四川省成都高新实验中学2024−2025学年高二下学期3月月考数学试卷（含解析）

这是一份四川省成都高新实验中学2024−2025学年高二下学期3月月考数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知数列的首项，且满足，则（ ）
A．8B．32C．16D．64
2．已知数列是等差数列，，则（ ）
A．19B．51C．69D．87
3．若在等差数列中，．则的公差为（ ）
A．1B．2C．3D．6
4．设数列的前项和，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知等比数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．5D．15
6．已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知等差数列的公差为，前项和为，且，则下列不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知双曲线的左，右焦点分别为，点，在双曲线右支上存在点，使得成等比数列，则双曲线离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知等比数列是递减数列，是其公比，则下列说法一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知数列是等差数列，为数列的前n项和，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，数列的前10项和或前11项和最大，则等差数列的公差
B．若，，则使成立的最大的n为4039
C．若，则
D．若，则
11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….该数列的特点是前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.若记此数列为，有，，前n项和为，则下列对“斐波那契数列”的描述正确的是（ ）
A．B．该数列的前2024项中能被3整除的有507项
C．是偶数D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．若数列是等比数列，且其前n项和为，则实数
13．若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ．
14．已知等比数列的公比，存在，满足，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
16．记为数列的前n项和，已知
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和
17．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，为棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)已知．
①求直线与平面所成角的正弦值；
②求点到平面的距离．
18．在数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列.
(2)求的通项公式.
(3)若，记数列的前项和，求.
19．在平面直角坐标系中，已知点，动点到点和的距离之和为4．记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设直线与曲线交于两点．
①若点，直线过点且与直线垂直，求的周长；
②若，求面积的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由可得为常数，所以数列是以，公比为2的等比数列；
因此.
故选D.
2．【答案】C
【详解】.
故选C.
3．【答案】B
【详解】因为，所以,
解得,所以等差数列为正数等差数列，所以
故选B.
4．【答案】A
【详解】数列的前项和，则.
故选A
5．【答案】D
【详解】由等比数列性质可知，，
又，解得或，
当时，，
所以，故，
当时，，
所以，故，
综上，，
故选D.
6．【答案】D
【详解】由，，则，，，
所以数列的最小正周期为，
由，则.
故选D.
7．【答案】C
【详解】由可得，且，
因此可得，故选项A、B正确.
因为，可得，
所以，即，选项C错误.
由等差数列前项和公式得，，选项D正确.
故选C.
8．【答案】B
【详解】
如图，不妨设，
由题意，，
则，即①，
又，即②，
由①，② 可知，可看成关于的方程的两根，
则，故得，（*）.
在中，因，
运用余弦定理，由可得：，
化简得：，
将（*）代入整理得：，
化简得：，即，
由图可得，则有，
即得：，也即，
分解因式得：，
即，
因，解得.
故选B.
9．【答案】BD
【详解】，为递减数列，
则或.
故BD正确.
故选BD.
10．【答案】BC
【详解】若，数列的前10项或前11项和最大，则，
即，故A错误；
由，得，
即，整理得，
解得或．
当时，，不符题意，所以，
由，得，由，得，
所以n的最大值为4039，故B正确；
解得．
又，故C正确；
因为成等差数列，即10，30，成等差数列，
所以，解得，故D错误．
故选BC.
11．【答案】AD
【详解】对A选项：因为，即，
所以，
又，所以.故A正确；
对B：因为“斐波那契数列”的前若干项依次为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，它们除以3所得的余数为：1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0，…，可以发现余数是以1,1,2,0,2,2,1,0为周期的，在一个周期内有两个能被3整除的数.
又，所以该数列的前2024项中能被3整除的有个.故B错误；
对C：因为均为奇数，且奇数奇数为偶数，所以为偶数；
因为奇数偶数为奇数，所以为奇数；…
所以“斐波那契数列”中的项是“奇，奇，偶”规律出现的，又，所以
为奇数，故C错误；
对D：因为
…
因为，所以.故D正确.
故选AD.
12．【答案】
【详解】 ∵，且为等比数列，
由等比数列前项和的特点，
可得：，即．
13．【答案】300
【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为，
则，
，
由题意可得：，即，解得，
故数列的所有项之和是.
14．【答案】
【详解】在等比数列中，由，得，即，
则，则，
当且仅当，即时取等号，此时，而，
由对勾函数的性质知，当时，；
当时，，又，
所以当时，取得最小值为.
15．【答案】(1);
(2).
【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，
由，得，
所以，所以．
（2）由（1）知，
所以.
【思路导引】若通项公式是分式型，分子是常数，分母是相邻两项的积，则可以考虑用裂项相消法求和.
16．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）当时，，
当时，满足上式，所以.
（2）由题知，
所以，，
两式相减得
所以
17．【答案】(1)证明见解析；
(2)；.
【详解】（1）连接，连，如图，正方形中，N为的中点，而为棱的中点，
则，而平面，平面，
所以平面.
（2）因为底面底面 ，
所以，正方形中, ，
又因为平面， 所以平面，
因为平面，所以，
又因为， 平面，
所以平面，平面,所以，为棱的中点．
所以，
如图建立空间直角坐标系，
依题意，则，所以 .
设平面的法向量，
因为，所以，
令，得 ，即，
设直线与平面所成角为
所以，所以直线与平面所成角的正弦值为 ；
②点到平面的距离.
18．【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【详解】（1）在数列中，由，得，
则，而，即，
所以数列是首项和公差均为1的等差数列.
（2）由（1）得，则，即，
所以的通项公式是.
（3）由（2）得，
则
，
所以.
19．【答案】(1)
(2)①8；②
【详解】（1）由题意知，，
所以动点的轨迹是以和为焦点的椭圆，
故可设椭圆的方程为，
则，所以，
所以曲线的方程为．
（2）
①由（1）知，，得为正三角形，
则由，得直线为线段的垂直平分线，
所以，且，
则的周长为
②（Ⅰ）当直线的斜率一条为0，另一条不存在时，的面积为，
（Ⅱ）当直线的斜率存在且都不为零时，设直线，
由，得，
即，则，
则，
同理可得，，
故的面积为
．
当且仅当，即时取最小值．
综上，的面积的取值范围为．