2025年中考数学总复习课件(山东省专用)17 第一部分 第三章 第四节 二次函数的图象与性质

这是一份2025年中考数学总复习课件(山东省专用)17 第一部分 第三章 第四节 二次函数的图象与性质，共60页。
链接教材 基础过关
考点一　二次函数的概念一般的，形如_______________(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数．
考点二　二次函数的图象与性质1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数的关系
考点三　二次函数的表达式与平移1．二次函数的表达式(1)一般式：______________(a，b，c为常数，a≠0)．(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是______，对称轴是________．(3)交点式：若已知抛物线与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，则抛物线的表达式为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．抛物线的平移抛物线平移前后的形状不变，开口方向和大小都不变，抛物线平移前后的顶点遵循“左__右__，上__下__”的规律．
考点四　二次函数与一元二次方程及不等式1．二次函数与一元二次方程二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．当Δ＝b2－4ac__0时，方程有两个不等的实数根；当Δ＝b2－4ac__0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＝b2－4ac__0时，方程无实数根．
2．二次函数与不等式抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方部分点的纵坐标都为正，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集．
2．(鲁教版九上P84做一做改编)已知函数y＝a(x－h)2＋k，其中a＜0，h＞0，k＜0，则下列图象正确的是(　　)
D　[∵y＝a(x－h)2＋k，a＜0，∴图象开口向下，A、B选项错误；∵对称轴为直线x＝h＞0，顶点坐标(h，k)，k＜0，∴C选项错误，D选项正确．故选D．]
3．二次函数y＝2x2＋3x＋1的图象与x轴交点的个数为(　　)A．0B．1C．2D．1或2
C　[∵b2－4ac＝32－4×2×1＝1＞0，∴二次函数y＝2x2＋3x＋1的图象与x轴有两个不同的交点．故选C．]
4．(鲁教版九上P93例3改编)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝10；当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝7．则y与x之间的关系是________________．
5．若A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(1，y3)为二次函数y＝x2＋4x－5图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是_________________．
y2＜y1＜y3　[∵A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(1，y3)为二次函数y＝x2＋4x－5图象上的三点，∴y1＝1－4－5＝－8，y2＝4－8－5＝－9，y3＝1＋4－5＝0，∵－9＜－8＜0，∴y2＜y1＜y3．]
考点突破 对点演练
∵图象与y轴交点的纵坐标是2，∴c＝2，∴a－b＋2＜0，∴b－a＞2，故④错误．故选B．]
[对点演练]1．(2020·泰安)在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y＝ax＋b的图象可能是(　　)
C　[对于A，∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数图象交于y轴负半轴的同一点，故A错误；对于B，∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数图象交于y轴负半轴的同一点，故B错误；
对于C，∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数图象交于y轴负半轴的同一点，故C正确；对于D，∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数图象交于y轴负半轴的同一点，故D错误．故选C．]
3．(2021·泰安)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象，图象过点(3，0)，对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2＋bx＋c＋1＝0有实数根．其中正确的为________(将所有正确结论的序号都填入)．
∵抛物线与x轴的交点(3，0)，对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为(－1，0)，∴当x＝－1时，y＝a－b＋c＝0，即②正确；由图象无法判断y的最大值，故③错误；方程ax2＋bx＋c＋1＝0的实数根的个数，可看作二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝－1的图象的交点个数，由图象可知，必然有2个交点，即方程ax2＋bx＋c＋1＝0有2个不相等的实数根，故④正确．故答案为②④．]
