2025年中考数学总复习课件(山东省专用)18 第一部分 第三章 第五节 二次函数的应用

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考点一　二次函数的实际应用1．与面积有关的实际问题．2．抛物线形实际问题(1)根据题意，结合函数图象求出函数表达式；(2)确定自变量的取值范围；(3)根据图象，结合所求表达式解决问题．
3．实际问题中求最值的步骤(1)分析问题中的数量关系，列出函数表达式；(2)研究自变量的取值范围；(3)确定所得的函数；(4)检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；(5)解决提出的实际问题．
考点二　二次函数的综合应用二次函数的综合题多与一元二次方程、不等式、几何知识综合在一起，考查较多的是面积问题、动点问题、存在性问题，难度大、综合性强．
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c(a＜0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是 __________．
考点突破 对点演练
命题点1　二次函数的实际应用【典例1】　(2024·陕西)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100 m，AO＝BC＝17 m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2 m．(桥塔的粗细忽略不计)(1)求缆索L1所在抛物线的函数表达式；(2)点E在缆索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6 m，FO＜OD，求FO的长．
[对点演练]1．(2024·泰安)如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 ________平方米．
450　[由题意，设垂直于外墙的边长为x米，则平行于外墙的边长为(60－2x)米，又墙长为40米，∴0＜60－2x≤40．∴10≤x＜30．又菜园的面积＝x(60－2x)＝－2x2＋60x＝－2(x－15)2＋450，∴当x＝15时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于外墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米．]
2．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件．经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件．(1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？(2)小明希望每天获得的利润达到1 050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？
[解]　(1)由题意得，每天销售T恤衫的利润为：(100－8－60)×(20＋2×8)＝1 152(元)．答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1 152元．(2)设此时每件T恤衫降价x元，由题意，得(100－x－60)(20＋2x)＝1 050，整理，得x2－30x＋125＝0，解得x＝5或x＝25．又∵优惠最大，∴x＝25．∴此时售价为100－25＝75(元)．答：小明希望每天获得的利润达到1 050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元．
(1)①m＝________，n＝________；②小球的落点是A，求点A的坐标．(2)小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关系：y＝－5t2＋vt．①小球飞行的最大高度为 ________米；②求v的值．
(1)求抛物线C1的表达式；(2)将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上；(3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
[对点演练](2023·泰安)如图1，二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象经过点A(－4，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；(2)若点P在二次函数图象的对称轴上，当△BCP的面积为5时，求点P的坐标；
(3)如图2，小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使∠DAB＋∠ACB＝90°；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由．
【教师备选资源】1．(2022·泰安)如图，若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－2，0)，B(0，－4)，其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一交点为C．
(1)求二次函数的表达式；(2)若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．①若点N在线段OC上，且MN＝3NC，求点M的坐标；②以MN为对角线作正方形MPNQ(点P在MN右侧)，当点P在抛物线上时，求点M的坐标．
2．(2021·泰安)二次函数y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的图象经过点A(－4，0)，B(1，0)，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP，AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
(2)如图，设BP与y轴交于点E，∵PD∥y轴，∴∠DPB＝∠OEB，∵∠DPB＝2∠BCO，∴∠OEB＝2∠BCO，∴∠ECB＝∠EBC，∴BE＝CE．
课时分层评价卷(十三)　二次函数的应用
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共60分) 1．[跨学科](2024·天津)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．有下列结论：①小球从抛出到落地需要6 s；②小球运动中的高度可以是30 m；③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度．其中，正确结论的个数是(　　)A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3
C　[①令h＝0，则30t－5t2＝0，解得t1＝0，t2＝6，∴小球从抛出到落地需要6 s，故①正确；②h＝30t－5t2＝－5(t2－6t)＝－5(t－3)2＋45，∵－5＜0，∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45，∴小球运动中的高度可以是30 m，故②正确；
③t＝2时，h＝30×2－5×4＝40(m)，t＝5时，h＝30×5－5×25＝25(m)，∴小球运动2 s时的高度大于运动5 s时的高度，故③错误．故选C．]
2．(2024·甘肃)如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的图象，点B(6，2.68)在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4 m，高DE＝1.8 m的矩形，则可判定货车________完全停到车棚内(填“能”或“不能”)．
能　[∵CD＝4 m，B(6，2.68)，∴6－4＝2，在y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6中，当x＝2时，y＝－0.02×22＋0.3×2＋1.6＝2.12，∵2.12＞1.8，∴货车能完全停到车棚内．]
4．第34个全国助残日的主题是“科技助残，共享美好生活”．某公司新研发了一批便携式轮椅，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
5．(2024·福建)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(－2，0)，C(0，－2)．(1)求二次函数的表达式；(2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标．
B　[如图，连接AC，BD交于点E，过点A作MN⊥y轴于点M，过点B作BN⊥MN于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴AC，BD互相平分，AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAN＋∠DAM＝90°，∠DAM＋∠ADM＝90°，∴∠BAN＝∠ADM．∵∠BNA＝∠AMD＝90°，BA＝AD，∴△ANB≌△DMA(AAS)．
又AM＝NB，DM＝AN，∴－n2＋4－b＝m，n＝m2－4＋b．∴b＝－n2－m＋4．∴n＝m2－4－n2－m＋4．∴(m＋n)(m－n)＝m＋n．∵点A，C在y轴的同侧，且点A在点C的右侧，∴m＋n≠0．∴m－n＝1．故选B．]
7．[情境题](2024·四川自贡)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图)，其中AB上的EO段围墙空缺．同学们测得AE＝6.6 m，OE＝1.4 m，OB＝6 m，OC＝5 m，OD＝3 m，班长买来可切断的围栏16 m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是______m2．
8．(2024·湖南)已知二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A(－2，5)，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是此二次函数的图象上的两个动点．
9．[项目式学习试题](2024·山西)综合与实践问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．方案设计：如图2，AB＝6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO＝9米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红；第二步：在线段CP上取点F(不与C，P重合)，过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
(1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；(2)求6米材料恰好用完时DE与CF的长；(3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
根据题意，得DE＋CF＝6，∴－m2＋6＋2m＝6，解得m＝2或m＝0(不符合题意，舍去)，∴m＝2．∴DE＝2m＝4，CF＝－m2＋6＝2．答：DE的长为4米，CF的长为2米．