备战2025年中考数学真题分类汇编(全国通用)专题07不等式(组)及其应用(29题)(学生版+解析)

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一、单选题
1．（2024·四川雅安·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
故选：C．
2．（2024·内蒙古包头·中考真题）若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查实数与数轴，求不等式组的解集，根据数轴上的数右边的比左边的大，列出不等式组，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故选B．
3．（2023·浙江台州·中考真题）不等式的解集在数轴上表示为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的性质解出未知数的取值范围，在数轴上表示即可求出答案．
【详解】解：，
．
在数轴上表示如图所示：
．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法即在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于熟练掌握一元一次不等式的性质．
4．（2024·四川遂宁·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示出来即可判断求解，正确求出一元一次不等式组的解集是解题的关键．
【详解】解：，
由得，，
由得，，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的解集在数轴上表示为，
故选：．
5．（2024·吉林长春·中考真题）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】A
【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答．
【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意．
故选：A．
6．（2024·四川巴中·中考真题）函数自变量的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围、二次根式的定义，熟练掌握二次根式的有意义的条件是解题关键．根据二次根式的有意义的条件建立不等式求解即可解题．
【详解】解：由题知，，
解得，
故答案为：C．
7．（2024·黑龙江大庆·中考真题）下列说法正确的是( )
A．若，则
B．一件衣服降价20%后又提价20%，这件衣服的价格不变
C．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
D．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定，多边形的外角与内角和问题，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A. 若，且，则，故该选项不正确，不符合题意；
B. 设原价为元，则提价%后的售价为：元；
后又降价的售价为：元．
一件衣服降价后又提价，
这件衣服的价格相当于原价的，故该选项不正确，不符合题意；
C. 一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，相等的边不一定对应，故该选项不正确，不符合题意；
D.设这个多边形的边数为，
∴由题意得：，
，
，
即这个多边形的边数是6；故该选项正确，符合题意；
故选：D．
二、填空题
8．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度的合格尺寸（的取值范围) ．
【答案】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．根据机器零件的设计图纸给定的数值，可求出的取值范围．
【详解】解：由题意得，
．
故答案为：
9．（2024·重庆·中考真题）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案．
【详解】解：，
解①得：，
解②得：，
关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，
，
解得，
解方程，得，
关于的分式方程的解为非负整数，
且，是偶数，
解得且，是偶数，
且，是偶数，
则所有满足条件的整数的值之和是，
故答案为：16．
10．（2024·青海·中考真题）请你写出一个解集为的一元一次不等式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了不等式的解集．根据不等式的性质对不等式进行变形，得到的不等式就满足条件．
【详解】解：解集是的不等式：．
故答案为：（答案不唯一）．
11．（2024·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个．
【答案】
【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：，
∴整数解有，，，共4个，
故答案为：．
12．（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
利用路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围．
【详解】解： ．
根据题意得：，
解得：，
车速的取值范围是．
故答案为：．
13．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，根据新定义和正整数解列出关于的不等式组是解题的关键．根据新定义列出不等式，解关于的不等式，再由不等式的解集有且只有一个正整数解得出关于的不等式组求解可得．
【详解】解：根据题意可知，
解得：
有且只有一个正整数解
解不等式①，得：
解不等式②，得：
故答案为：．
三、解答题
14．（2024·江苏常州·中考真题）解方程组和不等式组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解方程组和一元一次不等式组：
（1）加减法解方程组即可；
（2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集．
【详解】（1）解：
，得：，解得：；
把代入①，得：，解得：；
∴方程组的解为：．
（2）解：，
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：．
15．（2022·江苏盐城·中考真题）解不等式组：．
【答案】
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可．
【详解】
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（2024·四川成都·中考真题）（1）计算：．
（2）解不等式组：
【答案】（1）5；（2）
【分析】本题考查实数的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．
（1）先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂、化简绝对值，然后加减运算即可；
（2）先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即为不等式组的解集．
【详解】解：（1）
；
（2）解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴该不等式组的解集为．
17．（2024·四川·中考真题）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）1；（2）．
【分析】本题考查的了实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）先根据绝对值的意义、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的意义计算，然后进行二次根式的混合运算即可；
（2）分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）
；
（2）．
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为．
18．（2024·甘肃兰州·中考真题）解不等式组：
【答案】
【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可得出结果．
【详解】解：
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：．
19．（2024·辽宁·中考真题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．
(1)求甲池的排水速度．
(2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？
【答案】(1)
(2)4小时
【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．
（1）设甲池的排水速度为，由题意得，，解方程即可；
（2）设排水a小时，则，再解不等式即可．
【详解】（1）解：设甲池的排水速度为，
由题意得，，
解得：，
答：甲池的排水速度为；
（2）解：设排水a小时，
则，
解得：，
答：最多可以排4小时．
20．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务．
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
【答案】(1)原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米
(2)该公司原计划最多应安排8名工人施工
【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键．
（1）设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道，根据原计划的时间实际的时间+15列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设该公司原计划应安排名工人施工，根据工作时间=工作总量工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过18万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可．
【详解】（1）解：设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道米，
根据题意得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，且符合题意，
∴，
则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米；
（2）解：设该公司原计划应安排y名工人施工，（天），
根据题意得：，
解得：，
∴不等式的最大整数解为8，
则该公司原计划最多应安排8名工人施工．
21．（2024·四川泸州·中考真题）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．
(1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？
(2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？
【答案】(1)A，B两种商品每件进价各为100元，60元；
(2)购进A商品的件数最多为20件
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用：
