广东省深圳市龙岗区2024-2025学年高一下学期期中考试数学检测试题（含答案）

这是一份广东省深圳市龙岗区2024-2025学年高一下学期期中考试数学检测试题（含答案），共10页。
2．客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色水笔书写在答题卡上。
一、单选题（共8道题，每小题5分，满分40分）
1．(2+2i)(1−2i)=（ ）
A．−2+4iB．−2−4iC．6+2iD．6−2i
2．在△ABC中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，若a2+b2−c2=ab，则C=（ ）
A．π4B．π3C．2π3D．5π6
3．圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积为（ ）
A．2πB．3πC．4πD．5π
4．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB=BC=2,BB1=1,AC=22，则异面直线BD与AC所成的角为（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．90°
5．已知a=4，b=3，a⋅b=−6，则向量b在a方向上的投影向量为（ ）
A．−38aB．−38bC．38aD．38b
6．已知m,n是两条不同的直线，α,β是两个不重合的平面.给出下列四个命题：
①若α//β,m⊂β，则m//α；②若m//n,n⊂α，则m//α；
③若α⊥β,m⊂α，则m⊥β；④若m//α,m⊥β，则α⊥β.
其中为真命题的编号是（ ）
A．①②④B．①③C．①④D．②④
7．已知△ABC是边长为1的正三角形，BD=2DC，AB+AC=2AE，则AE⋅AD=（ ）
A．34B．32C．38D．1
8．灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为V=π33R−ℎℎ2，其中R是球的半径，ℎ是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为（取π=3）（ ）

A．32000cm3B．33664 cm3C．33792 cm3D．35456 cm3
二、多选题（共3道题，每小题6分，满分18分）
9．设复数z=21−i，则下列命题中正确的是（ ）
A．|z|=2B．在复平面上对应的点在第四象限
C．z-1是纯虚数D．z的虚部为i
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（ ）
A．若A >B， 则sinA>sinB
B．a=23,c=2,A=2π3，则b=4
C．若acsB−bcsA=c，则△ABC定为直角三角形
D．若B=π3,a=2且该三角形有两解，则b的取值范围是(3,2)
11．如图，在边长为2的正方形SG1G2G3 中，E，F分别是G1G2,G2G3 的中点，D是EF的中点，将△SG1E，△SG3F 分别沿SE，SF折起，使G1,G3 两点重合于G，下列说法正确的是（ ）
A．若把△G2EF 沿着EF继续折起，G2 与G恰好重合
B．SG⊥EF
C．四面体S−GEF 的外接球体积为6π
D．点G在面SEF上的射影为△SEF的重心
三、填空（共3道题，每小题5分，满分15分）
12．已知向量a、b为单位向量，且a⊥b，则b⋅(4a−3b)= .
13．相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度AB，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=30°,∠CDB=45°，BD=13m，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60°，则该楼的高度AB为 m.
14．设α和β是关于x的方程x2−4x+m=0的两个虚数根，若α、β、−1在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数m= .
四、解答题：（共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本题13分）在△ABC中，a=4，b=5，csC=18.
(1)求△ABC的面积； (2)求c及sinA的值.
16．（本题15分）已知向量a=2,2,b=1,m
(1)若m=2，求a⋅b及a+b的值；
(2)若2a+b与b平行，求实数m的值；
(3)若a与b的夹角为45∘，求实数m的值.
17．（本题15分）如图，在正方体A1B1C1D1−ABCD中，E是DD1的中点．
(1)求证：BD1//平面ACE；
(2)设正方体的棱长为1，求点B到平面AEC的距离．
18．（本题17分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a+2c=bcsC+3bsinC.
(1)求角B；
(2)若b=3，求△ABC周长的取值范围.
19．（本题17分）如图，在四面体C−ABD中，CB=CD,AB=AD，∠BAD=90°,E,F分别是BC,AC的中点.
(1)求证：AC⊥BD；
(2)在AC上能否找到一点M，使BF//平面MED？若存在，请求出CMCA的值，若不存在，请说明理由；
(3)若平面CBD⊥平面ABD，且CB=BD，求直线BF与平面ABD所成角的正切值.答案
1．D
【详解】2+2i1−2i=2+4−4i+2i=6−2i，故选：D.
2．B
【详解】csC=a2+b2−c22ab=12，又C∈0,π，解得C=π3.故选：B
3．A
【详解】由题得圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，所以圆锥的侧面积为12×2π×1×2=2π.故选：A
4．C
【详解】如图，取B1C1的中点E，连接BE,DE，则AC//A1C1//DE，则∠BDE（或其补角）即为异面直线BD与AC所成的角.
由条件知：BD=DE=EB=2，则∠BDE=60°，故选：C.
5．A
【详解】因为a=4，b=3，a⋅b=−6，
所以向量b在a方向上的投影向量为a⋅ba⋅aa=−64×4⋅a=−38a.
故选：A.
6．C
【详解】①中,若α//β,则β内任一直线与α平行,①为真命题；
②中,若m//n,n⊂α,则m可能平行于α,也可能在α内,②为假命题；
③中,若α⊥β,m⊂α,则m可能垂直于β,也可能平行于β,也可能与β相交但不垂直,③为假命题；
④中,若m//α,则可在α内作一直线m1使m1//m,又因为m⊥β,所以m1⊥β,又m1⊂α,则α⊥β,④为真命题；
综上,①④为真命题,故选:C
7．A
【详解】由AB+AC=2AE，可知E为BC中点，所以AE⊥BC，如图所示：
因为BD=2DC，根据上图可知AD=AE+ED=AE+16BC
AE⋅AD=AE⋅AE+16BC=AE2=34.故选：A
8．B
【详解】该灯笼去掉圆柱部分的高为40−8=32cm，则R−ℎ=322=16cm，
由圆柱的底面圆直径为24 cm，则有R−ℎ2+122=R2，
即162+122=R2，可得R=20，则ℎ=4，
V=2V圆柱+V球−2V球缺=2×4×122×π+43×π×203−2×π360−4×42
=3456+32000−1792=33664.故选：B.
9．ABC
【详解】z=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，知复数z的虚部为1，所以选项D错误；
对于选项A，|z|=12+12=2，所以选项A正确；
对于选项B，z=1−i对应的点为(1,-1)在第四象限，所以选项B正确；
对于选项C，复数z-1=i是纯虚数，所以选项C正确.故选：ABC.
10．ACD
【详解】对于A，在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB，A正确；
对于B，由余弦定理得12=a2=b2+c2−2bccs2π3=b2+4+2b，即b2+2b−8=0，
而b>0，解得b=2，B错误；
对于C，由余弦定理得a⋅a2+c2−b22ac−b⋅b2+c2−a22bc=c，整理得a2=b2+c2，△ABC为直角三角形，C正确；
对于D，△ABC有两解，则asinB