备战2025年中考数学压轴专项(江苏专用)压轴专题09定角定高模型(学生版+解析)练习

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例题1 （24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cs∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（ ）
A．B．C．3D．4
例题2 如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ．


1、如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．

2、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 ．
3、问题提出：（1）如图①，已知在边长为10的等边△ABC中，点D在边BC上，BD＝6，连接AD，则△ACD的面积为 ；
问题探究：（2）如图②，已知在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且∠EAF＝45°．若EF＝5，求△AEF的面积；
问题解决：（3）如图③是某座城市延康大道的一部分，因自来水抢修需在AB＝4米，AD＝6米的矩形ABCD区域内开挖一个△AEF的工作面，其中E、F分别在BC、CD边上（不与B、C、D重合），且∠EAF＝45°，为了减少对该路段的拥堵影响，要求△AEF面积最小，那么是否存在一个面积最小的△AEF？若存在，请求出△AEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．
4．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为 ．
5．（1）如图1，在中，，为边上的高，若，求面积的最小值；（2）某花卉培育公司有一块直角三角形鲜花培育基地，现在研究人员打算在这块鲜花培育基地上规划出一部分来培育新品种郁金香．如图2，是这片鲜花培育基地的平面示意图，，点是边上一点，连接，，且，点为上一点，，为了更有效的利用这块鲜花培育基地，需要新品种郁金香培育基地的面积尽可能的小，请你求出新品种郁金香培育基地面积的最小值．
6．（2023·江苏淮安·二模）某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点是一只探照灯，距离地面高度，照射角度，在地平线上的照射范围是线段，此灯的光照区域的面积最小值是多少？
(1)小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空：如图2，设，，构造的外接圆，可得，即的最小值为4，又，故得的最小值为__________，通过计算可得的面积最小值为__________．
(2)当时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过程续写完整：解：作的外接圆，作于H，设
(3)请你写出原题中的结论：光照区域的面积最小值是__________________________．（用含的式子表示）
(4)如图3，探照灯A到地平线l距离米，到垂直于地面的墙壁n的距离米，探照灯的照射角度，且，光照区域为四边形，点M、N分别在射线上，设的面积为，的面积为，求的最大值．
7．（2020春•和平区期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝135°，∠B＝60°，∠D＝120°，AD＝5，AB＝6，E、F分别为边BC及射线CD上的动点，∠EAF＝45°，△AEF面积的最小值 ．
8、（2024九年级上·江苏·专题练习）辅助圆之定角定高求解探究
(1)如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形；
(2)如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；
(3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．
9、已知点O为直线外一点，点O到直线距离为4，点A、B是直线上的动点，且∠AOB＝30°。则△ABO的面积最小值为 ．
10．在直角中，，，点D是外一点，连接，以为边作等边．
(1)如图1，当点F在线段上，交于点M，且平分，若，求的面积；
(2)如图2，连接并延长至点E，使得，连接、、，证明：；
(3)如图3，旋转使得落在的角平分线上，M、N分别是射线、上的动点，且始终满足，连接，若，请直接写出的面积最小值．
11．【场景发现】小明晚上经过河边时，发现探照灯的照射光线都不是垂直于河边，而是有一个角度，为了寻找原因，小明将这一场景进行数学抽象化如图所示，
【模型迁移】在一个矩形院子安装一个摄像头，摄像头的监控角度为，若将摄像头安装在墙的处，，是摄像头与墙壁的交点，如图图所示，阴影部分为摄像头的盲区．

(1)假设探照灯的有效照射角度为，河宽米， 米的时候照射的面积最小，最小值为 ；
(2)若米，米，在线段是否存在点，当摄像头在点转动时，摄像头的盲区不变，若存在，等于多少，摄像头的盲区面积为多少？
(3)在南北走向的马路上，工作人员要安装一个摄像角度为的摄像头，正好可以监控到整面墙面，以墙面的中点为为原点建立如图所示的坐标系，，马路距离墙面的最小距离为，请写出符合条件的摄像头的坐标．
知识考点与解题策略
定角定高模型（探照灯模型）
定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高AD），∠BAC为定角，则BC有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。

条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。
结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。
证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，
过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=；
∴BC= 2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcs=rcs。
∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立），
∴r+rcs≥h，即，当取等号时r有最小值；
∴，当取等号时BC有最小值；
∴，当取等号时△ABC有最小值；
∴，当取等号时△ABC有最小值。