（1）设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，根据购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元列出方程组求解即可；
（2）设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件，根据利润不低于1770元且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，
由题意得，，
解得，
答：A，B两种商品每件进价各为100元，60元；
（2）解：设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件，
由题意得，，
解得，
∵m为整数，
∴m的最大值为20，
答：购进A商品的件数最多为20件．
22．（2024·四川达州·中考真题）（1）计算：；
（2）解不等式组
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组；
（1）根据负整数指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算即可求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）
（2）
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
23．（2024·四川达州·中考真题）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元．且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元．
(1)求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？
(2)已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
【答案】(1)、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元
(2)要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用，一次函数的应用；
（1）设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为a元，b元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解；
（2）设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意列出不等式组，得出，设收益为元，根据题意列出函数关系式，进而根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元，b元，根据题意得，
解得：
答：、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元；
（2）解：设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意得，
解得：
设收益为元，根据题意得，
∵
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，最大值为（元）
∴售出种柑橘礼盒（盒）
答：要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元．
24．（2024·四川德阳·中考真题）（1）计算：；
（2）解不等式组：
【答案】（1），（2）
【分析】（1）先计算立方根、负整数指数幂、锐角三角函数，再进行实数的加减混合运算即可．
（2）分别求出不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的确定不等式组的解集即可．
【详解】（1）原式：
．
（2）解：
由①，得，
由②，得，
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题考查实数的混合运算、立方根、负整数指数幂、特殊角的锐角三角函数、解一元一次不等式组，熟练掌握立方根、负整数指数幂、特殊角的锐角三角函数和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
25．（2024·内蒙古包头·中考真题）图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：）随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的与之间的对应数据：
(1)依据小亮测量的数据，写出与之间的函数表达式，并说明理由；
(2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？
【答案】(1)
(2)10个
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：
（1）求出每只碗增加的高度，然后列出表达式即可解答；
（2）根据（1）中y和x的关系式列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加，
∴，
检验∶当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
∴；
（2）解：根据题意，得，
解得，
∴碗的数量最多为10个．
26．（2024·河南·中考真题）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下．

(1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？
【答案】(1)选用A种食品4包，B种食品2包
(2)选用A种食品3包，B种食品4包
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可；
（2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意，得
解方程组，得
答：选用A种食品4包，B种食品2包．
（2）解：设选用A种食品包，则选用B种食品包，
根据题意，得．
∴．
设总热量为，则．
∵，
∴w随a的增大而减小．
∴当时，w最小．
∴．
答：选用A种食品3包，B种食品4包．
27．（2024·湖南长沙·中考真题）刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元．
(1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？
(2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？
【答案】(1)A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元
(2)最多能购买100件A种湘绣作品
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．
（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据“购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可解题；
（2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件，总费用单价数量，结合总费用不超过50000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的值，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买湘绣的数量．
【详解】（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元．
根据题意，得
，
解得
答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元．
（2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件．
根据题意，得，
解得．
答：最多能购买100件A种湘绣作品．
28．（2024·广东深圳·中考真题）
【答案】任务1：；任务2：一次性最多可以运输18台购物车；任务3：共有3种方案
【分析】本题考查了求函数表达式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
任务1：根据一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加，且采购了n辆购物车，L是车身总长，即可作答．
任务2：结合“已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车”，得出，再解不等式，即可作答．
任务3：根据“该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次”，列式，再解不等式，即可作答．
【详解】解：任务1：∵一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加
∴
任务2：依题意，∵已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，
令，
解得：
∴一次性最多可以运输18辆购物车；
任务3：设x次扶手电梯，则次直梯，
由题意∵该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次
可列方程为：，
解得：，
∵x为整数，
∴，
方案一：直梯3次，扶梯2次；
方案二：直梯2次，扶梯3次：
方案三：直梯1次，扶梯4次
答：共有三种方案.
29．（2024·四川资阳·中考真题）2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元．
(1)分别求出A，B两款纪念品的进货单价；
(2)该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？
【答案】(1)A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元
(2)至少应购买B款纪念品30个
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，（1）设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个，根据题意列一元一次不等式求得a的取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，
由题意得，，
解得，
答：A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元．
（2）解：设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个，
由题意得，，
解得，，
答：至少应购买B款纪念品30个．
个
1
2
3
4
6
8.4
10.8
13.2
背景
【缤纷618，优惠送大家】
今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车．
素材
如图为某商场叠放的购物车，右图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加．
问题解决
任务1
若某商场采购了n辆购物车，求车身总长L与购物车辆数n的表达式；
任务2
若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？
任务3
若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，求：共有多少种运输方案？