四川省成都高新实验中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份四川省成都高新实验中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知数列首项，且满足，则（ ）
A. 8B. 32C. 16D. 64
2. 已知数列是等差数列，，则（ ）
A. 19B. 51C. 69D. 87
3. 若在等差数列中，．则的公差为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 6
4. 设数列的前项和，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知等比数列的前项和为，则（ ）
A. B. C. 5D. 15
6. 已知数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知等差数列公差为，前项和为，且，则下列不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知双曲线左，右焦点分别为，点，在双曲线右支上存在点，使得成等比数列，则双曲线离心率取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知等比数列是递减数列，是其公比，则下列说法一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知数列是等差数列，为数列的前n项和，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，数列的前10项和或前11项和最大，则等差数列的公差
B. 若，，则使成立最大的n为4039
C. 若，则
D. 若，则
11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….该数列的特点是前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.若记此数列为，有，，前n项和为，则下列对“斐波那契数列”的描述正确的是（ ）
A. B. 该数列的前2024项中能被3整除的有507项
C. 偶数D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分．
12. 若数列是等比数列，且其前n项和为，则实数______
13. 若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为______．
14. 已知等比数列的公比，存在，满足，则的最小值为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
16. 记为数列的前n项和，已知
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和
17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）已知．
①求直线与平面所成角的正弦值；
②求点到平面的距离．
18. 在数列中，，.
（1）证明：数列是等差数列.
（2）求的通项公式.
（3）若，记数列的前项和，求.
19. 在平面直角坐标系中，已知点，动点到点和的距离之和为4．记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设直线与曲线交于两点．
①若点，直线过点且与直线垂直，求的周长；
②若，求面积的取值范围．
成都高新实验中学2024-2025学年下期高二3月月考
数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知数列的首项，且满足，则（ ）
A. 8B. 32C. 16D. 64
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件得出数列是以，公比为2的等比数列，即可求出结果.
【详解】由可得为常数，所以数列是以，公比为2的等比数列；
因此.
故选：D.
2. 已知数列是等差数列，，则（ ）
A. 19B. 51C. 69D. 87
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的前n项和公式结合等差数列的性质进行求解即可.
【详解】.
故选：C.
3. 若在等差数列中，．则的公差为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式，将已知等式化简，两式相减即可求得答案
【详解】因为，所以,
解得,所以等差数列为正数等差数列，所以
故选：B
4. 设数列的前项和，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数列前项和与第项的关系求出.
【详解】数列的前项和，则.
故选：A
5. 已知等比数列的前项和为，则（ ）
A. B. C. 5D. 15
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列的性质及求和公式得解.
【详解】由等比数列性质可知，，
又，解得或，
当时，，
所以，故，
当时，，
所以，故，
综上，，
故选：D
6. 已知数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意列举数列的前几项，可得数列的周期性，可得答案.
【详解】由，，则，，，
所以数列的最小正周期为，
由，则.
故选：D.
7. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，则下列不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列前 项和 与 的关系，可判断A、B正确，再由前 项和公式可判断C错误，D正确.
【详解】由可得，且，
因此可得，故选项A、B正确.
因为，可得，
所以，即，选项C错误
由等差数列前项和公式得，，选项D正确.
故选：C.
8. 已知双曲线左，右焦点分别为，点，在双曲线右支上存在点，使得成等比数列，则双曲线离心率取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，则得，由和可推得为关于的方程的两根，求得，（*），在中，利用余弦定理得，将（*）代入化简得，根据，可得，即，解不等式可得.
【详解】
如图，不妨设，
由题意，，
则，即①，
又，即②，
由①，② 可知，可看成关于的方程的两根，
则，故得，（*）.
在中，因，
运用余弦定理，由可得：，
化简得：，
将（*）代入整理得：，
化简得：，即，
由图可得，则有，
即得：，也即，
分解因式得：，
即，
因，解得.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：选设未知数后，通过变形后求得，是关键，再利用余弦定理建立方程，结合图形得将其化成关于的齐次不等式，求解即得.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知等比数列是递减数列，是其公比，则下列说法一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据等比数列的单调性求解判断.
【详解】，为递减数列，
则或.
故BD正确.
故选：BD.
10. 已知数列是等差数列，为数列的前n项和，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，数列的前10项和或前11项和最大，则等差数列的公差
B. 若，，则使成立的最大的n为4039
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】应用等差数列基本量运算判定A，C，应用绝对值左右平方结合基本量运算判定B，根据成等差数列，计算求值判定D.
【详解】若，数列的前10项或前11项和最大，则，
即，故A错误；
由，得，
即，整理得，
解得或．
当时，，不符题意，所以，
由，得，由，得，
所以n的最大值为4039，故B正确；
解得．
又，故C正确；
因为成等差数列，即10，30，成等差数列，
所以，解得，故D错误．
故选：BC.