【教师备选资源】1．(2023·泰安)二次函数y＝－x2－3x＋4的最大值是 ________．
2．(2020·泰安)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的y与x的部分对应值如下表： 下列结论：①a＞0；②当x＝－2时，函数最小值为－6；③若点(－8，y1)，点(8，y2)在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2＋bx＋c＝－5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上)
B　[y＝－x2－2x＋3＝－(x2＋2x)＋3＝－[(x＋1)2－1]＋3＝－(x＋1)2＋4，∵将抛物线y＝－x2－2x＋3向右平移1个单位，再向下平移2个单位，∴得到的抛物线表达式为y＝－x2＋2，当x＝－2时，y＝－(－2)2＋2＝－2，故(－2，2)不在此抛物线上，故A选项不合题意；
命题点2　二次函数图象的平移【典例2】　(2021·泰安)将抛物线y＝－x2－2x＋3向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过(　　)A．(－2，2)B．(－1，1)　C．(0，6)D．(1，－3)
当x＝－1时，y＝－(－1)2＋2＝1，故(－1，1)在此抛物线上，故B选项符合题意；当x＝0时，y＝－02＋2＝2，故(0，6)不在此抛物线上，故C选项不合题意；当x＝1时，y＝－12＋2＝1，故(1，－3)不在此抛物线上，故D选项不合题意．故选B．]
归纳总结　解决抛物线的平移问题，一般有两种解决方法，一是将问题转化为顶点的平移问题解决；二是直接利用抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”解决．
[对点演练]1．(2024·内蒙古包头)将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为(　　)A．y＝(x＋1)2－3B．y＝(x＋1)2－2C．y＝(x－1)2－3D．y＝(x－1)2－2
A　[y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为y＝(x＋1)2－3．故选A．]
2．(2024·四川内江)已知二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，则y1________y2(填“＞”或“＜”)．
＜　[∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，∴二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到抛物线C的函数关系式为y＝(x－1＋2)2，即y＝(x＋1)2，∵点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，∴y1＝9，y2＝16，∴y1＜y2．]
(2)由题意，∵点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m(m＞0)个单位长度，∴平移后的点为(1－m，9)．又(1－m，9)在y＝x2＋x＋3的图象上，∴9＝(1－m)2＋(1－m)＋3．∴m＝4或m＝－1(舍去)．∴m＝4．
归纳总结　在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其表达式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其表达式为交点式来求解．
[对点演练]1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点是(1，3)，当x＞1时，y随x的增大而增大，则抛物线表达式可以是(　　)A．y＝－2(x＋1)2＋3B．y＝2(x＋1)2＋3　C．y＝－2(x－1)2＋3D．y＝2(x－1)2＋3
D　[根据题意可知抛物线开口向上，又知顶点为(1，3)，根据抛物线的顶点式，故选D．]
2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴、y轴分别相交于A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点，则该二次函数的表达式是__________________．
y＝－x2＋2x＋3　[根据题意设抛物线表达式为y＝a(x＋1)(x－3)，将点C(0，3)代入，得－3a＝3，解得a＝－1，∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．]
3．(北师大版九下例题)已知二次函数y＝ax2＋c的图象经过点(2，3)和(－1，－3)，求这个二次函数的表达式．
课时分层评价卷(十二)　二次函数的图象与性质
D　[根据二次函数图象，当x＞1时，y1随着x的增大而减小，同样当x＞1时，反比例函数y2随着x的增大而减小．故选D．]
5．[新定义问题](2024·四川眉山)定义运算：a⊗b＝(a＋2b)(a－b)，例如4⊗3＝(4＋2×3)(4－3)，则函数y＝(x＋1)⊗2的最小值为(　　)A．－21　　　B．－9　　　C．－7　　　D．－5
B　[由题意得，y＝(x＋1)⊗2＝(x＋1＋2×2)(x＋1－2)＝(x＋5)(x－1)，即y＝x2＋4x－5＝(x＋2)2－9，∴函数y＝(x＋1)⊗2的最小值为－9．故选B．]
6．(2024·四川达州)抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是(　　)A．b＋c＞1B．b＝2C．b2＋4c＜0D．c＜0
