成图2中的大正方形，在图2中，画出示意图，并标注相关字母．
观察图2，可得到乘法公式
．
应用：（2）若x满足，则的值为______．