11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….该数列的特点是前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.若记此数列为，有，，前n项和为，则下列对“斐波那契数列”的描述正确的是（ ）
A. B. 该数列的前2024项中能被3整除的有507项
C. 是偶数D.
【答案】AD
【解析】
【分析】观察分析“斐波那契数列”的特点和性质，探索其规律，依次判断各选项的准确性.
【详解】对A选项：因为，即，
所以，
又，所以.故A正确；
对B：因为“斐波那契数列”的前若干项依次为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，它们除以3所得的余数为：1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0，…，可以发现余数是以1,1,2,0,2,2,1,0为周期的，在一个周期内有两个能被3整除的数.
又，所以该数列的前2024项中能被3整除的有个.故B不正确；
对C：因为均为奇数，且奇数奇数为偶数，所以为偶数；
因为奇数偶数为奇数，所以为奇数；…
所以“斐波那契数列”中的项是“奇，奇，偶”规律出现的，又，所以
为奇数，故C不正确；
对D：因为
…
因为，所以.故D正确.
故选：AD
【点睛】方法点睛：利用递推关系求数列中的项常见思路为：
（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；
（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分．
12. 若数列是等比数列，且其前n项和为，则实数______
【答案】
【解析】
【分析】由等比数列前项和的特点即可求解；
【详解】 ∵，且为等比数列，
由等比数列前项和特点，
可得：，即．
故答案为：
13. 若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为______．
【答案】300
【解析】
【分析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案.
【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为，
则，
，
由题意可得：，即，解得，
故数列的所有项之和是.
故答案为：300.
14. 已知等比数列的公比，存在，满足，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等比数列的性质可得，再根据基本不等式结合对勾函数性质求解即可．
【详解】在等比数列中，由，得，即，
则，则，
当且仅当，即时取等号，此时，而，
由对勾函数的性质知，当时，；
当时，，又，
所以当时，取得最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式列出等式，联立方程组求得的值，从而写出通项公式；
（2）由（1）写出的通项公式，然后由裂项相消求得其前项和．
【小问1详解】
设等差数列的公差为，由，得，
由，得，
所以，所以．
【小问2详解】
由（1）知，
所以
16. 记为数列的前n项和，已知
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由的关系求的通项公式；
（2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求
【小问1详解】
当时，，
当时，满足上式，所以.
【小问2详解】
由题知，
所以，，
两式相减得
所以
17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）已知．
①求直线与平面所成角的正弦值；
②求点到平面距离．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；.
【解析】
【分析】（1）连接，连，证明，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）①以点A为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量法求法向量再求线面角的正弦②应用点到平面距离公式计算即可.
【小问1详解】
连接，连，如图，正方形中，N为的中点，而为棱的中点，
则，而平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
因为底面底面 ，
所以，正方形中, ，
又因为平面， 所以平面，
因为平面，所以，
又因为， 平面，
所以平面，平面,所以，为棱的中点．
所以，
如图建立空间直角坐标系，
依题意，则，所以 .
设平面的法向量，
因为，所以，
令，得 ，即，
设直线与平面所成角为
所以，所以直线与平面所成角的正弦值为 ；
②点到平面的距离.
18. 在数列中，，.
（1）证明：数列是等差数列.
（2）求的通项公式.
（3）若，记数列的前项和，求.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用给定的递推公式变形，结合等差数列定义判断得证.
（2）利用（1）的结论，利用等差数列定义求出通项公式.
（3）利用分组求和法，结合等差等比数列前项和公式求解即得.
【小问1详解】
在数列中，由，得，
则，而，即，
所以数列是首项和公差均为1的等差数列.
【小问2详解】
由（1）得，则，即，
所以的通项公式是.
【小问3详解】
由（2）得，
则
，
所以.
19. 在平面直角坐标系中，已知点，动点到点和的距离之和为4．记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设直线与曲线交于两点．
①若点，直线过点且与直线垂直，求的周长；
②若，求面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）①8；②
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的定义及其标准方程即可得出；
（2）①由（1）可知，为正三角形，得直线为线段的垂直平分线，则的周长为；②当直线的斜率一条为0，另一条不存在时，的面积为；当直线的斜率存在且都不为零时，设直线，与椭圆联立消去得，则，则，则得，同理可得，，代入，变形后利用基本不等式，即可求得其取值范围.
【小问1详解】
由题意知，，
所以动点的轨迹是以和为焦点的椭圆，
故可设椭圆的方程为，
则，所以，
所以曲线的方程为．
【小问2详解】
①由（1）知，，得为正三角形，
则由，得直线为线段的垂直平分线，
所以，且，
则的周长为
②（Ⅰ）当直线的斜率一条为0，另一条不存在时，的面积为，
（Ⅱ）当直线的斜率存在且都不为零时，设直线，
由，得，
即，则，
则，
同理可得，，
故面积为
．
当且仅当，即时取最小值．
综上，的面积的取值范围为．