浙江省杭州市萧山区城区八校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省杭州市萧山区城区八校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 计算的结果（ ）
A. 1B. C. 5D.
【答案】B
【解析】．
故选B．
2. 5个相同正方体搭成的几何体主视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】从正面看，第一层是一个正方形，第二层是三个正方形．
故选：A．
3. 截止2025年2月14日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2000万次，其中数据“2000万”用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】 “2000万”．
故选C．
4. 下列代数式变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A. ，故该选项不符合题意；
B. ，故该选项符合题意；
C. ，故该选项不符合题意；
D. ，故该选项不符合题意.
故选B.
5. 某校701班学生入学时年龄的平均数、众数、中位数、方差四个统计数据与三年后他们毕业时相比，不变的是（ ）
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差
【答案】D
【解析】设入学时的平均数，众数，中位数，方差分别为a、b、c、d，班上有n名学生，表示入学时学生的年龄（其中k为正整数）
∴三年后的平均数为，众数为，中位数为，
方差为：
∵入学时的方差为，
∴方差没有发生变化，平均数，众数，中位数都发生了变化，
故选：D．
6. 已知实数a，b，c．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A. 因为，所以，故选项正确，符合题意；
B. 因为，所以，故选项错误，不符合题意；
C. 因为，当时；当时；当时，故选项错误，不符合题意；
D. 因为，当时；当时；故选项错误，不符合题意．
故选：A．
7. 在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】点的对应点为，且关于点成中线对称，
∴，即，
∴设，且，
∴，
解得，，
∴，
故选：A．
8. 已知是方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】已知是方程的两个实数根，
∴，，
∵
，
∴原式，
故选：A．
9. 关于二次函数的下列说法中，正确的是（ ）
A. 无论a取范围内的何值，该二次函数的图象都经过和这两个定点
B. 当时，该二次函数取到最小值
C. 将该二次函数的图象向左平移1个单位，则当或时，
D. 设该二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为，则
【答案】C
【解析】当时，，即该二次函数的图象经过点，故选项A不正确；
当时，，则该二次函数的图象经过点，
∴该二次函数图象的对称轴为直线，
∵，
∴当时，该二次函数取到最大值，故选项B不正确；
∵该二次函数的图象经过点，，将该二次函数的图象向左平移1个单位，则经过点，，
∴则当或时，，故选项C正确；
∵该二次函数的图象经过点，，开口向下，且二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为，
∴，故选项D不正确，
故选：C．
10. 如图是由正方形和矩形横向拼接而成，连接，，其中交于点G．若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题干得，，
∴，
则，
设，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
则，
过点C作于点H，如图，
则，解得，
∵，
∴，
则，
故选：D．
二、填空题（共6题，每题3分）
11. 因式分解：___________．
【答案】
【解析】
故答案为：
12. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是___．
【答案】且
【解析】代数式有意义，
且，
解得：且，
实数x的取值范围是且．
故答案为：且．
13. 一个不透明的袋子中装有黑球和白球共25个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复200次，其中摸出白球有120次，由此估计袋子中白球的个数为__________．
【答案】15
【解析】∵共试验200次，其中有120次摸到白球，
∴白球所占的比例为，
设盒子中共有白球x个，则，
解得：．
故答案为：15．
14. 如图，为的内切圆，点D，E，F为切点，连接，若，则___________．
【答案】
【解析】如图：连接，则，
∵
∴，
∴．
故答案为：．
15. 在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数交于第一象限内一点A，若将点A向下和向左均平移4个单位后的点为，且点在反比例函数的图像上，则求点A的坐标__________．
【答案】
【解析】∵正比例函数与反比例函数交于第一象限内一点A，
∴设
∴
∴
∵将点A向下和向左均平移4个单位后的点为，
∴
∵点在反比例函数的图像上，
∴
∴
∴，解得
∴．
故答案为：．
16. 如图，为等腰直角三角形，，为边上的中线，于点，连接．则______．
【答案】
【解析】∵为等腰直角三角形，，
∴设，
∵为边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图所示，，
∴，
∴，即，
解得，，
如图，过点作延长线于点，则，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
三、解答题（共8题，17—21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17. 计算：．
解：原式
．
18. 解方程组：
解：，
得:③，
得:，解得：．
把代入①，得，解得：．
所以方程组的解为：
．
19. 如图，在中，，和分别为边上的高线和中线．
（1）若，求的值．
（2）求证：．
（1）解：∵，且，
∴．
∵为边上的高线，
∴．
又∵为斜边上的中线，
∴．
∴为等边三角形，
∴，
∴．
（2）证明：∵为等边三角形，为边上的高线，
∴，
∵为斜边上的中线，
∴．
由勾股定理得∶，，
∴，即．
20. 某校七、八年级开展了一次综合实践知识竞赛，按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取50名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如
八年级50名学生活动成绩统计表
已知八年级50名学生成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 ，七年级活动成绩的众数为 ．
（2） ， ．
（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
解：（1），
∵，
∴七年级活动成绩的众数为8分．
故答案为：5人，8分．
（2）∵八年级50名学生成绩的中位数为8.5分，
∴从低分到高分排序后，第名学生成绩的分数为分，第名学生成绩的分数为分，
∴，
解得，
故答案为：10，15.
（3）依题意，，
∴七年级优秀率，
则平均成绩为（分）；
则八年级优秀率为，
平均成绩为（分），
∵
∴本次活动并非优秀率高的年级平均成绩也高．
21. 如图，过的对角线AC的中点作两条互相垂直的直线，分别交，于点四点，连接．
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
（2）若，当时，求四边形面积．
解：（1）∵在中，
∴，,
∴，
又∵，
∴，
∴．
∴．
同理可得：，则四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形．
（2）当时，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴.
∵，
∴为平行四边形的的高，
∴，
∴四边形的面积为．
22. 已知A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车．图1中分别表示甲、乙离开A地路程与时间的函数关系的图象，其中点F在上．请根据图象回答下列问题．
（1）甲的速度为 ； ．
（2）当乙出发后几小时甲追上了乙？
（3）设甲、乙两人相距的路程为，求当时，y关于t的函数表达式，写出相应的取值范围并补全其图象（如图2）．
解：（1）甲的速度为，，
故答案为：，；
（2）设甲距离A地的路程为，乙距离A地的路程为，
设，
代入得：
解得：，
∴，
设，代入得，解得：，
∴
当时，，解得，
∴当乙出发后1.8小时，甲追上了乙；
（3）当时，；
当时，；
补全图象如图：
23. 已知二次函数，其中，以及一次函数．
（1）若二次函数的最小值为2，求函数的表达式．
（2）一次函数的增减性与当时的增减性一致，求k的取值范围．
（3）已知二次函数，若y的图象与x轴的交点坐标为，求证：.
（1）解：由题意可得：函数的图象的对称轴为直线，
又∵该函数的最小值为2，
∴函数的表达式为．
（2）解：∵函数的图象的对称轴为直线，且开口向上，
∴当时，随x的增大而增大．
∴随x的增大而增大，
∴．
（3）证明：，
令，则，
解得:．
∴．
24. 如图，内接于，是的直径，于点D．点E为的中点，直线与的切线交于点F，连接交于点G．
（1）求证：．
（2）若，求长．
（3）求证：．
（1）证明：∵点E为的中点，
∴．
∵为的直径，
∵，即，
∴，
∴．
∵切于点B，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：设，则，
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：∵，
∴．
又由（2）得，
∴，
则．
成绩/分
6
7
8
9
10
人数
5
10
a
b
10