2024-2025学年广东省深圳市龙岗区布吉高级中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市龙岗区布吉高级中学高一（下）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2+2i)(1−2i)=( )
A. −2+4iB. −2−4iC. 6+2iD. 6−2i
2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+b2−c2=ab，则C=( )
A. π4B. π3C. 2π3D. 5π6
3.已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的侧面积为( )
A. 2πB. 3πC. 4πD. 5π
4.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB=BC=2，BB1=1，AC=2 2，则异面直线BD与AC所成的角为( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
5.已知|a|=4，|b|=3，a⋅b=−6，则向量b在a方向上的投影向量为( )
A. −38aB. −38bC. 38aD. 38b
6.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面．给出下列四个命题：
①若α//β，m⊂β，则m//α； ②若m//n，n⊂α，则m//α；
③若α⊥β，m⊂α，则m⊥β； ④若m//α，m⊥β，则α⊥β．
其中为真命题的编号是( )
A. ①②④B. ①③C. ①④D. ②④
7.已知△ABC是边长为1的正三角形，BD=2DC，AB+AC=2AE，则AE⋅AD=( )
A. 34B. 32C. 38D. 1
8.灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分(除去两个球缺).如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为V=π3(3R−ℎ)ℎ2，其中R是球的半径，ℎ是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4cm，圆柱的底面圆直径为24cm，则该灯笼的体积为(取π=3)( )
A. 32000cm3B. 33664cm3C. 33792cm3D. 35456cm3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数z=21−i，则下列命题中正确的是( )
A. |z|= 2B. z−在复平面上对应的点在第四象限
C. z−1是纯虚数D. z的虚部为i
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. a=2 3，c=2，A=2π3，则b=4
C. 若acsB−bcsA=c，则△ABC定为直角三角形
D. 若B=π3,a=2且该三角形有两解，则b的取值范围是( 3,2)
11.如图，在边长为2的正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，将△SG1E，△SG3F分别沿SE，SF折起，使G1，G3两点重合于G，下列说法正确的是( )
A. 若把△G2EF沿着EF继续折起，G2与G恰好重合
B. SG⊥EF
C. 四面体S−GEF的外接球体积为 6π
D. 点G在面SEF上的射影为△SEF的重心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a、b为单位向量，且a⊥b，则b⋅(4a−3b)= ______．
13.相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼(如图(1))，如图(2)，为了测量该楼的高度AB，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=30°，∠CDB=45°，BD=13m，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60°，则该楼的高度AB为______m.
14.设α和β是关于x的方程x2−4x+m=0的两个虚数根，若α、β、−1在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数m= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，a=4，b=5，csC=18．
(1)求△ABC的面积；
(2)求c及sinA的值．
16.(本小题15分)
已知向量a=(2,2),b=(1,m)．
(1)若m=2，求a⋅b及|a+b|的值；
(2)若2a+b与b平行，求实数m的值；
(3)若a与b的夹角为45°，求实数m的值．
17.(本小题15分)
如图，在正方体A1B1C1D1−ABCD中，E是DD1的中点．
(1)求证：BD1//平面ACE；
(2)设正方体的棱长为1，求点B到平面AEC的距离．
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a+2c=bcsC+ 3bsinC．
(1)求角B；
(2)若b=3，求△ABC周长的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，在四面体C−ABD中，CB=CD，AB=AD，∠BAD=90°，E，F分别是BC，AC的中点．

(1)求证：AC⊥BD；
(2)在AC上能否找到一点M，使BF//平面MED？若存在，请求出CMCA的值，若不存在，请说明理由；
(3)若平面CBD⊥平面ABD，且CB=BD，求直线BF与平面ABD所成角的正切值．
参考答案
1.D
2.B
3.A
4.C
5.A
6.C
7.A
8.B
9.ABC
10.ACD
11.ABC
12.−3
13.13 6
14.13
15.解：(1)由csC=18且0