A　[∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于两点，分别设为(x1，0)和(x2，0)，且x1＜1，∴x1－1＜0，x2－1＞0，∴(x1－1)(x2－1)＜0，∴x1x2－(x1＋x2)＋1＜0，由根与系数的关系可得，－c－b＋1＜0，∴b＋c＞1．故选A．]
7．(2024·湖北)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的顶点坐标为(－1，－2)，与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是(　　)A．a＜0B．c＜0　C．a－b＋c＝－2D．b2－4ac＝0
C　[由题意，∵抛物线顶点坐标为(－1，－2)，∴可设抛物线为y＝a(x＋1)2－2．∴y＝a(x2＋2x＋1)－2＝ax2＋2ax＋a－2．又抛物线为y＝ax2＋bx＋c，∴b＝2a，c＝a－2．∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＝a－2＞0．∴a＞2＞0，故A，B均不正确．又抛物线的顶点为(－1，－2)，∴当x＝－1时，y＝a－b＋c＝－2，故C正确．由b＝2a，c＝a－2，∴b2－4ac＝4a2－4a(a－2)＝8a＞0，故D错误．故选C．]
8．[图表信息题](2024·陕西)已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： 则下列关于这个二次函数的结论正确的是(　　)A．图象的开口向上B．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小C．图象经过第二、三、四象限D．图象的对称轴为直线x＝1
令y＝0，得－x2＋2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，所以抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)和(2，0)．又因为抛物线的顶点坐标为(1，1)，所以抛物线经过第一、三、四象限，故C选项不符合题意．因为二次函数表达式为y＝－(x－1)2＋1，所以抛物线的对称轴为直线x＝1，故D选项符合题意．故选D．]
9．(2024·滨州)将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 ________．
(1，2)　[将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，抛物线表达式为y＝－(x－1)2＋2，∴顶点坐标为(1，2)．]
10．在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)，(3，n)在抛物线y＝ax2＋bx＋2上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．(1)当m＝2，n＝－4时，求抛物线的表达式；(2)当m＝n时，求t的值．
11．(2024·江苏扬州)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)两点．(1)求b，c的值；(2)若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标．
B　[∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x＝－1＜0，a，b同号，∴b＞0，∵与y轴的交点B在(0，－2)和(0，－3)之间，∴－3＜c＜－2＜0，∴abc＜0，故①不正确；∵对称轴为直线x＝－1，且该抛物线与x轴交于点A(1，0)，∴与x轴交于另一点(－3，0)，∵x＝－3，y＝9a－3b＋c＝0，故②不正确；
13．(2024·四川南充)已知抛物线C1：y＝x2＋mx＋m与x轴交于两点A，B(A在B的左侧)，抛物线C2：y＝x2＋nx＋n(m≠n)与x轴交于两点C，D(C在D的左侧)，且AB＝CD．下列四个结论：①C1与C2交点为(－1，1)；②m＋n＝4；③mn＞0；④A，D两点关于(－1，0)对称．其中正确的结论是 ___________．(填写序号)
①②④　[令x2＋mx＋m＝x2＋nx＋n，解得x＝－1，把x＝－1代入y＝x2＋mx＋m，得y＝1，∴C1与C2交点为(－1，1)，故①正确；∵抛物线C1：y＝x2＋mx＋m与抛物线C2：y＝x2＋nx＋n的开口方向和大小相同，且AB＝CD，∴两抛物线关于直线x＝－1对称，∴A，D两点关于(－1，0)对称，故④正确；
14．(2024·山东)在平面直角坐标系xOy中，点P(2，－3)在二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m．(1)求m的值；(2)若点Q(m，－4)在y＝ax2＋bx－3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；(3)设y＝ax2＋bx－3的图象与x轴交点为(x1，0)，(x2，0)(x1＜x2)．若4＜x2－x1＜6，求a的取值范围．
(2)∵点Q(1，－4)在y＝ax2－2ax－3的图象上，∴a－2a－3＝－4，解得a＝1，∴抛物线为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为y＝(x－1)2－4＋5＝(x－1)2＋1，∵0≤x≤4，∴当x＝1时，函数有最小值为1，当x＝4时，函数有最大值为(4－1)2＋1＝10．∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11．