备战2025年中考数学压轴专项(江苏专用)压轴专题08中点问题的探究(学生版+解析)练习

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例题1 （24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、，以点B为圆心、3为半径的上有一动点P．连接，若点C为的中点，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例题2（24-25九年级上·江苏镇江·期中）“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多…
【问题提出】
（1）如图①，是的角平分线，求证：．
请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明；
【尝试应用】
（2）如图②，在中，，D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠，使点A恰好落在边的中点E处．若，求的长；
【拓展提高】
（3）如图③，中，，，为的角平分线．的垂直平分线交延长线于点F，连接，当时，的长为________．
例题3
14．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）问题提出
如图①，、是的两条弦，，是的中点，，垂足为，求证：．
小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：
如图②，延长至，使，连接、、、、．
（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）
推广运用
如图③，等边内接于，，是上一点，，，垂足为，则的周长是 ．
拓展研究
如图④，若将“问题提出”中“是的中点”改成“是的中点”，其余条件不变，“”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出、、三者之间存在的关系并说明理由．

1、如图，已知E，F分别为正方形的边的中点，与交于点M，O为的中点，则下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2、（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在矩形中，M是边的中点，，交直线于点N，连接，则下列结论中：①；②； ③；④．正确的有（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④
3、如图，是的直径，，点C是上半圆的中点，点D是下半圆上一点，点E是的中点，连接交于点F．当点D从点A运动到点B的过程中，点F运动的路径长是（ ）

A．B．C．D．
4、如图，正方形边长为4，点G是以为直径的半圆上的一个动点，点F是边上的一个动点，点E是的中点，则的最小值为 ．
5．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的外接圆，点D是半圆弧的中点，交延长线于点E，连结，．若与的面积比为，则 ．
6．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，是的高，，则 ；若以点C为圆心，半径为2作，点E是上一动点，连接，点F是的中点，则线段的最小值是 ．

7．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，，点E，F分别为，上的动点，且，与交于点O，点P为的中点．
（1）若，则的长为 ；
（2）在整个运动过程中，长的最小值为 ．
8．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】
（1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程．
【尝试应用】
（2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹）
【拓展延伸】
（3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长．
9．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，，，点D，E 分别在，边上，，连接，将沿翻折得到，连接，．
(1)若点E 是的中点，求的长；
(2)若的面积是面积的2倍，求的长．
10．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图1，的顶点在上，点E，F分别为边，的中点．
(1)求证：点A，E，O，F在同一个圆上，并在图中画出该圆的圆心；
(2)如图2，的直径，点A固定，点B在半圆弧上运动．在点B从点M运动到点N的过程中，求点E的运动路径的长．
11．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）【定义】
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”
如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点．
【应用】
(1)如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，则______；______；
(2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，在中，于点．
①请画出以为边的垂中平行四边形，使得为垂中点，点在垂中平行四边形的边上；（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母）
②将沿翻折得到，若射线与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点，连接，请直接写出的长．
12、（24-25·江苏苏州·模拟预测）【问题初探】如图1，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角．求证：．
【拓展研究】如图2，已知内接，，点M是的中点，过点M作，垂足为点D．求证：．
【解决问题】如图3，已知等腰三角形内接于，，D为上一点，连接、，，的周长为，，求的长．
13．（2024·江苏扬州·三模）（1）观察猜想：如图1，已知三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段同侧，H是中点，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
（2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点D旋转度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，将矩形绕点旋转任意角度，连接是中点，若，求点运动的路径长．
14、给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”．
(1)如图①，和互为“友好三角形”，点D是边上一点（不与点B重合），，，，连接，则________（填“”），________°；
(2)如图②，和互为“友好三角形”，点D是边上一点，，，，M、N分别是底边的中点，请探究与的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，和互为“友好三角形”，点D是边上一动点，，，，M、N分别是底边的中点，请直接写出与的数量关系（用含的式子表示）
15．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）在矩形中，点E，F 分别在边，上，将矩形沿折叠．

(1)若点A的对应点P 落在边上，点B 的对应点为点G，交于点H．
①如图1，当P 为的中点，且，时，则的长为 ；
②如图2，连接，当P，H 分别为，的中点时，求的值．
(2)若点A的对应点P 落在边上，如图3，点B 的对应点为点G．当，时，则的最小值为 ，的 最 大 值 为 ．
16、请阅读下列材料，并完成相应的任务：
三角形中线定理
三角形中线定理又称阿波罗尼奥斯定理，是一种平面几何的定理之一，指三角形三边和中线长度关系．
阿波罗尼奥斯（约公元前262-190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山大前期的三大数学家．
中线定理：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在中，点D为BC的中点，根据“阿波罗尼奥斯”，可得．下面是该定理的证明过程（部分）：
证明：过点A作于点E，如图2，在中，，
同理可得：，，
证明的方便，不妨设，，
…
任务：
(1)按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
(2)如图3，在中，点为的中点，，，，则的长为______；
(3)如图4，已知平行四边形中，和相交于点，设，，请直接用含，的代数式表示的值；
(4)如图5，已知平行四边形内接于，点为内一点，若，，，，请直接写出的长．
17、已知：为圆的直径，点为弦上一点，连接并延长交圆于点，连接，交于点，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，点为中点，射线交圆于点，为上一点，连接，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，在上取一点，连接，，使，，连接，若，，，求线段的长．
18、已知为斜边上的高，以为直径的圆交于点，交于点，为的中点．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求的长．
知识考点与解题策略
模型一：倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形
如图①,AD是△ABC的中线,延长AD至点E使DE=AD,易证:ADC≌ΔEDB(SAS)；
如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE=FD，易证:△FDB≌△EDC(SAS)；
当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移.
模型二：已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”
等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到:“边等、角等、三线合一”.
模型三：已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理
在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理:DE//BC，且DE=BC来解题，中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题.
模型四：已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线
模型分析
在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD=AB，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形:△ACD和△ABCD，该模型经常会与中位线定理一起综合应用.
模型4.与垂径定理相关的中点模型

图1 图2 图3
1）条件：如图1，已知点P是中点，连接OP，结论：OP⊥AB；
2）条件：如图2，已知点P是中点，过点P作MN∥AB，结论：MN是圆O的切线；
3）条件：如图3，点P是中点，连接BP、AP，若∠BPN=∠A，结论：MN是圆O切线。
模型5：与圆周角定理相关的中点模型（母子模型）

1）条件：如图1，已知点P是中点，点C是圆上一点，结论：∠PCA=∠PCB．
2）条件：如图2，已知点P是半圆中点，结论：∠PCA=∠PCB=45°．
3）条件：如图3，已知点P是中点，结论：∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB；△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC；△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB。
模型6.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型

条件：如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，连结PB交AC于点F。
结论：AD=PD=FD，PQ=AC，AP2=AD×AC=AH×AB=PF×PB．
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作，交的延长线于点D，利用“三角形相似”．
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作交于点D，作交于点E，利用“等面积法”．