备战2025年中考数学真题分类汇编(全国通用)专题06一元二次方程及其应用(11题)(学生版+解析)

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一、单选题
1．（2024·四川自贡·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式解答即可．
【详解】解：△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
2．（2024·山东泰安·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．
根据一元二次方程有实数根的条件是，据此列不等式求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，解得．
故选B．
3．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故选：．
4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：由方程得，，，
∵，
∴等腰三角形的底边长为，腰长为，
∴这个三角形的周长为，
故选：．
二、填空题
5．（2024·广东·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
【答案】1
【分析】由有两个相等的实数根，可得进而可解答．
【详解】解：∵有两个相等的实数根，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握相关知识是解题的关键．
6．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设方程的另一个根为m，
∵方程有一个根为，
∴，
解得：．
故答案为：4．
7．（2024·甘肃临夏州·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
【答案】-1
【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0，求出m的取值即可．
【详解】解：由已知得△=0，即4+4m=0，解得m=-1．
故答案为-1.
【点睛】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
三、解答题
8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：x2﹣5x+6＝0
【答案】x1＝2，x2＝3
【分析】利用因式分解的方法解出方程即可.
【详解】利用因式分解法求解可得．
解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
【点睛】本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤.
9．（2024·安徽·中考真题）解方程：
【答案】，
【分析】先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法进行解题．
10．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：；
（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．
【答案】（1）或
（2）第三边的长是或
【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理．
（1）用因式分解法解即可；
（2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即可．
【详解】解：（1）
或；
（2）当两条直角边分别为3和1时，
根据勾股定理得，第三边为；
当一条直角边为1，斜边为3时，
根据勾股定理得，第三边为．
答：第三边的长是或．
11．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
(1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)该商品日销售额不能达到元，理由见解析。
【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式；
（2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为，
将，代入得
，
解得，
与之间的函数表达式为；
（2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下：
依题意得，
整理得，
∴，
∴该商品日销售额不能达到元．
每件售价/元
日销售量/件