备战2025年中考数学真题汇编特训(江苏专用)专题05一元二次方程(原卷版+解析)

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►考向一 一元二次方程根的情况
1．（2024·江苏徐州·中考真题）关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
2．（2024·江苏南通·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可．
【详解】解∶∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∴当k取0时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为：0（答案不唯一）．
3．（2024·江苏镇江·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
【答案】9
【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
解得．
故答案为：9．
►考向二 一元二次方程中的新定义
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴，即，
∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得且，
故选：D．
2．定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．且B．C．且D．
【答案】C
【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．
【详解】解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0，
∴．
整理得，．
∵方程有两个实数根，
∴判别式且．
由得，，
解得，．
∴k的取值范围是且．
故选：C
【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．
3．定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有两个不相等的实数根”得出，列出不等式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
故选：C．
►考向三 解一元二次方程
1．（2024·江苏徐州·中考真题）（1）解方程：；
（2）解不等式组．
【答案】（1），
（2）
【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，解一元一次不等式组，熟练掌握解法是解题的关键．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）分别解不等式①、②，然后找出它们的公共部分即可求出不等式组的解集．
【详解】解：（1），
，
，
，
，
∴，；
（2），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是．
2．（2024·江苏无锡·中考真题）（1）解方程：；
（2）解不等式组：
【答案】（1），（2）
【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组．
（1）先移项，再用直接开平方法即可求解；
（2）先分别求解两个不等式，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”即可写出不等式组的解集．
【详解】（1）解：，
，
或，
解得：．
（2）解：，
由①可得：，
由②可得：，
∴原不等式组的解集为．
3．(1)解方程：；
(2)解不等式组：．
【答案】（1）；（2）
【详解】本题考查了解一元二次方程，一元一次不等式组；
（1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先分别解两个不等式得到和x0，
令，画出图象如图所示：
由图象得：或，
∵方程有一个正根和一个负根，
∴x1⋅x2=-a-1a